BÀI 14 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục hoành bằng... Dựa vào hình vẽ ta có diện tích cần tìm là Phương trình hoành độ giao điểm của parabol 2 y x  x và trục

Câu 1 Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi trục hoành và đồ thị

hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b; và hai đường thẳng xa x; b ab

A  d

b a

S  f x x B 2 

d

b a

S  f x x C  d

b a

d

b a

b a

S  f x g x x

b a

d

b a

1 4

Câu 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

3 2

1

x y

Phương trình hoành độ giao điểm:

3

3 2

x x

2

2

d 1 ln 21

93

A

2 2 1

Dựa vào hình vẽ ta có diện tích cần tìm là

Câu 8 Cho hàm số y f x  liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên, kí hiệu S là diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành Mệnh đề nào sau đây đúng?

1

1 2

1 0

1 0

1 0

1 0

2

S  f x dx f x dx

Lời giải Chọn B

 

0 1

2 1

Nên diện tích S giới hạn bởi các đường y f x ,y0,x0 và x1 là

   

1

1 2

1 0

2

S  f x dx f x dx

Câu 9 Cho hàm số y f x  liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục hoành bằng

Dựa vào hình vẽ ta có diện tích cần tìm là

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol 2

y x  x và trục hoành

4 3

S  x  x dx

Câu 13 Cho hàm sốy f x liên tục trên đoạn 0; 4 và f x   0, x  0; 2 ; f x   0, x  2; 4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x y , 0và hai đường thẳng 0; 4

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x y , 0 và hai đường thẳng x0;x4

Vậy 4   2   4   2   4  

S f x x f x x f x x f x x f x x

(vì hàm số y f x  liên tục trên đoạn  0; 4 và f x   0, x  0; 2 ; f x   0, x  2; 4 )

Câu 14 Cho hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai

đường thẳng x 2;x1 như hình vẽ dưới Tính diện tích S của hình phẳng H

Từ đồ thị của hàm số y f x trên đoạn 2;1 ta thấy f x    0, x  2;0;

  0,  0;1

f x   x

Diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 2;x1 là

Câu 15 Cho hàm số y f x  liên tục trên  0;8 và có đồ thị như hình vẽ

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x y ; 0;x0; x8 là

Từ đồ thị của hàm số y f x trên đoạn  0;8 ta thấy f x   0, x  0;3 ;

Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x3; parabol y  x2  4 x  4 và

trục hoành (tham khảo hình vẽ bên) bằng

Câu 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y  4 x  x2 và trục hoành

Hoành độ giao điểm của Parabol và trục hoành là nghiệm của phương trình

Câu 18 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và thỏa mãn f      1 0 f   0 Gọi S là diện

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x y   ;  0; x   1; x  1 Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Câu 19 Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y 1 e xx

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

Phương trình hoành độ giao điểm:

C y x x và đường thẳng ym cắt  C tại hai điểm phân

biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng có

diện tích S1S2như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: 8x27x3 m (1)

Từ bảng biến thiên của đồ thị hàm số y8x27x3 Đường thẳng ym cắt  C tại

hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy Phương

trình (1) có ba nghiệm phân biệt và có đúng hai nghiệm dương 0 32 2

A

 1

2 1

k e

k



 B 2 1 1 

k e

k



 C

21

 chia  H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như

hình vẽ bên Tìm tất cả giá trị thực của k để S13S2

A k 2 B k1 C 7

5

Lời giải Chọn A

Diện tích của hình thang cong  H bằng

2 1 2

3 3ln2 1 3ln23

Câu 24 Cho đường thẳng yx và parabol 1 2

Phương trình hoành độ giao điểm 1 2 0

2x   x a Trước tiên phương trình phải có 2

nghiệm phân biệt 2 1 1 2 0 1

Câu 25 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường 2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là 2 1

Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2

y x yk x bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 2

Câu 27 Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi ba đường

Xét các phương trình giao điểm:

*

2 2

027

x

x x

Lời giải

Lời giải Chọn D

Tâm I 0;a a, 0

Phương trình đường tròn   2  2

Gọi    

2

2

1:

00

y x

H x x

1

y x P

1 0

A 3, 44 B 1, 51 C 3, 54 D 1, 77

Lời giải Chọn C

2 2

Vậy tọa độ các giao điểm là: M1;1 ,     N 1;1 ,P 2; 4 ,Q 2; 4

Do tính đối xứng của các đồ thị hàm số, nên

P y x và đường tròn  C có bán kính R1 tiếp xúc với trục

hoành đồng thời có duy nhất một điểm chung A duy nhất với  P Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi    P , C và trục hoành ( phần bôi đậm như hình vẽ )

Gọi I a b , là tâm đường tròn và phương trình đường tròn  C là   2 2

P y x tiếp xúc với nữa trên của đường tròn nên ta có điều kiện tiếp xúc :

Giữa   1 2

2:

P y x và nữa trên đường tròn :  2

y y

2 0

Câu 33 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2

9 18

yx  x , trục hoành và các đường thẳng x 15;x15 là?

A S2790 B S2799 C S2795 D S2780

Hướng dẫn giải Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 3

9 18

yx  x , trục hoành và các đường thẳng 15; 15

Diện tích của elip là: Sab4

Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol và elip là:

Câu 35 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn  2;6 và có đồ thị như hình vẽ.Biết rằng diện

tích cáchình phẳng A,B,C lần lượt bằng 32;2;3 Tích phân 2   

Gọi hoành độ giao điểm của đồ thị hàm y=f(x) với trục hoành lần lượt tại-2; a,b;6

Câu 36 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi paraboly  x2 và đường thẳngykx x( 0) bằng 9

Mệnh đề nào sau đây đúng:

A k    1;3 B k    6;9 C k   9;12  D k    3;6

Lời giải Chọn D

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng d là nghiệm phương trình:

Câu 37 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳngy x 1e xvà y x 1 bằng

Xét phương trình hoành độ giao điểm của các hàm số là:

Dựa vào đồ thị hàm số      2 

y f x  f x  x  Khi đó:      2  3

Câu 40 Cho hình vuông OABC có độ dài cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường

cong   1 2

: 4

C y  x Gọi S S1; 2 lần lượt là phần diện tích của phần không bị gạch và

phần bị gạch ( tham khảo hình vẽ bên) Tỉ số 1

Câu 41 Trong công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau Mỗi mảnh

đất được trồng một loài hoa khác nhau và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học Ở đó có một mảnh đát mang tên Bernoulli, nó được tọa thành từ những đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ 0xylà

Gọi phương trình tiếp tuyến qua điểm 5; 6

5 1

y  x mx  m x Gọi a b, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất S Tính tổng ab

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị các hàm số đã cho là

Do đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại điểm  1;0 và cắt trục hoành tại điểm 2;0 nên     2 

0

a

a b

b a

42

3

x x dx

Câu 46 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y sin ,x y cosx và S S1 , 2 là diện tích của

các phần được gạch chéo như hình vẽ Tính S12S22

A S12S22  10 2 2 B S12 S22 8 C 2 2

S S   D S12S22 16

Lời giải Chọn D

3 5

;

5 4

4 4

4

4 4

Câu 47 Cho hai số thực dương a b, khác 1 và đồ thị của các hàm số y loga x y,  logb x như

hình vẽ bên Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trụ hoành tại điểm có hoành độ x k k  1 Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y loga x d, và trục hoành, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y logb x d, và trục hoành Biết S1 4S2 Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y loga x và Ox là :loga x   0 x 1

Câu 48 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung tròn y 8x2 , đường cong y 2x và trục

hoành (phần tô đậm màu đen) bằng

0 0

k k k1k2 lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng đi qua điểm A 0;9 và chia

 H thành ba hình phẳng có diện tích bằng nhau ( tham khảo hình bên )

Giá trị k1 k2 bằng

A 13

4Lời giải

03

Câu 50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip chính tắc có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài

trục nhỏ bằng 6 và hình chữ nhật ngoại tiếp elip đã cho

Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo ( hình vẽ ) bằng

;

2 2

3 125

M x

B A