Học sinh tự giải... Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Trang 1THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
——————
Câu I (2,0 điểm)
1 Học sinh tự giải
2 Đường thẳng đi qua A(0; 2) có phương trình dạng d : y = kx + 2
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi
1
4x4− 2x2+ 2 = kx + 2 (1)
x3− 4x = k (2) có nghiệm.
Thay (2) vào (1) ta có 3x4− 8x2= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±q8
3 Với x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ d : y = 2; với x = ±q8
3 ⇒ k = ∓8 √
6
9 ⇒ d : y = ∓8 √
6
9 x + 2
Vậy có ba tiếp tuyến qua A là y = 2 và y = ∓8 √
6
9 x + 2
Câu II (2,0 điểm)
1 Phương trình đã cho tương đương với
1
4cos 3x (3 cos x + cos 3x) −
1
4sin 3x (3 sin x − sin 3x) =
1
4sin 8x +
1
2cos 4x +
1 4
⇔3 (cos 3x cos x − sin 3x sin x) = sin 8x + 2 cos 4x ⇔ 3 cos 4x = 2 sin 4x cos 4x + 2 cos 4x
⇔ cos 4x (1 − 2 sin 4x) = 0 ⇔
cos 4x = 0 sin 4x = 1
2
⇔
x = π
8+ kπ 4
x = π
24+ kπ 2
x = 5π
24+ kπ 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = π
8 + k
π
4, x =
π
24+ k
π
2, x =
5π
24 + k
π
2 (k ∈ Z)
2 Hệ đã cho tương đương với
( (x + y)2− xy = 7 h
(x + y)2− 2xyi2− (xy)2= 21 . Đặt x + y = S, xy = P S2− 4P ≥ 0 Hệ đã cho trở thành
S2− P = 7 (S2− 2P )2− P2= 21 ⇔
S2= 9
P = 2 ⇔
S = 3
P = 2 hoặc
S = −3
P = 2
Với S = 3, P = 2 ⇒
x = 1
y = 2 hoặc
x = 2
y = 1 Với S = −3, P = 2 ⇒
x = −1
y = −2 hoặc
x = −2
y = −1 . Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 2), (x; y) = (2; 1), (x; y) = (−1; −2) và (x; y) = (−2; −1)
Câu III (1,0 điểm) Đặt
u = ln(x − 1)
dv = x2dx ⇒
du = x−11 dx
v = x33 , ta có:
I = x
3
3 ln(x − 1)
5
2
−1 3
5
Z
2
x3
x − 1dx =
125 ln 4
3 −1 3
5
Z
2
x2+ x + 1 + 1
x − 1
dx
=125 ln 4
3 −1 3
x3
3 +
x2
2 + x + ln(x − 1)
5
2
= 124 ln 4
3 −35
2 Câu IV (1,0 điểm)
A
D
A0
D0
H
Từ giả thiết có các tam giác ABD, A0AD, A0AB là các tam giác đều Gọi H là trọng tâm tam giác ABD ta có
A0H⊥(ABCD) ⇒ A0H =pA0A2− AH2=
r
a2−3a
2
9 =
a√ 6 3 Lại có SABCD= a.a sin 600= a
2√ 3
2 . Vậy thể tích khối hộp là VABCD.A0 B 0 C 0 D 0 = SABCD.A0H = a
3√ 2
2 (đvtt). Câu V (1,0 điểm) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
1
2x + y + z =
1
x + x + y + z ≤ 1
4√4
xxyz ≤ 1
16
1
x+
1
x+
1
y +
1 z
1
2y + z + x =
1
y + y + z + x≤ 1
4√4
yyzx ≤ 1
16
1
y +
1
y +
1
z+
1 x
——————
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
7
Trang 22z + x + y =
1
z + z + x + y ≤ 1
4√4
zzxy ≤ 1
16
1
z +
1
z +
1
x+
1 y
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên được
1 2x + y + z +
1 2y + z + z +
1 2z + x + y ≤1
4
1
x+
1
y +
1 z
= 1
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =4
3 Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Ta có C ∈ d2⇒ C(t; 1 − t) Gọi M là trung điểm AC ⇒ M t+1
2 ;3−t
2
Lại có M ∈ d1nên t + 1 + 3−t
2 + 1 = 0 ⇔ t = −7 ⇒ C(−7; 8)
Gọi K là hình chiếu của A trên d2⇒ K(t; 1 − t) ⇒−−→AK = (t − 1; −t − 1)
Khi đó−−→
AK.−u→
2= 0 ⇔ t − 1 + t + 1 = 0 ⇒ t = 0 ⇒ K(0; 1)
Gọi A0 là điểm đối xứng với A qua d2⇒ A0(−1; 0)
Đường thẳng BC qua C và có véctơ chỉ phương −→u =−−→CA0 = (6; −8) nên có phương trình
x = −7 + 6t
y = 8 − 8t .
