CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Lý thuyết + bài tập)

Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị Nếu x0là một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm x0.. ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

(2 tiết )

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm cực trị hàm số :

Giả sử hàm số f xác ñịnh trên tập hợp D D( ⊂ ℝ và ) x0 ∈D

0

)

a x ñược gọi là một ñiểm cực ñại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( )a b chứa ñiểm ; x0sao cho

( )a b; ⊂D và f x( ) ( )< f x0 với mọi x ∈( ) { }a b; \ x0 Khi ñó f x( )0 ñược gọi là giá trị cực ñại của hàm số f

0

)

b x ñược gọi là một ñiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( )a b chứa ñiểm ; x0sao cho

( )a b; ⊂D và f x( ) ( )> f x0 với mọi x ∈( ) { }a b; \ x0 Khi ñó f x( )0 ñược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị

Nếu x0là một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm x0

Như vậy : ñiểm cực trị phải là một ñiểm trong của tập hợp D D( ⊂ ℝ )

2 ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị:

ðịnh lý 1: Giả sử hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm x0 Khi ñó , nếu f có ñạo hàm tại ñiểm x0thì f'( )x0 = 0 Chú ý :

• ðạo hàm 'f có thể bằng 0 tại ñiểm x0 nhưng hàm số f không ñạt cực trị tại ñiểm x0

• Hàm số có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó hàm số không có ñạo hàm

• Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại ñó hàm

số không có ñạo hàm

3 ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị:

ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( )a b chứa ñiểm ; x0và có ñạo hàm trên các khoảng

( )a x; 0 và ( )x b Khi ñó : 0;

)

( )00 ( )0 0

 < ∈



 > ∈

 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x0 Nói một cách khác , nếu f'( )x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm x0thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x0

x a x0 b

( )

'

f x − +

( )

f x f a ( ) f b ( )

f x( )0

)

( )00 ( )0 0

 > ∈



 < ∈

 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x0 Nói một cách khác , nếu f '( )x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm x thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x

x a x0 b

( )

'

f x + −

( )

f x f x( )0

f a ( ) f b ( )

ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp một trên khoảng ( )a b chứa ñiểm ; x0,f '( )x0 = và f có ñạo 0 hàm cấp hai khác 0 tại ñiểm x0

)

a Nếu f ''( )x0 < thì hàm số f ñạt cực ñại tại ñiểm 0 x0

)

b Nếu f ''( )x0 > thì hàm số f ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 x0

4 Quy tắc tìm cực trị:

Quy tắc 1: Áp dụng ñịnh lý 2

• Tìm f '( )x

• Tìm các ñiểm x ii ( =1, 2, 3 )tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có ñạo hàm

• Xét dấu của f '( )x Nếu f '( )x ñổi dấu khi x qua ñiểm x0thì hàm số có cực trị tại ñiểm x0

Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý 3

• Tìm f '( )x

• Tìm các nghiệm x ii( =1, 2, 3 )của phương trình f '( )x = 0

• Với mỗi xi tính f ''( )xi

− Nếu f ''( )xi < thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0 xi

− Nếu f ''( )xi > thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 xi

Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số :

a f x = x −x − x +

b f x = x x +

c f x = x x −

( )

)

d f x = x Giải :

a f x = x −x − x +

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ

f x =x − x − f x = ⇔x = − x =

Cách 1 Bảng biến thiên

x −∞ 1− 3 +∞

( )

'

f x + 0 − 0 +

( )

f x 10

3 +∞

−∞ 22

3

−

Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 10

3

x = − f − = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( ) 22

3, 3

3

Cách 2 : f ''( )x =2x − 2

Vì f ''( )−1 = − < nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 4 0 ( ) 10

3

x = − f − =

Vì f '' 3( ) =4 > hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0 ( ) 22

3, 3

3

x x khi x

b f x x x

x x khi x





Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ

 + > >



Hàm số liên tục tại x = , không có ñạo hàm tại 0 x = 0

Bảng biến thiên

x −∞ 1− 0 +∞

( )

'

f x + 0 − +

( )

f x 1 +∞

−∞ 0

Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = −1,f ( )−1 = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 1 x = 0,f ( )0 = 0

c f x = x x −

Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ ( ) ( ( 3) ) 0

f x



= 



Ta có ( )

( )

0 2

3

2

x

khi x x

x

x



−



x −∞ 0 1 +∞

( )

