Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

Đối tượng và khách thể nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp điều tra

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích đượchứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt đượcmục đích học tâp

Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặcbiệt quan trọng Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vàomục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cậnkiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất

Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một tỷ lệđáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinhgặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm sốnói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Đặc biệt là từ khi Bộ GDvà ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải cókiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toánmột cách nhanh nhất

Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài

toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.

II Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách tiếp cậnnhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ đó từng bước tháo

gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chấtlượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về chủ

đề “Cực trị hàm số”

IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.

Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A5 và 12A9.

V Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số; tìm điều kiện của tham số m để

hàm số có n điểm cực trị; tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x x 0

VI Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp điều tra thực tiễn

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

VII Cấu trúc của SKKN

A Đặt vấn đề

I Lý do chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu

III Nhiệm vụ nghiên cứu

IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu

V Phạm vi nghiên cứu

VI Phương pháp nghiên cứu

VII Cấu trúc của SKKN

B Nội dung

I Cơ sở lý thuyết

II Một số dạng toán

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

C Kết luận và đề xuất

Khi đó f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f  0

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm 0 x 0

Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D

Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số.

 Đạo hàm 'f có thể triệt tiêu tại điểm x nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm 0 x 0

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a b chứa điểm ;  x và có đạo hàm trên các 0

khoảng a x và ; 0 x b Khi đó :0; 

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a b chứa điểm ;  x , 0 f x  và' 0 0

f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

Nếu f '' x  thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0 0 x 0

Nếu f '' x  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0 0 x 0

Cho hàm số yf x  có đồ thị  C Khi đó, với số a  ta có:0

a) Nếu tịnh tiến  C theo phương của x a lên trên a đơn vị ta được đồ thị hàm số

c) Nếu tịnh tiến  C theo phương của y a  qua trái a đơn vị ta được đồ thị hàm số yf x a  

d)Nếu tịnh tiến  C theo phương của y a  qua phải a đơn vị ta được đồ thị hàm số

h) Đồ thị của hàm số yf x a   có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số yf x  rồi tịnh tiến

đồ thị yf x theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

i) Đồ thị của hàm số yf x a   có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái ađơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy

k) Đồ thị của hàm số yf x a   có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy

5 Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị

a) Nếu đồ thị hàm số yf x( ) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị nằm bên

phải Oy) thì đồ thị hàm số yf x( )có 2n  điểm cực trị.1

b) Nếu đồ thị hàm số yf x( ) có n điểm cực trị và phương trình f x  có m nghiệm bội lẻ   0thì đồ thị hàm số y f x( ) có m n điểm cực trị

c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số yf ax b   c bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm sốyf x( )

d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi.

II Một số dạng toán:

Dạng 1: Cho đồ thị hàm số ( ).f x Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị

tuyệt đối liên quan đến ( ).f x

Phương pháp: S d ng các k t qu c a m c I.5 ử dụng các kết quả của mục I.5 ụng các kết quả của mục I.5 ết quả của mục I.5 ả của mục I.5 ủa mục I.5 ụng các kết quả của mục I.5.

Câu 1 Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số

Câu 2 Cho hàm số yf x( )có đồ thị như hình vẽ sau:

1. Hàm số yf x( )có bao nhiêu điểm cực trị?

2. Hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

3. Hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời gải

1 Đồ thị hàm số yf x( )có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số yf x( )có 5 điểm cực trị

2 Đồ thị hàm số yf x( )có 3 điểm cực trị và phương trình ( ) 0f x  có 2 nghiệm đơn nên

hàm số y f x( )có 5 điểm cực trị

3 Đồ thị hàm số yf x( )có 5 điểm cực trị và phương trình ( ) 0f x  có 2 nghiệm đơn nên

hàm số y f x( )có 7 điểm cực trị

Câu 3 Cho hàm số yf x( ) Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

1. Tìm m để hàm số g x  f x m   có 5 điểm cực trị

2. Tìm m để hàm số g x  f x m   có 7 điểm cực trị

3. Tìm m để hàm số g x  f x m   có 5 điểm cực trị

Lời giải

Ta có BBT của hàm số f x  :

