Mặt khác ABC là tam giác vuông nên AB vuông góc AC.. Gọi I0;b là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Trang 1Một số dạng toán liên quan đến vấn đề cực trị
***
Một số kiến thức cần nhớ:
-Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm x0, có đạo hàm trên (a;b) \ {x0}, và có đạo hàm khác 0 tại x0, khi đó:
- Nếu f'(x) đổi dấu khi đi qua x0 thì f(x) đạt cực trị tại x0
- Nếu f" (x0) 0thì f(x) đạt cực tiểu tại x0,nếu f" (x0) 0 thì f(x) đạt cực đại tại x0
*Cực trị của hàm bậc 3: yax3bx2cxd TXD:DR
- Hàm số có tối đa 2 điểm cực trị
- Nếu viết yax3bx2cxd (mxn).y'pxqvà hàm số có 2 điểm cực trị phân biệt thì y px qlà phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó
Ví dụ 1: Tìm tham số m để hàm số y x3 (m 1 )x2 4có 2 điểm cực trị phân biệt đối
xứng với nhau qua đường thẳng (d): x - 2y -3=0
4 27
) 1 ( 4 3
) 1 ( 2
4 0
0 ' )
1 (
2
3
m y
m x
y x
y x m
x
y
27
) 1 ( 4
; 3
) 1 ( 2 );
4
;
0
(
3
m m
B
27
) 1 ( 2
; 3
m
I là trung điểm AB
27
) 1 ( 4
; 3
) 1
(
B
A
đường thẳng d có VTCP: u ( 2 ; 1 )
Vì A,B đối xứng với nhau qua d nên AB vuông góc với d và I thuộc d
Ví dụ 2: Cho hàm số yx3 mx2 m2 xm3 m
) 1 ( 3
3 Tìm tham số m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ gấp 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ?
m
x
y
m x
m x m
x m x m
mx
x
y
6
6
"
1
1 0
) 1 )(
1 (
3 0 ) 1 ( 3 6
3
Dễ thấy: A(m-1;2-2m) là điểm cực đại, B(m+1;-2m-2) là điểm cực tiểu
2 0
3 4 27
) 1 ( 2 2 3 1
0 27
) 1 ( 4 3
) 1 ( 4
1 0
.
3
3
m m
m
m m
m
d I
u B A
B A
Trang 2
2 / 1
2 )
2 2 ( ) 1 ( 9 ) 2 2 ( ) 1 ( 9
m
m m
m m
m OA
OB OA
OB
*Cực trị của hàm số trùng phương:yax4 bx2c TXD:DR
Nhận xét: y'4ax32bx2x(2ax2b)
- Nếu 0
a
b
thì hàm số có 3 cực trị phân biệt, hơn nữa chúng tạo thành 1 tam giác cân
có đỉnh nằm trên trục Oy
-Nếu 0
a
b
thì hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất A(0;c)
Ví dụ 1: (TSDH Khối A-2012) Cho hàm số:
Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác vuông?