'

f x + − 0 +

( )

f x 0 +∞

−∞ − 2

Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm x =0,f( )0 = , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu tại ñiểm 0 x =1,f( )1 = − 2

( )

)

d f x = x

Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ f x( ) x khi x 00

x khi x



= − <

khi x

f x

khi x



= − <



Bảng biến thiên

x −∞ 0 +∞

( )

'

f x − +

( )

f x +∞ +∞

0

Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm x =0,f( )0 = 0

Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau :

a f x =x −x

( )

( )

( )

d f x = −x x + Giải :

a f x =x −x

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn −2;2

2

4 2

4

x

x

−

−

( )

'

f x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm − 2thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = − 2,

( )2 2

( )

'

f x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 2 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = 2,

( )2 2

Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận:

x 2− − 2 2 2

( )

'

f x − 0 + 0 −

( )

f x 0 2

− 0 2

( )

Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ

Ta có f '( )x =2 sinx +2 s in2x =2 sinx(1 2 cos+ x)

π

π

ℤ

( )

'' 2 cos 4 cos 2

π

2 2 3

π

π

( )

f kπ = kπ + > ∀ ∈ ℤ Hàm số ñạt cực tiểu tại k x =kπ , f k( ) ( π =2 1−coskπ )

( )

Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ

x π n f π n

π  π

= +  +  = −

  và ñạt cực ñại tại

x π n π f π n π

( )

d f x = −x x +

Tương tự trên hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm ,

6

x = −π +kπ k

∈ ℤ và ñạt cực tiểu tại các ñiểm

,

6

π

Ví dụ 3 :

1 Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( ) 3 2

f x =ax +bx +cx + ñạt cực tiểu tại ñiểm d

( )

x = f = và ñạt cực ñại tại ñiểm x =1,f( )1 = 1

2 Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2

f x =x +ax +bx + ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm c x = − 2

và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A( )1; 0

Giải :

1 Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số ( ) 3 2

f x =ax +bx +cx + ñạt cực tiểu tại ñiểm d

( )

x = f = và ñạt cực ñại tại ñiểm x =1,f( )1 = 1

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ

f x = ax + bx +c f x = ax + b

Hàm số f x ñạt cực tiểu tại ( ) x = khi và chỉ khi 0 ( )

1

'' 0 0

f

 >  >  >

 Hàm số f x ñạt cực ñại tại ( ) x = khi và chỉ khi 1 ( )

2

'' 1 0

a b f

 <  + <





f = ⇒d = f = ⇒ + + + =a b c d hay a+ + =b c do d =

Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 suy ra a = −2,b = 3,c = 0,d = 0

Ta kiểm tra lại ( ) 3 2

f x = − x + x

f x = − x + x f x = − x +

( )

'' 0 6 0

f = > Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 0

( )

f = − < Hàm số ñạt cực ñại tại x = 1

Vậy : a = −2,b = 3,c =0,d = 0

2 Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2

f x =x +ax +bx + ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm c x = − 2

và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A( )1; 0

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ

Ta có ( ) 2

f x = x + ax + b

Hàm số ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm x = − khi và chỉ khi 2 ( )

1

2 0

a b c f





ðồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A( )1; 0 khi và chỉ khi f ( )1 = ⇔ + + + = 0 a b c 1 0 2( )

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra a =3,b = 0,c = − 4

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số y f x m( ), x3 m m( 1)x m3 1

− luôn có cực ñại và cực tiểu

Giải :

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ\{ }m

Ta có

( )

Dấu của g x cũng là dấu của ( ) y và ' 2 ( 2 )

∆ = − − = > ∀ Do ñó m∀ thì g x( )= 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 =m−1,x2 =m+1 thuộc tập xác ñịnh

x −∞ m − m 1 m+ 1 +∞

( )

'

f x + 0 − − 0 +

( )

f x +∞ +∞

−∞ −∞

'

y ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm x1 =m−1thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x1 =m −1 '

y ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm x2 =m +1thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x2 =m+1

Ví dụ 5:

1 Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) 2

1

f x

=

+ ñạt cực ñại tại x =2.