2 Gọi véctơ pháp tuyến của (α) là −→n = (a; b; c) 6=−→0
Mặt phẳng (α) qua A nên có phương trình ax + by + cz − 2a + b = 0
Hơn nữa (α) qua B nên 5a + b + c − 2a + b = 0 ⇔ c = −3a − 2b ⇒ (α) : ax + by − (3a + 2b) − 2a + b = 0 Lại có d(M ; (α)) = 7
6√
3 ⇔
−7
2a q
a2+ b2+ (3a + 2b)2
= 7
6√
3 ⇔
a = b 17a = −5b . Với a = b, chọn a = b = 1 ⇒ (α) : x + y − 5z − 1 = 0
Với 17a = −5b, chọn a = 5, b = −17 ⇒ (α) : 5x − 17y + 19z − 27 = 0
Câu VII.a (1,0 điểm) Ta có z =
√
5 − i (1 + i)
1 − i2 +
√
3 + i (−i)
−2i2 = 2 +
√ 5
√
5 −√
3 − 1
Vậy phần thực là 2 +
√ 5
2 , phần ảo là
√
5 −√
3 − 1
2 và |z| =
s
9 +√
3 +√
5 −√ 15
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Ta có A ∈ ∆1⇒ A(t; t + 1) Vì M là trung điểm AB ⇒ B(4 − t; 1 − t)
Mặt khác B ∈ ∆2nên 8 − 2t + 1 − t + 1 = 0 ⇔ t = 103 ⇒ A 10
3;133 ⇒−−→M A = 43;103
Do đó d qua M và có véctơ chỉ phương −→u = (2; 5) nên có phương trình x = 2 + 2t
y = 1 + 5t .
2 Vì A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz nên A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0)
Suy ra OA = a, OB = b, OC = c, do đó thể tích tứ diện OABC là V =16abc
Lại có (α) có phương trình đoạn chắn x
a +
y
b +
z
c = 1.
Vì (α) qua M nên 9
a+
1
b +
1
c = 1 ≥ 3
3
r 9 abc⇔ abc ≥ 243
Dấu bằng xảy ra khi 9
a =
1
b =
1
c =
1
3 ⇔ a = 27, b = c = 3
Vậy mặt phẳng (α) cần tìm là x
27+
y
3 +
z
3 = 1 ⇔ x + 9y + 9z − 27 = 0.
Câu VII.b (1,0 điểm) Ta có z =
212−
√ 3
2 i
2
√ 3
2 +12i =
cos −π3 + i sin −π
3
cosπ6 + i sinπ6 = cos
−π 2
+ i sin−π
2
——— Hết ———
——————
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
8
...z+
1 x
——————
Biên so? ??n: Nguyễn Minh Hiếu
7
Trang 22z +... IV (1,0 điểm)
A
D
A0
D0
H
Từ giả thi? ??t có tam giác ABD, A0AD, A0AB tam giác Gọi H trọng tâm tam giác ABD ta... nên có phương trình x = + 2t
y = + 5t .
2 Vì A, B, C thu? ??c tia Ox, Oy, Oz nên A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0)
Suy OA = a,