Chuyên đề cực trị của hàm số

Cơ sở lý luận: Mục tiêu của môn Toán ở trường THCS là nhằm cung cấp cho học sinh nhữngkiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện các kỹ năng giải toánvà ứng dụng

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

1 Cơ sở lý luận:

Mục tiêu của môn Toán ở trường THCS là nhằm cung cấp cho học sinh nhữngkiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện các kỹ năng giải toánvà ứng dụng vào thực tế , rèn luyện khả năng suy luận hợp lý,sử dụng ngôn ngữ chínhxác , bồi dưỡng các phẩm chất tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mụctiêu trên , phương pháp dạy học trong giai đoạn mới là tích cực hóa các hoạt động họctập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học , tự phát hiện và giải quyết vấn đề của họcsinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất tư duy cần thiết

Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, ngườihọc và cả người nghiên cứu Qua việc dạy và học toán, con người được rèn luyện nănglực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kỹnăng, nhân cách cần thiết của người lao động trong thời đại mới Muốn học giỏi toán ,học sinh phải luyện tập, thực hành nhiều, tức là phải học giải toán Học giải toán là mộtcách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với họcsinh, nhưng đó lại là điều cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trườngTHCS.Vì vậy, để nâng cao chất lượng dạy và học toán, người thầy giáo cần truyền chohọc sinh sự ham thích giải toán , bằng những phương pháp , kỹ năng cơ bản và ứng dụngcủa mỗi dạng loại toán

2 Cơ sở thực tế:

- Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung , bồi dưỡng học sinh giỏi toán nóiriêng hiện đang được phát động sôi nổi ở tất cả các trường , nhằm phát hiện và bồi dưỡngnhững học sinh có năng lực tư duy linh hoạt và sáng tạo , tạo nguồn nhân lực tốt cho côngcuộc xây dựng đất nước Đây là một nhiệm vụ khá quan trọng và cũng không kém phầnkhó khăn, bởi vì:

+ Lòng say mê, tìm tòi và ý thức nghiên cứu của nhiều giáo viên còn thiếu vàcòn yếu

+ Tài liệu giảng dạy phù hợp với đối tượng là học sinh THCS còn quá ít trong thưviện của các trường và tủ sách của cá nhân từng giáo viên

+ Đối tượng học sinh được chọn bồi dưỡng , có trình độ không đồng đều, phầnlớn không đáp ứng được nội dung chương trình bồi dưỡng

-Bài toán “Tìm cực trị của một biểu thức “ thường có trong các đề thi học sinh giỏi

ở các lớp 8,9 và thi tuyển vào lớp 10 trong những năm gần đây Ngòai ra, bài toán cực trịcòn được ứng dụng rộng rãi trong việc giải một số dạng toán khác Nhiều học sinh dự thihọc sinh giỏi toán , “rất ngại” phải “chạm trán” với bài toán cực trị Nguyên nhân chủquan là các em không định hướng được cách giải, nguyên nhân khách quan là tính đadạng của bài toán cực trị Trong khi đó kiến thức mà các em lĩnh hội được trong chương

trình đại trà lại quá sơ sài, chỉ với bất đẳng thức Côsi , bất đẳng thức chứa dấu giá trịtuyệt đối và một ít bài tập trong sách bài tập tóan ở các lớp 7,8,9.

- Qua thực tế giảng dạy cùng với sự cố gắng tìm tòi , tham khảo trong các tài liệuliên quan, chúng tôi nêu ra “Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số”, nhằm cùngvới các bạn đồng nghiệp xây dựng một hệ thống các phương pháp giải bài tóan cực trịđại số , một loại toán tương đối khó với nhiều học sinh, góp phần nâng cao chất lượngdạy và học

II NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Tên đề tài: “ Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số”

Nhiệm vụ:

- Đưa ra một số sai lầm học sinh thường gặp khi giải bài toán cực trị

- Nêu một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số (có ví dụ minh họa chotừng phương pháp), phù hợp với đối tượng học sinh THCS

- Một số ứng dụng của bài toán cực trị đại số vào việc giải các dạng toán khác

III PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Dựa vào:

- Căn cứ đề thi và bài làm của học sinh dự thi học sinh giỏi toán các cấp , thituyển vào lớp 10 để tìm những sai sót học sinh thường mắc phải

- Căn cứ vào thực tế giảng dạy của giáo viên bộ môn toán bậc THCS ở đơn vịtrường và các trường bạn

- Dựa vào giáo trình phương pháp dạy học toán và tài liệu bồi dưỡng nâng caomôn toán

IV CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN TIẾN HÀNH:

+ Các tài liệu nâng cao về Toán

- Đối tượng: Học sinh lớp 8,9

- Thời gian tiến hành: Từ năm 2005 đến 2008

PHẦN II : NỘI DUNG

I) MÔ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI:

* Khi giảng dạy chuyên đề cực trị, GV thường trang bị cho HS định nghĩa mởđầu sau :

Cho biểu thức f(x,y,…)xác định trên miền D Ta nói:

a/ M là GTLN của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

- Với mọi x,y,… thuộc D thì f(x,y,…)≤ M , với M là hằng số

- Tồn tại xo,yo,… thuộc D sao cho f(xo,yo,…)=M

b/ m là GTNN của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

- Với mọi x,y,… thuộc D thì f(x,y,…)≥ m , với m là hằng số

- Tồn tại xo,yo,… thuộc D sao cho f(xo,yo,…)=m

* Tuy vậy, qua thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy học sinh thường không vậndụng đúng định nghĩa vào việc tìm cực trị của một biểu thức và hay mắc một sốsai lầm sau:

1/ Với những bài toán tìm cực trị của biểu thức có điều kiện ràng buộc đối với các biến , học sinh thường kết luận GTLN , GTNN của biểu thức mà không để ý đến điều kiện ràng buộc đó:

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x2 – 3x + 5 với x ≥ 2

4 khi x = 3

2Phân tích sai lầm: x = 32 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2Lời giải đúng: A =

2/ Khi tìm cực trị của biểu thức f(x,y,…) bằng cách biến đổi f(x,y,…)≥g(x,y,…) ≥m hoặc f(x,y,…)≤g(x,y,…)≤M , học sinh thường không quan tâm đến sự xảy ra đồng thời của các dấu bằng có trong các bất đẳng thức:

Ví dụ 2: Tìm GTNN của f(x,y) = 4x2 + 4y2 – 4xy – 3x

HS giải: f(x,y) = x2 – 4xy + 4y2 + 2x2 – 4x + 2 + x2 + x – 2

Nên f(x,y) có GTNN là -94 khi x = -12 và x - 2y = 0  y= -14

Phân tích sai lầm: Dấu bằng xảy ra ở (1) khi x = 2y và x = 1

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi x = - 12Hai dấu “=” xảy ra không đồng thời nên GTNN của g(x) khôngphải là GTNN của f(x,y) Vậy theo cách trên không tìm đượcGTNN của f(x,y)

Lời giải đúng: f(x,y) = 4x2 + 4y2 – 4xy – 3x = 4y2 – 4xy + x2 + 3(x2 - x)

= (2y - x)2 + 3

2

12

4 khi x=1

2, y=14

3/ Khi HS chứng minh được f(x,y,…)≥g(x,y,…) hoặc f(x,y,…)≤g(x,y,…), thấy thuận lợi đã vội vàng kết luận GTNN,GTLN trong khi chưa chứng minh được f(x,y,…)≥ m hoặc f(x,y,…)≤ M.