2 Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) 3 ( ) 2

f x =x + m+ x + −m ñạt cực ñại tại x = − 1

Giải :

1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ\{ }−m và có ñạo hàm ( )

2

+

1

m

m

 = −

= −



3

m = − , ta có ( )

2

2

2

6 8

4 3

x

x x

 =

− +

=



Bảng biến thiên :

x −∞ 2 3 4 +∞

( )

'

f x + 0 − − 0 +

( )

f x 1 +∞ +∞

−∞ −∞ 5

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ñạt cực ñại tại x = , do ñó 2 m = − thoả mãn 3

Tương tự với m = − 1

2 Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ

0

3

x

x

 =



 = −



x −∞ 2 6

3

m +

( )

'

f x + 0 − 0 +

( )

f x

m

x = − ⇔ − + = − ⇔m = −

Ví dụ 6: Cho hàm số ( ) 3 ( ) 2 ( )

f x =x + m − x − m + x − , có ñồ thị là ( )Cm ,m là tham số

1 Chứng minh rằng hàm số luôn có một cực ñại , một cực tiểu

2 Khi m = , ñồ thị hàm số là 1 ( )C

)

a Viết phương trình ñường thẳng ( )d vuông góc với ñường thẳng

3

x

y = và tiếp xúc với ñồ thị ( )C )

b Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ( )C

Giải :

Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ

f x = x + m− x − m+

Vì ∆ =' m2 +m + > ∀ ∈ ℝ nên phương trình 7 0, m f'( )x = luôn có hai nghiệm phân biệt Do ñó ñồ 0 thị của hàm số luôn có một cực ñại , một cực tiểu với mọi giá trị của tham số m

m = ⇒ C f x =x − x −

)

a Gọi M x y( 0; 0)là toạ ñộ tiếp ñiểm của ñường thẳng ( )d và ñồ thị ( )C

⇒ = − − = − ðường thẳng ( )d vuông góc với ñường thẳng

3

x

y = khi

1

3

 

 

Vậy ñường thẳng ( )d :y = −3x − và tiếp xúc với ñồ thị 1 ( )C tại ñiểm (0; 1− )

)

b ðồ thị ( )C có ñiểm cực ñại là A( )−1;1 , ñiểm cực tiểu là B(1; 3− Do ñó ñường thẳng qua AB là : )

y = − x −

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Tìm cực trị của các hàm số sau :

( )

( )

( )

1

3

1

3

1 )

c f x x

x

= +

( )

( )

2

3 3 )

1

e f x

x

− +

=

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 3

2

2

)

1 )

1

x

g f x

x x

h f x

x

j f x x x

= +

= +

2 Tìm cực trị của các hàm số sau :

( )

( )

( )

( )

9

2

d f x x

x

= − +

−

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

8 24 )

4 )

4

e f x

x x

f f x

x

g f x x x

+ −

=

−

= +

Hướng dẫn : ( ) 2

h f x =x − x +

'

x khi x



( )

f x = ⇔x = − x =

Hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm A( )0;2 và ñạt cực tiểu tại các ñiểm B( ) ( )−1;1 ,C 1;1

3 Tìm các hệ số a b c sao cho hàm số , , ( ) 3 2

f x =x +ax +bx + ñạt cực tiểu tại c A(1; 3− và ñồ thị của )

hàm số cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2

4 Cho hàm số ( ) ( )*

1

q

x

= + +

+ )

a Tìm các số thực p q sao cho hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm , x = − và 2 f ( )−2 = − 2

1)

a Trường hợp p = = , gọi ,q 1 M N là ñiểm cực ñại , cực tiểu của hàm số Tính ñộ dài MN

2)

a Trường hợp p = = ,một ñường thẳng q 1 ( )t luôn tiếp xúc với ñồ thị hàm số ( )* tại K thuộc ñồ thị hàm số ( )* ñồng thời cắt hai trục tọa ñộ tại hai ñiểm phân biệt ,E F Tìm tọa ñộ ñiểm K ñể K là trung ñiểm EF

)

b Giả sử x x1; 2lần lượt là hoành ñộ cực ñại , cực tiểu của hàm số Tìm các số thực p q sao cho ,

1)

b x1 =2x2và ( )1 ( )2

1 2

f x = f x

2)

b Khoảng cách từ A x f x( 1; ( )1 )ñến ñường thẳng y = + và x p x + = bằng nhau 1 0

Hướng dẫn :

a Tìm các số thực p q sao cho hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm , x = − và 2 f ( )−2 = − 2

( )

( )2

1

q

x

+ 0

q

• ≤ thì f '( )x > 0,∀ ≠ − Do ñó hàm số x 1 ( )

1

q

x

= + +

+ ñồng biến trên mỗi khoảng

(−∞ − và ; 1) (− +∞ Hàm số không có cực ñại , cực tiểu 1; )

