Chủ đề: Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số

PHẦN IV: ĐẠO HÀM

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

chủ đề 4

sử dụng đạo hàm Chứng minh đẳng thức

I Kiến thức cơ bản

Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng (a, b) thì đạo hàm luôn triệt tiêu trong khoảng đó Đảo lại ta có định lí sau:

Định lí 1 Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f'(x)=0,

x(a, b) thì hàm số y=f(x) không đổi trong khoảng (a, b)

Bài toán 1 CMR A(x)=c hằng số với xD

phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1 : Tính A'(x), rồi khẳng định A'(x)=0, với xD

Bớc 2 : Chọn x0D  A(x0)=c

Ví dụ 1: CMR với mọi x ta đều có:

cos2(x-a)+sin2(x-b)-2cos(x-a).sin(x-b).sin(a-b)=cos2(a-b)

Giải

Xét hàm số y= cos2(x-a)+sin2(x-b)-2cos(x-a).sin(x-b).sin(a-b)

Ta có:

y'=-2sin(x-a)cos(x-a)+2sin(x-b)cos(x-b)+

+2sin(a-b)[sin(x-a).sin(x-b)- cos(x-a).cos(x-b)]

=- sin2(x-a)+sin2(x-b)- 2sin(a-b).cos(2x-a-b)

=2cos(2x-a-b).sin(a-b)- 2sin(a-b).cos(2x-a-b)=0

 Hàm số không đổi

Ngoài ra ta còn có y=y(b)= cos2(a-b)

Vậy y= cos2(a-b)

Chú ý: Trong các tài liệu tham khảo về lợng giác bài toán trên thờng đợc phát

biểu dới dạng:

" CMR A=cos2(x-a)+sin2(x-b)-2cos(x-a).sin(x-b).sin(a-b) độc lập với x "

Ví dụ 2: CMR với mọi x1 ta đều có:

arctgx+arcsin 2

x 1

x

 +arctg 1 x

x 1





= 4

 Giải

Xét hàm số y=arctgx+arcsin 2

x 1

x

 +arctg 1 x

x 1



 trên D=R\{1}

Ta có:

y'=(arctgx+arcsin 2

x 1

x

 +arctg 1 x

x 1



 )'

= (arctgx)'+ (arcsin

2

x 1

x

 )' + (arctg1 x

x 1





trong đó:

(arctgx)'= 2

x 1 1

2

x 1

x

2

' 2

x 1

x 1

x 1 x































=-2

x 1

2

(3)

(arctg

x 1

x 1





'

x 1

x 1 1

x 1

x 1



































x 1

1

Thay (2), (3), (4) vào (1), ta đợc: y'=0  Hàm số không đổi trên D

Ngoài ra ta còn có y=y(0)=

4



Vậy y=

4



Chú ý: đôi khi bài toán trên còn đợc phát biểu dới dạng:

" CMR hàm số y=arctgx+arcsin 2

x 1

x

 +arctg 1 x

x 1



 không đổi "

hoặc: "Rút gọn biểu thức A=arctgx+arcsin

2

x 1

x

 +arctg 1 x

x 1



 "

Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số để biểu thức A(x) không phụ thuộc vào x

phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1 : Tính A'(x), rồi tìm điều kiện để A'(x)=0, với x

Bớc 2 : Kết luận

Ví dụ 3: Tìm a sao cho f(x)=cos2x-asin2x+2cos2x không phụ thuộc x

Giải

Ta có:

f(x) không phụ thuộc x  f'(x)=0 x

 -2sin2x-2acosx.sinx-4sinx.cosx=0 x  -(a+4)sin2x=0 x  a=-4 Vậy với a=-4 hàm số f(x) không phụ thuộc x

Ví dụ 4: Tìm a, b để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x

a.cos2x+b[cos2(x+

3

2

)+ cos2

(x-3

2

)]=

2 3 Giải

Đặt f(x)= a.cos2x+b[cos2(x+

3

2

)+ cos2

(x-3

2

)]

 f(x)=

2

3 , với x  









) 2 ( 2

) 0 (

) 1 ( x , 0 ) x ( ' f

 Giải (1)

(1)  -asin2x-b[sin(2x+

3

4

)+

sin(2x-3 4

)]=0, x

 -asin2x-2bsin2x.cos

3

4

=0, x  (b-a)sin2x=0, x  a=b (3)

 Giải (2)

(2)  a+b(cos2

3

2 + cos2

3

2 )=

2

3  a+

2

b = 2

3  2a+b=3.