Ví dụ 3 : Tìm GTNN của A = x2 + y2 biết x + y = 4

HS giải: Ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy

Do đó A nhỏ nhất  x2 + y2 = 2xy  x = y = 2 (do x + y = 4 ) Khi đó min A = 22 + 22 = 8

Phân tích sai lầm: Kết quả tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm Hs chỉmới chứng minh được f(x,y)≥g(x,y) chứ chưa CM được f(x,y,…)≥ m với m làhằng số

Lời giải đúng: Ta có x + y = 4  x2 + 2xy + y2 = 16 (1)

Ta lại có (x - y)2 ≥ 0 x,y  x2 - 2xy + y2≥ 0 (2) Từ (1) và (2): 2(x2 + y2) ≥ 16  x2 + y2 ≥ 8

Vậy min A = 8  x = y = 2

4/ Khi tìm cực trị của một phân thức mà tử thức và mẫu thức không phải là luôn dương HS thường máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên

Ví dụ 4: Với giá trị nào của x thì A =  

11

x  x đạt giá trị nhỏ nhất

HS giải: A nhỏ nhất khi x1 x đạt giá trị lớn nhất

Thật vậy, vì A < 0  x > 1 nên giả sử A có GTNN tại x = xo thì xo >1 Khi đó : xét xo > x1>1 thì 2 2

Vậy A không có GTNN

5/ Thiếu linh hoạt và sáng tạo trong quá trình biến đổi, áp dụng các bất đẳng thức một cách cứng nhắc và máy móc dẫn đến bế tắc trong quá trình tìm cực trị của một biểu thức , chẳng hạn chứng tỏ được f(x,y,…)≤ M hoặc f(x,y,…)≥ m (M,m R) song không tồn tại các bộ giá trị (x o ,y o ,…) sao cho f(x o ,y o ,…)=M hoặc f(x o ,y o ,…)=m

dương thỏa mãn x2 + y2 = 1

(Thi HSG toán lớp 9-tỉnh Bình Định – Năm học 2004-2005 và 2006-2007)

= 1 thì x,y không tồn tại

Do đó có hai xu hướng xảy ra: - Bế tắc trong quá trình tìm minB

- Min B không tồn tại

Phân tích sai lầm:Thiếu linh hoạt trong quá trình biến đổi và chưa tận dụng đượcgiả thiết x2 + y2 = 1

Lời giải đúng: B = 1 1 x x 1 1 y y

y y

II) CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC: 1/ LÝ THUYẾT:

 Cần củng cố định nghĩa về GTLN,GTNN của một biểu thức:

+ BĐT cơ bản: A2 ≥ 0 , A  min A2 = 0 ,khi A=0

-A2 ≤ 0 , A  max (-A2) = 0 , khi A=0

Suy ra: (A - B)2≥ 0 (1)  A2 + B2 ≥ 2AB (2)

(4) ↕ (3) 4AB ≤ (A + B)2 ≤ 2(A2 + B2)

a

a a

b b  b ) BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối:

a b a  b (đẳng thức xảy ra khi ab≥0)

a b a  b (đẳng thức xảy ra khi ab≥0 và a b )BĐT Trê-bư-sép:

Cho hai dãy sắp thứ tự giống nhau: a1 ≤ a2 ≤…≤an ; b1≤b2≤…≤bn :(a1 + a2 +…+an)( b1 + b2 +…+ bn)≤ n(a1b1 + a2b2 +… + anbn)

đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 =…=an, b1 = b2 =…= bn ………

- Đây là phương pháp thường được sử dụng , bởi vì rất nhiều các bất đẳng thức học sinhđược học từ chuyên đề “Bất đẳng thức” được ứng dụng rộng rãi trong nhiều dạng loại toán , đặcbiệt trong dạng toán tìm cực trị Khi sử dụng các bất đẳng thức đã biết ta cần lưu ý các điều kiệnđể bất đẳng thức trở thành đẳng thức

*Các bất đẳng thức cơ bản thường dùng :

Bất đẳng thức Cô-si và các hệ quả Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ,

 Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1 : Với a,b,c là các số dương, hãy tìm GTNN của biểu thức:

Ví dụ 2 : Cho 3x – 4y = 7 Tìm GTNN của S = 3x2 + 4y2

Hướng dẫn : Khi tìm cực trị của các biểu thức có điều kiện ràng buộc của các biến , ta thườngsử dụng hợp lý các BĐT đã biết để ghép điều kiện đó vào biểu thức cần tìm cực trị

Giải : Theo BĐT Bu-nhi-a-cốpxki , ta có :