0

q

• > thì ( ) ( )

2

2

1

1

x

+

Hàm số ñạt cực

ñại tại ñiểm x = − và 2 f ( )−2 = − khi 2

( )

1

p f

 − = −  =



)

a Chứng minh rằng m ≠ thì ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu Viết phương trình qua 2 hai ñiểm cực ñại và cực tiểu ñó

)

b Giả sử hoành ñộ cực ñại, cực tiểu là x x1, 2 Tìm m ñể :

b x + x = b2) 4x1 −5x2 =2 2 2

b x +x ≤ )

c Tìm m ñể :

1)

c x1 < <0 x2 <1 c 2) x1 <x2 <1 c 3) − <2 x1 <x2 < 0 c 4) x1 < < <0 1 x2 <2 Lưu ý : ðể làm ñược câuc học sinh xem lại so sánh nghiệm phương trình bậc hai ñã ñề cập rất kỹ sách ) ñại số 9 và có nhắc lại ñại số 10 Tuy nhiên , nếu học sinh lập luận tốt thì không cần dùng kiến thức so sánh nghiệm phương trình bậc hai

6 Cho hàm số ( ) 3

f x =x +px + q )

a Với ñiều kiện nào ñể hàm số f có một cực ñại và một cực tiểu ?

)

b Chứng minh rằng nếu giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình x3 +px + = có q 0

3 nghiệm phân biệt?

)

c Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể phương trình x3 +px + = có ba nghiệm phân biệt là q 0

4p +27q < 0

Hướng dẫn :

)

a p < 0

)

f   f 

− −   − <

7 Tìm a b ñể các cực trị hàm số , ( ) 5 2 3 2

3

f x = a x + ax − x + ñều là những số dương và b 0 5

9

x = − là ñiểm cực ñại

Hướng dẫn :

0

a = : Hàm số không có cực trị

( ) 2 2 ( )

9 5

1

x

a

x a



= −



 =



Nếu a < , 0 0 5

9

x = − là ñiểm cực ñại khi 0 5 1 9

a

= − = ⇔ = − , giá trị cực tiểu là số dương nên

1 0

CT

a

= − = > ⇔ >

Nếu a > , 0 0 5

9

x = − là ñiểm cực ñại khi 0 5 9 81

a

= − = − ⇔ = , giá trị cực tiểu là số dương nên

0

243

CT

a

 

=   > ⇔ >

 

Vậy

;

f x =x − mx + m− x + mlà tham số )

a Xác ñịnh m ñể hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh

)

b Xác ñịnh m ñể f''( )x > 6x

9 Xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu và cực trị ( nếu có ) của hàm số :

( )

( )

( ) ( )

2

) 2 sin cos 2 , 0;

π π

 

 

Hướng dẫn :

( )

Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ

khi l k

khi l k

, ℤ

Vậy x = π4 +kπ (k ∈ )

ℤ là ñiểm cực ñại của hàm số

3

4

π

= + ∈ℤ là ñiểm cực tiểu của hàm số

Một bài toán tương tự : f x( )= sin 2x − , ñể ý xét x f'( )x = 0,x ∈ −( π π, )⇒x = ?

( )

Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ

( ) sin cos 2 sin '( ) 2 cos , '( ) 0 ( )

π

khi k n

4

x = π +n π n∈

ℤ là ñiểm cực ñại của hàm số

(2 1) ( )

4

π

= + + ∈ℤ là ñiểm cực tiểu của hàm số

c f x = x − x x ∈   π

Vì x ∈( )0;π ⇒sinx > nên trong khoảng 0 ( ) ( ) 3 5

6

f x x  π 

• > ∈ ⇒

  hàm số ñồng biến trên ñoạn

5 0;

6

π

6

f x x  π π

• < ∈ ⇒

  hàm số ñồng biến trên ñoạn

5

; 6

π π

• Vì

( )

( )

5

6 5

6

π π π

> ∈



nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 5 5 7 3

x π f π 

f  π 

= = − <

 

 

( )

d f x = x + x x ∈   π

( ) 2 sin cos 2 '( ) 2 cos (1 2 sin ), ( )0;

Trong khoảng ( ) ( )

2

6 sin

6

x x

x

x

π π π

π



=





=

=



 Tương tự câu a học sinh tự xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu hàm số ; hàm số ñạt cực tiểu tại )

x π f  π

=   =

  , hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm

3 ,

x π f π

=   =

  và

,

x π f π

 