ưngs dựng tích phân là phần rất hay!! tài liệu này sẽ chía sẻ cho các bạn những ứng dụng đặc biệt của tích phân
Trang 1Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C
xα
1
1
α
+
+ +
(ax b+ )α
a
1
α
+
+ 1
1
x
a
ln
x
a+
x
a
+ +
a
2
1
cos x
tgx + C
2
1 cos (ax b+ ) 1 (tg ax b C)
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1 sin (ax b+ ) 1 cot (g ax b C)
a
'( )
( )
u x
u x
ln ( )u x +C
1
+
tgx −ln cos x C+
1
ln x+ x +a +C
Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ( ) cos3 1
1
+ − 2 f(x) 22x 5
−
=
Trang 2Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.∫cos sin5x xdx 2
costgx dx x
x
+
∫
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ]a b Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) ;
thì:
b ( ) [ ( )]b a ( ) ( )
a
2 Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : b ( ) 0
a
f x dx =
∫
• Tính chất 2: b ( ) a ( )
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ]a b thì: ; b ( )
a
cdx c b a= −
∫
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ]a b và ; f x ≥( ) 0 thì b ( ) 0
a
f x dx ≥
∫
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ]a b và ; f x( )≥g x( ) x a;b∀ ∈[ ] thì
b ( ) b ( )
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ]a b và ; m f x≤ ( )≤M ( m,M là hai hằng số) thì
( ) b ( ) ( )
a
m b a− ≤∫ f x dx M b a≤ −
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ]a b thì ;
b[ ( ) ( )] b ( ) ( )
b
a
• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ]a b và k là một hằng số thì ;
b ( ) ( )b
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ]a b và c là một hằng số thì ;
b ( ) c ( ) b ( )
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ]a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa ;
Trang 3Bài 1: Tính các tích phân sau:
0
(2x 1)+
∫ 2) 1
0
x dx 2x 1+
∫ 3) 1
0
x 1 xdx−
∫ 4)1 2
0
4x 11 dx
+
∫
5) 1 2
0
2x 5 dx
−
∫ 6) 3 2 3
0
x +2x 1+
∫ 7)6 6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
0
4sin x dx
1 cosx
π
+
∫
9)4 2
0
1 sin 2xdx
cos x
π
+
∫ 10) 2 4
0
cos 2xdx
π
∫ 11)2
6
1 sin 2x cos2xdx sin x cosx
π
π
+
0
1 dx
e 1+
13) 4(cos x sin x)dx
0
4 4
π
14) ∫4 +
01 2sin2
2 cos
π
dx x
x
15) ∫2 +
02cos3 1
3 sin
π
dx x
x
16) ∫2 −
05 2sin cos
π
dx x
x 17) ∫
− +
−
0
4
dx x x
18) ∫
+ +
− 1
1 x2 2x 5
dx
Bài 2:
1) 3 2
3
x 1dx
−
−
1
x 3x 2dx
−
∫ 3) 5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
2 1
2
1
x
∫ dx
5) 3 x
0
2 −4dx
∫ 6)
0
1 cos2xdx
π
+
0
1 sin xdx
π
+
∫ 8) ∫2 x −x dx
0
2
Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) A sin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện
f (1) 2' = và 2
0
f(x)dx 4=
∫
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3
0
[a + −(4 4a)x 4x ]dx 12+ =
∫
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I = b ' bằng cách đặt t = u(x)
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
Công thức đổi biến số dạng 1: ∫ [ ] = (∫)
) (
) ( )
( ' ) (
b u a u b
a
dt t f dx x u x u f
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt t =u(x)⇒dt=u'(x)dx
Bước 2: Đổi cận :
) (
) (
a u t
b u t a x
b x
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
I =∫b f[ ] = (∫) (tiếp tục tính tích phân mới)
) (
) ( )
( ' ) (
b u a u a
dt t f dx x u x u
Trang 4Tính các tích phân sau:
1) 2 3 2
0
cos xsin xdx
π
∫ 2) 2 5
0
cos xdx
π
∫ 3)4 2
0
sin 4x dx
1 cos x
π
+
0
x 1 x dx−
∫
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
0
1 dx cos x
π
∫ 7) e
1
1 ln xdx x
+
∫ 8) 4
0
1 dx cosx
π
∫
9) e 2
1
1 ln xdx
x
+
∫ 10)1 5 3 6 11)
0
x (1 x ) dx−
0
6 5sin x sin x
π
0
tg x dx cos2x
∫
13) 4
0
cos sin
3 sin 2
x
π
+
+
∫ 14) ∫
+
2
0 cos2 4sin2
2 sin
π
dx x x
x
15) ∫ln5 + − −
3
ln e x 2e x 3
dx 16) ∫
+
2
0(2 sin )2
2 sin
π
dx x
x
17) ∫3
4
2
sin
)
ln(
π
x
tgx
18) ∫ −4
0
8
) 1
(
π
dx x
tg 19) ∫
+
−
2
4
2 sin 1
cos sin
π
x
x x
20) ∫
+
+
2
0 1 3cos
sin 2 sin
π
dx x
x
x
21) ∫2 +
cos
2
sin
π
dx x
x x
22) ∫2 +
0
sin
cos ) cos (
π
xdx x
− +
2
x 24)∫e + dx
x
x x
1
ln ln 3
25) ∫4 −+
0
2
2
sin
1
sin
2
1
π
dx x x