1
0 0
) 1 (
4 ) 1 ( 4 4 '
2 2
3
m x
x m
x x x m x
y
Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì: m>-1 Các điểm cực trị của hàm số là:
)
;
0
A
Vì
C
B
C B
y
y
x
x
nên B,C đối xứng nhau qua Oy, mà A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại
A Mặt khác ABC là tam giác vuông nên AB vuông góc AC
1 2
; 1 1
2
;
m
Suy ra: (m 1 ) m2 2m 12 0 (m 1 )4 m 1 So điều kiện suy ra m=0
Ví dụ 2: Cho hàm số yx4 2mx2m 1, tìm m để hàm số có 3 cực trị lập thành 1 tam giác có:
A) Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
B) Có diện tích bằng 1
Giải
m x
x m
x x mx x
y
2 2
0 ) (
4 4
4
'
Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì m>0 Tọa độ 3 điểm cực trị là:
m; m2m 1 B( 0 ;m 1 ) C m; m2m 1
A
Dễ thấy tam giác ABC cân tại B
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường trung trực của cạnh AC, tức
là nằm trên trục Oy Gọi I(0;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: R=IB=IA=IC=1 nên:
2 2 4
) 1 (
x
Trang 3
1 1
1 1
1 1
1 ) 1 (
1 1
2 2
2
2 2
2
b m
b m
b m
m m
b m
b m
m m
-Với m-1-b=1thì:
2 / 5 1 1
0 0
) 1 )(
1 ( 1 )
1
m m
m m
m m m m
m
So điều kiện ta nhận
2
5 1
;
m m -Với m-1-b=-1 thì:
0 0
) 1 2 ( 1 )
1
m (loại.Vì không thỏa điều kiện m>0)
Tóm lại, giá trị của m cần tìm là:
2
5 1
;
1
m
B) *Cách 1: gọi H là trung điểm AC
2 2
1
2
-Khi m 1 thì phương trình tương đương với: m2 m 1 m 1 (nhận)
- Khi 0 m 1thì phương trình tương đương với: (m2 2m 2 ) m 1 (*)
Đặt t m với t>0 Phương trình (*) trở thành: t5 2t3 2t 1 0 (**)
Xét hàm số: y f(t) t5 2t3 2t 1 TXD:D ( 0 ; )
D t t
t
y' 5 4 6 2 2 0 Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng ( 0 ; )
-Nếu t>1 thì f(t)>f(1)=0
-Nếu t<1 thì f(t)<f(1)=0
Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất: t=1 Suy ra m=1 (loại)
Vậy m=1
*Cách 2: Áp dụng tính chất:
Cho 3 điểm A,B,C phân biệt, giả sử B A (x1;y1) B C (x2;y2)thì diện tích của tam giác ABC được tính bởi công thức:
1 2 2
1 2
1
y x y x
SABC
Trang 41 1
1 2
2 1
)
; ( )
; (
2 2
2 2
S
m m BC
m m BA
ABC
*Cực trị của hàm phân thức:
p
q R D TXD x
h
x g q
px
c bx ax
) (
) (
2
Nếu điểm x0 là cực trị thì giá trị cực trị có thể tính bằng 2 cách:
) ( '
) ( ' ) (
) ( ) (
0 0
0
0 0
x h
x g x h
x g x
Do đó đường thẳng qua 2 cực trị của hàm số là:
) ( '
) ( ' 2
x h
x g p
b ax
Ví dụ 1: Cho hàm số:
1
5 2 )
(
2
x
mx x
x f
y Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm
về 2 phía của đường thẳng y=2x
2 2
) 1 (
5 2 2
'
x
m x
x
Để hàm số có 2 cực trị phân biệt thì phương trình x2 2x 2m 5 0 có 2 nghiệm thực phân biệt: ' 2m 4 0 m 2
Đường thẳng qua 2 cực trị: y 2x 2m
Gọi A(a;-2a+2m) B(b;-2b+2m) là 2 cực trị của hàm số Khi đó theo định lí Viet ta có: a+b=2 và a.b=2m+5
Theo đề ta có:
0 )
( 2 4
0 ) 2 )(
2
(
0 2 2 2 2 2 2
0 2
2
2
m b a m ab
m b m a
m b b m a a
y x y
Suy ra: 4 ( 2m 5 ) 4mm2 0 m2 4m 20 0 vô lí
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hàm số y x3 3x2 2có đồ thị (C), qua điểm uốn I của đồ thị (C) viết phương trình đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm A,B khác I sao cho tam giác MAB vuông tại
M, trong đó M là điểm cực đại của đồ thị hàm số
ĐS: các đường thẳng qua I lần lượt có các hệ số góc là
2
5 1 2
k k
Bài 2: Cho hàm số yx3 3x2 2có đồ thị (C),tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn: (xm)2 (ym 1 )2 5?
Trang 5DS: m=2, m=-4/3
Bài 3: Cho hàm số yx3 3x2 2có đồ thị (C),tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cực trị đạt GTNN?
DS: M(4/5;2/5)