+ -

+ -

f'(x)

+∞

2 1

-1 -2

-∞

x

1 Đồ thị hàm số g x  f x m   có được bằng cách:

+ Vẽ đồ thị hàm số yf x 

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị

được đồ thị hàm số g x  f x m  

Ta thấy: Hàm số yf x( )có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương  f x  có 5 điểm cực trị

f x m

  có 5 điểm cực trị với mọi m

2 Đồ thị hàm số g x  f x m   có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị

được đồ thị hàm số yf x m  

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số yf x m   nằm bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số g x  f x m  

Từ đó ta thấy: để hàm số g x  f x m   có 7 điểm cực trị thì hàm số yf x m  phải có 3 cực trị dương  tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox sang phải lớn hơn 1 đơn vị và không quá 2 đơn vị  2m 1.Vậy 2 m 1

3 Để hàm số g x  f x m   có 5 điểm cực trị thì hàm số yf x m  phải có 2 cực trị dương

 tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox (sang phải hoặc trái) phải thỏa mãn:

 Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị 0m1

 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị  0m1. Vậy 1 m1

Câu 4 Cho hàm số yf x( ) Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

1. Tìm m để hàm số g x f x m   có 5 điểm cực trị

2. Tìm m để hàm số g x f x m   có 5 điểm cực trị

3. Tìm m để hàm số g x f x m   có 3 điểm cực trị

1 Đồ thị hàm số g x  f x m   có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số yf x( ) bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số yf x 

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị

được đồ thị hàm số g x  f x m  

Ta thấy: Hàm số yf x( )có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương  f x  có 3 điểm cực trị

f x m

  có 3 điểm cực trị với mọi m Vậy không có giá trị nào của m để hàm số

g x f x m có 5 điểm cực trị

2 Đồ thị hàm số g x  f x m   có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị

được đồ thị hàm số yf x m  

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số yf x m   nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số

g x f x m

Từ đó ta thấy: để hàm số g x  f x m   có 5 điểm cực trị thì hàm số yf x m  phải có 2 cực trị dương  tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox sang phải lớn hơn 0 đơn vị  m0. Vậy m  0

3 Để hàm số g x  f x m   có 3 điểm cực trị thì hàm số yf x m   phải có 1 cực trị dương  tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox trái nhỏ hơn 3 đơn vị

+ Từ đồ thị hàm số f x hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị '  f x với trục hoành.' 

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x  

+ Dựa vào đồ thị của f x và biểu thức của '  g x để xét dấu '  g x ' 

Câu 1 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số yf x  Số điểm cực trị của hàm

số yf x  là

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số f x  có 4 điểm chung với trục hoành x1; 0; ; x x nhưng chỉ cắt thực sự2 3

tại hai điểm là 0 và x 3

Bảng biến thiên

Vậy hàm số yf x  có 2 điểm cực trị Chọn A.

Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của f x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và "băng' 

qua" luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị

 Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại

 Cắt và "băng qua" tr c hoành t d i lên thì đó là đi m c c ti u ụng các kết quả của mục I.5 ừ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu ưới lên thì đó là điểm cực tiểu ểm cực tiểu ực tiểu ểm cực tiểu.

Câu 2 Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số yf x  như hình bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số    2 

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;

   2 2 theo do thi '   2 

x   x    x        f x    2

Từ  1 và  2 , suy ra g x  2xf x 2 3 0 trên khoảng 2; nên  g x  mang dấu 

Nhận thấy các nghiệm x  và 1 x  là các nghiệm bội lẻ nên 0 g x  qua nghiệm đổi dấu; cácnghiệm x  là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy 2 f x  tiếp xúc với trục hoành tạiđiểm có hoành độ bằng 1 nên qua nghiệm không đổi dấu

Câu 3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên R và f  0 0, f  1 0, đồng thời đồ thịhàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g x  f 2 x là

20

f x

x x

Bảng biến thiên của hàm số g x 

Vậy hàm số g x có 3 điểm cực trị Chọn C. 