(4)

Từ (3), (4), ta đợc a=b=1

Vậy với a=b=1 phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Nhận xét: Trong hầu hết các tài liệu tham khảo hiện nay bài toán trên đều đợc

giải bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ, nh vây từ đây chúng ta ghi nhận thêm một phơng pháp mới " Sử dụng đạo hàm tìm điều kiện của tham số để phơng trình nhận xD làm nghiệm ", bạn đọc có thể tham khảo thêm trong hai cuốn

1 Phơng pháp giải Phơng trình, Bất phơng trình và Hệ Đại số

2 Phơng pháp giải Phơng trình, Bất phơng trình và Hệ Lợng giác

của Lê Hồng Đức và để sáng tỏ hơn chúng đi xem xét thêm ví dụ sau:

Ví dụ 5: Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x

sinmx+cosmx=1 Giải

Đặt f(x)= sinmx+cosmx

 f(x)=1, với x  









) 2 ( 1

) 45 ( f

) 1 ( x , 0 ) x ( ' f

0

Giải (1): Ta đợc:

m.cosx sinm-1x-msinx.cosm-1x=0, x

 m.sinx.cosx(sinm-2x-cosm-2x)=0, x





















x , x cos x sin

0 m

2 m 2







 2 m 0 m

Giải (2): Ta xét từng trờng hợp:

 Với m=0, ta đợc:

f(450)=

0

2

2

















+

0

2

2

















=2, không thoả mãn

 Với m=2, ta đợc:

f(450)=

2

2

2









+

2

2

2









=1, thoả mãn

Vậy với m=2 phơng trình nghiệm đúng với mọi x

II.Bài tập đề nghị

Bài tập 1. CMR

a sin3x(1+cotgx)+cos3x(1+tgx)=sinx+cosx

b sin3x-2sin33x+cos2x.sinx=cos5x.sin4x

c cos4x=8cos4x-8cos2x+1

d cos3x.cos3x- sin3x.sin3x=

4

3 cos4x+

4

1

e

tg(x-3



)+tgx+tg(x+

3

 )=3tg3x

f sin4x+cos4x=

4

1 cos4x+

4

3

g sin6x+cos6x= 3 cos4x+ 5

h sin8x+cos8x=

64

1 cos8x+

16

7 cos4x+

64

35

i cos3x.sin3x+ sin3x.cos3x=

4

3 sin4x

j cos3x.cos3x+ sin3x.sin3x=cos32x

k sinxsin(

3

 -x) sin(

3

 +x)=

4

1 sin3x

l cosxcos(

3

 -x) cos(

3

 +x)=

4

1 cos3x

m cos

2

x

5

cos 2

x 3 + sin 2

x 7 sin 2

x

=cos2x.cosx

n tgx+2tg2x+4tg4x+8tg8x=cotgx, với x

8

k

, kZ

o (Đề 77): arcsinx+arccosx=

2

 , với mọi x[-1, 1]

p arctgx+arccotgx=

2

 , với mọi x

q (Đề 53): arctg

x 1

x 1



 -arctgx=

4

 , với mọi x(-, 1)

r (Đề 92): 2arctgx+arcsin

2

x 1

x

 =, với mọi x1

s f(x)=arctgx+arctg

x

1

=











0 x khi 2 /

0 x khi 2 /

t arctg

x 1

x 1





-2

1 arcsinx=

4

 , với mọi x(-1, 1)

Bài tập 2. Tìm a, b sao cho các phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x

a a.cos2x+b[cos2(x+

3

 )+ cos2

(x-3

 )]=

2 3

b a(cosx-1)-cos(ax+b2)+b2+1=0

c a.cos4x+4a.cos2x+b=cos4x

d 2a.sinx-a.sin3x+bsin5x=sin5x

e

a bx

x

1 bx

ax

2

2





