chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3 phần 1 luyện thi đại học-đặng việt hùng

MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu.. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồ

Trang 1

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

I BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Tóm tắt lí thuyết cơ bản :

Xét hàm số bậc ba y=ax3+bx3+ +cx d⇒ y′=3ax2+3bx c +

Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có 3 0

3

′= + ⇒ ′= ⇔ = − c

b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị

Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆

+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có

nghiệm kép, tức là ∆≤ 0

+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt

Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0

Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị

Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số 3 ( ) 2

= + + + − +

y x m x mx m tùy theo giá trị của tham số m

Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số 1 3 ( ) 2

3

= − + + − + + −

y m x m x mx m tùy theo giá trị của tham

số m

II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP

Phương pháp chung :

+ Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu

+ Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu

+ Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm

Dạng 1 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước

Ph ươ ng pháp 1: (S ử d ụ ng y’’)

+ Hàm số đạt cực đại tại ( )

( )0

0

0 0

′



= ⇔

′′ <



y x

x x

y x

+ Hàm số đạt cực tiểu tại ( )

( )0

0

0 0

′



= ⇔

′′ >



y x

x x

y x

Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại ( )

( )0

0

0 0

′



= ⇔

′′ ≠



y x

x x

y x

Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần và đủ)

Tài liệu bài giảng:

02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

VINAMATH.COM

Trang 2

+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x=x0 ⇔ y x′( )0 = 0 →m .

+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay

cực tiểu tại điểm x0 hay không

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3+(m−2)x2+(m+1)x+ −3 m

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1

c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Dạng 2 Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1−x2 =k

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho ax1+bx2 =c

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho

1 2

α β

γ

< <

Ví dụ 4: Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2+9x−m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1−x2 ≤2

Ví dụ 5: Cho hàm số y=2x3+9mx2+12m x2 +1

Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 sao cho x12 =x2

Ví dụ 6: Cho hàm số 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1+2x2 =1

Đ/s : 4 34

4

− ±

=

m

3

=m + − + − +

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1<x2<1

Đ/s : 5 4

4< <m 3

3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho

2

+ +

Đ/s : m = –4

Ví dụ 9: Cho hàm số 1 3 1 2 ( 2 3)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 dương sao cho 12 22 5

2

+ =

x x

Đ/s : 14

2

<

m

Trang 3

+ Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu

Dạng 3 Bài toán cực trị khi phương trình y’ = 0 giải được nghiệm

Phương pháp:

Khi xét đến biệt thức ∆ của phương trình y'=0 mà ta nhận thấy ∆ =(am b thì ta nên nghĩ ngay đến việc + )2

giải ra nghiệm của phương trình 'y =0

Ví dụ 1: Cho hàm số

2 3

1

= + − x + − + +

Tìm m để

a) hàm số có cực đại, cực tiểu

b) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x13+2x23<9

c) hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ nhỏ hơn 2

d) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x12+4x22=13

2

1

= − + x + + − +

Tìm m để

a) hàm số có cực đại, cực tiểu

b) hàm số có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho x12+2x22 =6

c) hàm số có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho 2x13−x23= −11

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3−3x2+m2− +m 1

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với C(–2 ; 4)

Ví dụ 4: (Trích đề thi Đại học khối B – 2012)

Cho hàm số y=x3−3mx2+3m 3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 48, với O là gốc tọa độ

Ví dụ 5: Cho hàm số y=2x3−3(m+1)x2+6mx+m 3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4 ; 0)

-

Ví dụ 6: Cho hàm số y=x3−3mx+2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3 2, với C(1 ; 1)

VINAMATH.COM

Trang 4

Đ/s : m = 2

Ví dụ 7: Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2+12mx−3m+4

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với 1; 9

2

− −

C

Đ/s : 1

2

= −

m

Ví dụ 8: Cho hàm số y=2x3−3(m+1)x2+6mx+m 3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho AB= 2

