Biên soạn : Phạm Quốc Khánh Soạn theo ppct TOÁN hh11 thay sách 2008 – chế độ click dễ sử dụng. I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN : Ta có : (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 = 0 2 1 2 2 2 2 2 C a C ab C b + + (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = 0 3 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 C a C a b C ab C b + + + Có công thức sau : ( ) 0 1 1 2 2 2 1 1 . . n n n n k k n k n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C a b C b − − − − − + = + + + + + + + Được gọi là công thức Nhị thức NiuTơn Hệ quả : a) Với a = 1 = b ⇒ 0 1 2 . n n n n n C C C = + + + b) Với a = 1 ; b = - 1 ⇒ ( ) ( ) 0 1 0 . 1 . 1 k n k n n n n n C C C C = − + + − + + − Chú ý : a) Các số hạng tử là n + 1 b) Số mũ của mỗi số : ( ) k k n k n C a b k n k n − ⇒ + − = c) Các hệ số cách đều hai hạng tử đầu và cuối bằng nhau : 1 1n k n k n n n n C C C C − − = ⇔ = Ví dụ 1 : Khai triển biểu thức : ( x + y) 6 Giải : Theo công thức có : ( ) 6 0 6 1 5 2 4 2 3 3 3 4 2 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 x y C x C x y C x y C x y C x y C xy C y + = + + + + + + 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 6 15 20 15 6x x y x y x y x y xy y = + + + + + + 1 6 15 20 15 6 1 Ví dụ 2 : Khai triển biểu thức : ( 2x - 3 ) 4 Giải : Theo công thức có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 2 2 1 3 4 0 1 2 3 4 4 4 4 4 4 2 3 2 2 3 2 3 2 3 3x C x C x C x C x C − = + − + − + − + − 4 6x = 1 3 96x − 2 216x + 216x − 81 + Ví dụ 3 : Chứng tỏ rằng n ≥ 4 ta có : 2 n – 1 Giải : Kí hiệu 0 2 4 1 3 5 n n n n n n = C + C + C + . = C + C + C + . 0 2 4 n n n A = C + C + C + . 1 3 5 n n n B = C + C + C + . Theo hệ quả có : 0 2 4 1 3 n n n n n n A+ B = C + C + C + .+ C + C + .= 2 0 0 2 4 1 3 n n n n n A B = C + C + C + . C C .= − − − − Vậy suy ra : A = B = 2 n - 1 II. TAM GIÁC PA-XCAN : Trong công thức Nhị thức Niutơn cho n = 0 , 1 , 2 … và xếp các hệ số thành dòng , nhận được 1 tam giác Pa-xcan sau : n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 Từ công thức 1 1 1 k k k − − − = n n n C C + C suy ra cách tính các số hạng VD : 2 1 2 5 4 4 4 6 10 = = + = C C + C VD : Dùng Pa-xcan thể hiện : 1 + 2 + 3 + 4 = C 5 2 có : + + + = VD : Dùng Pa-xcan thể hiện : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = C 7 2 có : + + + + + = C 7 2 = 21 III. Bài tập áp dụng : VD 4: Khai triển nhị thức : 13 1 x x   −  ÷   ( ) ( ) ( ) 13 2 13 13 12 11 0 1 2 13 13 13 13 13 1 1 1 1 .x C x C x C x C x x x x       − = + + + +  ÷  ÷  ÷       13 x = 11 13x + 9 78x + 7 286x + 5 660x + 3 1287x + 2028x + 1 2028x − + 3 1287x − + 5 660x − + 7 286x − + 9 78x − + 11 13x − + 13 x − + VD 5: Tìm hệ số của x3 trong khai triển nhị thức : 6 2 2 x x   +  ÷   6 6 6 2 2 2 2 . k k k x C x x x −     + ⇒  ÷  ÷     6 6 3 12 2 2 . 2 k k k k x x x − − −   ⇒ =  ÷   3 12 3 5k k ⇒ − = ⇒ = Vậy hệ số của x 3 là : 5 6 5 6 .2 6.2 12C − ⇒ = = VD 6: Biết hệ số của x 2 trong khai triển (1 – 3x) n là 90 tìm n ? : ( ) ( ) 1 3 1 . 3 n n k k k n x C x − − ⇒ − ( ) 2 2 1 n k x x n k − ⇒ = ⇒ − = ( ) ( ) ( ) ( ) ! 3 90 3 90 2 ! ! n k n k k n n C k n k − − ⇒ − = ⇒ − = − Từ (1) và (2) ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 . ! 3 90 3 90 5 6 2 ! 2 ! 2! n n n n n n n n n n − + − ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = − − + VD 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức : 8 3 1 x x   +  ÷   8 8 3 3 8 1 1 . k k k x C x x x −     + ⇒  ÷  ÷     3 8 0 . 4 8 0 2 k k x x x k k − ⇒ = ⇔ − = ⇔ = Vậy số hạng phải tìm là : 2 8 28C = VD 8: T ừ khai triển nhị thức (3x – 4) 17 . Tìm tổng các hệ số của đa thức đó. A A B B B B C C C C D D D D 0 1 2 − 1 VD 9: Chứng minh rằng : 10 ) 11 1a − chia hết cho 100 10 ) 101 1b − chia hết cho 10 000 ( ) ( ) 100 100 ) 10 1 10 1 10c   + − −     là một số nguyên Khai triển 11 10 = ( ) 10 0 10 1 9 2 8 3 7 9 10 10 10 10 10 10 10 10 1 10 10 10 10 . 10 1C C C C C C + = + + + + + + Khai triển 101 100 = (100 + 1) 100 Khai triển ( ) ( ) 100 100 1 10 & 1 10 + − Bài tập về nhà : làm các bài tập còn lại trang 57 và 58 sách giáo khoa GT11 . có : + + + + + = C 7 2 = 21 III. Bài tập áp dụng : VD 4: Khai triển nhị thức : 13 1 x x   −  ÷   ( ) ( ) ( ) 13 2 13 13 12 11 0 1 2 13 13 13 13 13. C a C ab C b + + (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = 0 3 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 C a C a b C ab C b + + + Có công thức sau : ( ) 0 1 1 2 2 2 1 1 .