( 3).( 3 ) ( 2).(2 )x   y 2 (3 4)(3 x2 4 )y2

49 77

S S

x y

x y

Ví dụ 3: Cho x > 0, y > 0, z > 0 và x2007 + y2007 + z2007 = 3

Tìm GTLN của : E = x2 + y2 + z2 Hướng dẫn : Ta thấy x2 = 2007x2007.x2007 , do đó để sử dụng được giả thiết x2007 + y2007 +

z2007 = 3 , ta áp dụng BĐT Cô-si để hạ bậc biểu thức điều kiện và sử dụng quy tắc cộngcác BĐT cùng chiều

Giải : Aùp dụng BĐT Cô-si cho 2005số 1 và hai số x2007 , ta có :

2007 2007

2007 2007 2007

1 1

.2007

Vậy Max E = 3  x = y = z = 1

 Bài tập tham khảo:

 Cho x1,x2 là hai nghiệm của phương trình : 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0

b) Phương pháp 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA DẦN CÁC BIẾN VÀO TRONG CÁC

BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG

 Phương pháp:

- Sử dụng các hằng đẳng thức (a  b)2 ; (a  b  c)2, … và phương pháp tách các hạng tử ,thêm- bớt các hạng tử để đưa dần các biến vào trong các bình phương của tổng, đưa biểu thứcđã cho về dạng A2+B2+ + m để suy ra GTNN hoặc -A2 -B2 - + M để suy ra GTLN của biểuthức

- Phương pháp này thường được sử dụng để tìm cực trị của các đa thức bậc hai Khi sửdụng phương pháp này cần lưu ý về điều kiện xảy ra đồng thời đối với các biến để A = 0, B =0,

 Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x + 1)2 + (x – 3)2

Hướng dẫn: A = (x + 1)2 + (x – 3)2 = 2(x – 1)2 + 8  8

Vậy Min A = 8 <=> x = 1

Ví dụ2: Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – 1

Hướng dẫn: B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – 1

= - (x + y – 3)2 – 4(x – 1)2 – (y – 2)2 + 16  16 Vậy Max B = 16 <=> x= 1; y = 2

Ví dụ3: Tìm gia trị nhỏ nhất của C= x2 + 6y2 + 14z2 – 8yz + 6xz – 4xy

Hướng dẫn: C= x2 + 2(3z – 2y)x + 6y2 + 14z2 – 8yz

= (x + 3z – 2y)2 + 6y2 + 14z2 – 8yz - (3z – 2y)2

= (x + 3z – 2y)2 + 2(y + z)2 + 3z2 ≥ 0 Vậy Min C = 0 <=> x = y = z = 0

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2008

Hướng dẫn: 4D = 4x2 +4 xy + 4y2 – 12x – 12y + 8032

= (4x2 + y2 + 9 + 4xy – 12x – 6y) + (3y2 – 6y + 3) + 8020

 D = 12 32 3 12 2005 2005

4 x y  4 y   Dấu đẳng thức xảy ra 2 3 0 1

1 0

x y

x y y

Ví dụ 5: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy +7(x+y) + 2y2 + 10 = 0 (1)

 Bài tập tham khảo:

 Tìm GTNN của biểu thức : F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz - 2x -2y - 8z + 2008

 Cho x + y + z = 3 Tìm GTLN của biểu thức : G = xy + yz + zx

c) Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ HÀM SỐ

 Phương pháp:: -Dùng kỹ năng biện luận phương trình để tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số y = f(x) như sau:

Giả sử y = yo (yo là hằng số)

Xét phương trình yo = f(x)  f(x) – yo = 0 (1)

Trong đó x là ẩn số , yo là tham số

yo thuộc miền giá trị của f  phương trình (1) có nghiệm.

 Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: y = 2 4 22 3

thì phương trình : yo (x2 + 1) = x2 + 4 2x  <=> (y3 o – 1)x2 - 4 2x + yo – 3 = 0 (1) phảicó nghiệm đối với ẩn x Khi đó ta xét các trường hợp:

Ví dụ 2 : Cho x,y thỏa mãn hệ thức 36x2 + 16y2 – 9 = 0 (1)

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : P = -2x + y + 5 (2)

Hướng dẫn : Để thành lập phương trình chỉ có một ẩn x hoặc y và P là tham số ,ta cần rút

x hoặc y ở phương trình (2) và thế vào phương trình (1) nhằm khử bớt một ẩn , để cho đơn giản tanên rút y

y = 2x + P - 5  36x2 + 16(2x + P - 5)2 – 9 = 0

 100x2 + 64(P - 5)x + 16(P - 5)2 – 9 = 0 (3) (3) có nghiệm với ẩn x  ’ ≥ 0  576 (P - 5)2 ≤ 900  15 25

4  P 4Với P= 15

4 : Từ (3)  x = 2

5 ; (2)  y = 9

20

 P= 25

4  x = -2

5 ; y = 9

20 Vậy max P= 25

 )

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : C = 2 3 1 7

x  x Hướng dẫn : Điều kiện : 0 x 1

Đặt z = x , y = 1 x thì z2 + y2 = 1 (1)

Ta cần tìm GTLN , GTNN của d = 4z + 3y với 2C = d + 7

Điều kiện : 0  z, y  1 và 0 < d < 7

Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1) ta được : 25z2 – 8dz + d2 – 9 = 0

Để phương trình này có nghiệm z thì ’  0  d2 25  d 5

+ GTLN của d là 5  GTLN của C là 6 ,khi z = 4 4 2 16

d

x z

    (thoả) + d = 4z + 3y  2 12yz Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y

Thay vào (1) ta được 3; 4 9

z y  x (thỏa) Khi đó GTNN của d là 12 .4 3 24

5 5  5  GTNN của C là 59

10  Bài tập tham khảo:

 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : P = 222 7 3

d) Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP XÉT BIỂU THỨC PHUÏ

 Phương pháp:: Khi tìm cực trị của một biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểuthức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị và việc tìm cực trịcủa biểu thức sau đơn giản hơn

Để tìm cực trị của A , ta có thể xét các biểu thức phụ khác là : - A ; 1

A ; A2 ; A hoặc

biểu thức B sai khác với A một hằng số

Ví dụ : -A lớn nhất  A nhỏ nhất

1

Blớn nhất  B nhỏ nhất (B > 0)

C lớn nhất  C2 lớn nhất ( C > 0),

 Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 1 2

5 2 6 x 

Hướng dẫn : - Ta thấy A>0 với mọi x thuộc MXĐ của A

- Biểu thức A là nghịch đảo của biểu thức B= 5 2 6 x  2 với B luôn dương, dođó ta thay việc tìm cực trị của A thành tìm cực trị của B đơn giản hơn

Giải : Điều kiện : x  6 Ta có : A > 0 Xét biểu thức : B = 1

A = 5 2 6 x  2 Ta có : 0  6 x2  6

 5 5 2 6   x2  5 2 6Min B = 5  6 x2  0 x 6 Khi đó Max A = 1

5.Max B = 5+2 6  6  6 x2  x 0

Khi đó Min A = 1 5 2 6

5 2 6  

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : C = 3 4 2 2 23 4

(1 )

x x x

Hướng dẫn: Biểu thức C xác định với mọi giá trị của x , ngòai việc tìm cực trị bằngphương pháp miền giá trị hàm số , ta có thể tách biểu thức C để xét biểu thức phụ:

C = 3 - 4 2 22

x

x  x  = 3 - D Khi đó , vì D ≥ 0 x nên ta co:ù maxC = 3 – minD, min C = 3 – maxD

+ D ≥ 0  minD = 0  max C = 3 khi x=0

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c

b  c  a Trong đó các số dương a,b,c thỏamãn điều kiện a + b + c ≥ 3 (Thi HSG lớp 9 – huyện Phù Mỹ – năm học 2004-2005)

Hướng dẫn: Đặt A = a b c

Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của : A = x2 4x12  x2 2x3

Hướng dẫn : Ta thấy A>0 với mọi x thuộc TXĐ của A, do đó ta thay việc tìm cực trị của A

bằng việc tìm cực trị của A2 để làm mất bớt dấu căn

Giải : Điều kiện :