Đ/s : m = 0 ; m = 2

Ví dụ 9: Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x−m3+4m−1

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O

Đ/s : m= −1; m=2

Ví dụ 10: Cho hàm số y=x3+3(m+1)x2+3 (m m+2)x+m3+2m 2

Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m, và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi

Đ/s : AB=2 5

Ví dụ 11: Cho hàm số 1 3 2 ( 2 1) 1

3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2

Đ/s : 1

>



− < <



m

Trang 5

Dạng 4 Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

Phương pháp:

Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được y= y h x' ( )+r x( ) trong đó r(x) là phần dư của phép chia

Khi đó y = r(x) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy ra tọa độ của các điêm

cực đại, cực tiểu, trong các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y=x3−3x2+1 bằng hai cách

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y=x3−3x2+m 2

Dạng 5 Bài toán về tính đối xứng của các điểm cực trị

Phương pháp:

Gọi hai điểm cực trị của hàm số là A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) Ta có một số kết quả sau :

+ A, B nằm về hai phía của trục Oy khi x x1 2 <0

+ A, B nằm cùng phía với trục Oy khi x x1 2 >0

+ A, B nằm về hai phía của trục Ox khi y y1 2 <0

+ A, B nằm cùng phía với trục Ox khi y y1 2 >0

+ A, B nằm đối xứng qua đường thẳng d khi  ⊥ ,



∈



AB d

I d với I là trung điểm của AB

+ A, B cách đều đường thẳng d khi AB // d hoặc trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d

Chú ý :

Trong một số bài toán có đặc thù riêng (nếu phương trình y = 0 nhẩm được nghiệm) thì với yêu cầu tìm m để

hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta có thể sử dụng điều kiện là phương trình y = 0 có ba

nghiệm phân biệt

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3+3x2+mx+ −m 2

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Oy

c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Ox

d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy

Ví dụ 4: Cho hàm số y=x3+3mx2+2m 3

VINAMATH.COM

Trang 6

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d : x –

2y + 9 = 0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số 1 3 2 2 3 2

3

= − + + +

cách

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số

a) y=x3+(m+1)x2+2x m −

b) y= − +x3 3mx2+3(1−m x2) +m3−m 2

Bài 3: Cho hàm số y= − +x3 (2m+1)x2−(m2−3m+2)x−4

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy

Bài 4: Cho hàm số y=x3−3x2+m x2 +m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng : 1 5

= −

d y x

Đ/s : m = 0

Bài 5: Cho hàm số y=x3−3mx2+4m 3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x

Đ/s : 2

2

= ±

m

Bài 6: Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2+9x+ −m 2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng : 1

2

=

d y x

Đ/s : m = 1

Bài 7: Cho hàm số y=x3−3x2+mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d x: −2y− =5 0

Đ/s : m = 0

Bài 8: Cho hàm số y=x3−3mx+m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi đó chứng minh rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy

Bài 9: Cho hàm số y=x3−3x2−mx+2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đề u đường thẳng d x: − − =y 1 0

Đ/s : m = 0

Hướng dẫn :

+ Phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là 2 2 2

= −  + +

+ A, B cách đều d nên xét hai trường hợp : AB // d và trung điểm I của AB thuộc d

Trang 7

Dạng 6 Một số ứng dụng cơ bản của phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

Phương pháp:

+ Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu

+ Viết được phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh) Giả sử

đường thẳng viết được có dạng ∆:y=ax b Ta có một số trường hợp thường gặp +

∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi  =



≠



a A

b B

∆ vuông góc vớ đường thẳng d : y = Ax + B khi a A= −1

∆ tạo vớ đường thẳng d : y = Ax + B một góc φ nào đó thì

2 2 2 2

cos φ

∆

+

d

Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn tại cực đại, cực tiểu ta được giá trị cần tìm của tham số m

3 2

3

= x − + − +

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng

: 8 +3 + =9 0

d x y

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x3+mx2+7x+3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng

: 9 +8 + =1 0

d x y

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3−3x2−mx+2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

: +4 − =5 0

d x y góc 450

Bài 1: Cho hàm số y=x3−3x2−mx+2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng

: 4 + − =3 0

d x y

VINAMATH.COM

Trang 8

Đ/s : m = 3

Bài 2: Cho hàm số y=x3+mx2+7x+3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc vớ đường thẳng

: 3 − − =7 0

d x y

Đ/s : 3 10

2

= ±

m

Bài 3: Cho hàm số y=x3−3(m−1)x2+(2m2−3m+2)x m− 2+m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo vớ đường thẳng

: 4 + −20=0

d x y góc 450

Đ/s : 3 15

2

±

=

m

Bài 4: Cho hàm số y=x3−3x2+2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn

( ) : (C x−m) + − −(y m 1) =5

Đ/s : 2; 4

5

= = −

Bài 5: Cho hàm số y=x3+2(m−1)x2+(m2−4m+1)x−2(m2+1)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc vớ đường thẳng

9

2

= +

d y x

Trang 9

Dạng 7 Tổng hợp, nâng cao cực trị hàm bậc ba

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3+6mx2+9x+2m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

bằng 4

5

Đ/s : m = ±1

Ví dụ 2: Cho hàm số 1 3 2 1

3

= − − + +

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này nhỏ nhất

Đ/s : 0; min 2 13

3

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3−3x2−mx+2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm này cắt các trục tọa độ tạo thành một

tam giác cân

Đ/s : 3

2

= −

m

Ví dụ 4: Cho hàm số 1 3 5 2 4 4

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho biểu thức

2 2

+ +

m A

giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 5: Cho hàm số y= −x3 3x2+mx+1, với m là tham số thực

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từđiểm 1 11

;

2 4

 

  đến đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất

H ướ ng d ẫ n gi ả i:

Ta có y= −x3 3x2+mx+1⇒y'=3x2−6x+m

+ Hàm số có cực trị khi m < 3

VINAMATH.COM

Trang 10

+ Chia y cho y' ta được 1 ' 2 2 1 2 2 1

= −  + −  + + ⇒ = −  + +

thẳng qua các điểm cực trị

Đặt : 2 2 1

y  x

∆ = −  + +

;

1

t

d I

t

+

Đặt

2

1

4

u

 +  + + +

 

 

m

a= − ⇔ = −u ⇔ = + = − ⇔t u − = − ⇔ =m

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Bài này còn một cách giải khác khá hay và độc đáo, đó là sử dụng điểm cố định Các em tìm hiểu thêm nhé!

Bài 1: Cho hàm số 1 3 1 2 2

Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 đồng thời x1 ;x2 là hai cạnh góc vuông của một tam giác có

độ dài cạnh huyền bằng 10

2

Đ/s : 14

2

=

m , các em lưu ý về tìm đk cho x1 ; x2 dương nhé !

Bài 2: Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m+6)x+1

Tìm m để điểm A(3 ; 5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

Đ/s : m = 4

Bài 3: Cho hàm số 1 3 2

= + + +m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với đường thẳng d : 2x + y = 0

Đ/s : 1

2

 >





≠ ±



m

Bài 4: Cho hàm số 1 3 2

3

= + + +

y x x mx m

Trang 11

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này bằng 2 15

Đ/s : m = –2

Bài 5: Cho hàm số y=2x3+3(m−1)x2+6 (1 2 )m − m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm trên đường thẳng d : 4x + y = 0

Bài 6: Cho hàm số 1 3 2 2 3

3

= − +

Gọi A, B là hai điểm cực trị của hàm số Tìm điểm M trên Ox sao cho tam giác ABM có diện tích bằng 2

Đ/s : M(1 ; 0) và M(5 ; 0)

VINAMATH.COM

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	611,75 KB