2) DẠNG 2: Tính I = b bằng cách đặt x =
a
f(x)dx
Công thức đổi biến số dạng 2: =∫ =β∫ [ ]
α f ϕ t ϕ t dt dx
x f I
b a
) ( ' ) ( )
(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt x=ϕ(t)⇒dx=ϕ'(t)dt
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t a x
b x
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
=∫ =β∫ [ ] (tiếp tục tính tích phân mới)
α f ϕ t ϕ t dt dx
x f I
b a
) ( ' ) ( )
(
Tính các tích phân sau:
1) ∫1 1 x dx− 2 2) 1 1 dx2
1 x+
2
4 x−
∫ 4)1 2 1 dx
x − +x 1
∫
Trang 59)
2
3
2
2
x x 1−
1
9 3x dx x
+
∫ 11) 1
5 0
1 (1 x dx)
x
− +
∫ 12) 2
2 2 3
1
1dx
x x −
∫
13) 2
0
cos
7 cos2
x
π
+
0
1
1 x dx x
+ +
∫ 15)
2 0
cos
1 cos
x
π
+
∫ 16) ∫
+ +
− 0
1x2 2x 2
dx
17) ∫
+
+
1
01 1 3x
dx 18) ∫
−
−
2
1
dx x
x
x
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1) 8
2
3
1
1dx
x x +
∫ 2) 7 3
x
+
∫ 3) 3 5 2
0
1
∫ 4) ln2
x 0
e +2
∫ 5)
7
3
3
0
1
x
+
+
∫ 6) 2 2 3
0
1
∫ x 7) ∫
+
3 2
5x x2 4
dx
III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
b∫ =[ ] −∫
a
b a
b
a v x u x dx x
v x u dx x v x
Hay: ∫b =[ ] −∫
a
b a
b
v u
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
) (
) ( ' )
( '
) (
x v v
dx x u du dx x v dv
x u u
=
=
⇒
=
=
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : ∫b =[ ] −∫
a
b a
b
v u
Bước 3: Tính [ ]b và
a
v
a
vdu
Tính các tích phân sau:
1) 2 5
1
ln xdx
x
∫ 2) 2 2
0
x cos xdx
π
∫ 3) 1 x
0
e sin xdx
∫
4)
2
0
sin xdx
π
∫ 5) e 2 6)
1
x ln xdx
0
x sin xdx cos x
π
+
∫
Trang 67) 2 8)
0
xsin x cos xdx
π
0
x(2 cos x 1)dx
π
−
1
ln(1 x)dx x
+
∫
10) 1 2 2x 11) 12)
0
(x 1) e dx+
1
(x ln x) dx
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
13) 2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x +
∫ 14) 1 2
0
xtg xdx
∫ 15) ∫ −1
0
2
) 2 (x e x dx
16) 1∫ + 17)
0
2
) 1 ln( x dx
x
x
1
ln
18) ∫ +2
0
3
sin ) cos (
π
xdx x
x
19) ∫2 + + 20)
0
) 1 ln(
) 7 2
2
2
) ln(x x dx
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
f(sin x)dx f(cosx)dx
=
b)
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:
0
cos x dx với n Z
cos x sin x
π
∈ +
0
cos x dx cos x sin x
π
+
∫ 3) 2 6 6 6
0
sin x dx sin x cos x
π
+
4) 5 5)
0
xsin xdx
π
2
4 sinx cosx dx
x
π
π
+
−
∫ 6) 1 4 2
1
sin 1
x
−
+ +
∫
0
xsin x dx
4 cos x
π
−
∫ 8) 4 3
0
cos sin
π
Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì +
0
( ) ( ) với R và a > 0 1
x
f x dx f x dx a
α
α
−
+
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
Trang 7IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
Công thức:
1
C
y
2
C
y
2
C
x
1
C
x
]dx x g x f
=∫b[ −
a
=b
a
dy y g y f
Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
4 x y
4 2
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪ =
⎪⎩
2) (H2) : y x2 4x 3
y x 3
⎪
⎨
= +
3x 1 y
x 1
y 0
x 0
− −
⎧ =
⎪
=
⎨
⎪ =
⎪
⎩ 4) (H4): y x22 5) (H
⎧ =
⎪
⎨
= −
y x
y 2 x
⎧ =
⎪
⎨
= −
2
x y 3 0
⎧ + − =
⎨ + − =
⎩
7) (H7):
ln x y
2 x
y 0
x e
x 1
⎧ =
⎪
⎪⎪ =
⎨
⎪ =
⎪
=
⎪⎩
8) (H8) : y x22 2x
⎪
⎨
x
= − +
2
y x
⎧
2
⎪
⎨
⎪ =
⎩
10) (H10): y2 2y x 0 11)
x y 0
⎨
+ =
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
) (
2 : ) (
: ) (
Ox
x y
d
x y C
12)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= Δ
=
=
1 : ) (
2 : ) (
: ) (
x
y d
e y
V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
Δ
=
Δ
=
=
b x
a x
x g y
C
x f y
C
H
:
:
) ( :
)
(
) ( :
)
(
:
)
(
2
1
2
1
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= Δ
= Δ
=
=
b y
a y
y g x C
y f x C H
: :
) ( : ) (
) ( : ) ( : ) (
2 1 2 1
x
y
)
(H
a b
) ( : ) (C1 x= f y
) ( : ) (C2 x= g y
a
y=
b
y=
O
y x
x
)
(H
) ( :
) (C1 y f x a
=
= ) ( : ) (C2 y g x
b
x=
O
=
Trang 8
b
a
x
y
0
=
x
O
) ( : ) (C x= f y
b
y=
a
y=
) ( :
) (C y= f x
b
a
x y
O
V [f x ] dx
b a
2
) (
∫
b a
2
) (
∫
=π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y= x;y 2 x;y 0= − =
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)= − 2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y= −4 x y x2; = 2+2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 21 ; 2
x
x
+ Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
-Hết -