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ chọn x  0  1;b

Từ  1 và  2 , suy ra g 0 0 trên khoảng 1; b

Nhận thấy x2; x a x b ;  là các nghiệm đơn nên g x  đổi dấu khi qua các nghiệm này.Nghiệm x  là nghiệm kép nên 1 g x  không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏqua nghiệm x  vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của 1 g x 

Dạng 3: Cho đồ thị f x Hỏi số điểm cực trị của hàm số '  f u x    v x 

Phương pháp:

+ Từ đồ thị hàm số f x hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị '  f x với trục hoành.' 

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x    v x 

+ Dựa vào đồ thị của f x và biểu thức của '  g x để xét dấu '  g x ' 

Chú ý: * Nếu trong khoảng a b đồ thị hàm số ;  f x nằm trên đồ thị hàm số '  v x'( ) thì

Câu 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số yf x'  như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g x  f x  2017  2018x2019 là

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;0 ta thấy đồ thị hàm f x 

nằm phía dưới đường y  nên 1 g x  mang dấu 

Câu 3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực đại tại   x  Chọn C.1

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;0 ta thấy đồ thị hàm f x 

nằm phía trên đường yx 12 nên g x  mang dấu 

Nhận thấy các nghiệm x0; x1; x2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g x  đổi dấu

Câu 4 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên .R Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bêndưới Hàm số g x  2f x x2 đạt cực tiểu tại điểm

12

x x

g x

x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực tiểu tại   x  Chọn B.0

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng   ; 1 ta thấy đồ thị hàm

 

f x nằm phía trên đường y x nên g x  mang dấu 

Dạng 4: Cho biểu thức f x Hỏi số điểm cực trị của hàm số '  f u x  

Phương pháp:

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x   g x'  u x f u x'( ) ' ( )   

+Từ biểu thức của f x và '( )'  u x hãy xét dấu g x rồi suy ra số điểm cực trị của' 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số yf x  đạt cực đại tại x  Chọn D.3

Câu 2 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x1 x 1 2 x 2 1 với mọi x R Hàm

số g x  f x  x có bao nhiêu điểm cực trị ?

x  là nghiệm kép   hàm số g x có 2 điểm cực trị Chọn B. 

Câu 3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x2 1x 4 với mọi x R Hàm số

Câu 4 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x x2  1 x 42 với mọi x R Hàm số.

Ta thấy x  và 1 x  là các nghiệm bội lẻ   hàm số 0 g x có 3 điểm cực trị Chọn B. 

Câu 5 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x2 2x với mọi x R Hàm số

Dạng 5: Cho biểu thức f x m Tìm m để hàm số ' ,  f u x   có n điểm cực trị

Câu 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm   2  2 

f x  x x m x với mọi x R Có bao.

nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 5;5 để hàm số g x  f x  có 3 điểm cực trị ?

 Nếu m  thì hàm số 1 f x có hai điểm cực trị âm (  x3; x1) Khi đó, hàm số f x 

chỉ có 1 cực trị là x  Do đó, 0 m  không thỏa yêu cầu đề bài.1

 Nếu m  thì hàm số 3 f x không có cực trị Khi đó, hàm số  f x chỉ có 1 cực trị là   x 0

Do đó, m  không thỏa yêu cầu đề bài.3

 thì hàm số f x có hai điểm cực trị là x m   và x  3 0

Để hàm số f x có 3 điểm cực trị thì hàm số   f x phải có hai điểm cực trị trái dấu 

Câu 4 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x x2 1 x22mx5 với mọi x R Có

bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x  f x  có đúng 1 điểm cực trị ?