+ Gọi là trung điểm , đường trung trực của qua và cắt tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính mặt cầu.. Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm của cạnh và bán kí
Trang 1Câu 18 [2H2-2.2-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH -HỌC KÌ I-2018) Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai?
A Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
B Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
C Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
D Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải Chọn A
Điều kiện cần để một hình hộp có một mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình hộp là đa giác nội tiếp
Câu 16 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp
có , vuông góc với mặt phẳng , tam giác đều cạnh Tínhbán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi là trọng tâm , là trung điểm cạnh
Kẻ đường thẳng qua và song song với
Trong , kẻ đường trung trực của cạnh , cắt tại
Khi đó, là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là với
Câu 19: [2H2-2.2-2] (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếphình chóp đã cho
Trang 2+) Gọi là trung điểm , đường trung trực của qua và cắt tại
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính mặt cầu
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
Câu 43: [2H2-2.2-2] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho
hình chóp có tam giác vuông tại vuông góc với mặt phẳng
, , Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giải Chọn C
Trang 3Ta có và nên Vậy hai điểm cùng nhìn cạnh
dưới một góc vuông Điều đó chứng tỏ là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Do
đó bán kính
Câu 8 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm
2017-2018) Cho hình chóp có , tam giác vuông tại Biết ,
, Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giải Chọn C
Do đó các đỉnh và cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm của cạnh và bán kính
Trang 4
Câu 27 [2H2-2.2-2] (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tính đường
kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng
Lời giải Chọn D
Gọi là tâm hình lập phương
Ta có các tứ giác , và là các hình chữ nhật
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
Câu 24 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Một
hình hộp hình chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là , , Tính bán kính của mặtcầu
Lời giải Chọn D.
Đường kính của mặt cầu chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu có bán kính
Câu 27: [2H2-2.2-2] (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018)Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại , Biết , , ,
Gọi là trung điểm của Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm , , ,,
Trang 5Lời giải Chọn D.
Bán kính mặt cầu đi qua các điểm , , , , là:
Xét tam giác vuông tại ta có:
Câu 49 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần 1 năm
2017-2018) Cho hình chóp có , cạnh bên vuông góc với
, góc tạo bởi và đáy bằng , và tam giác có diện tíchbằng Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Lời giải Chọn A
Trang 6Giả thiết: là hình chiếu của lên
Câu 33 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho
hình chóp có đáy là hình chữ nhật , Mặt bên là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
đã cho
Lời giải Chọn A
Trang 7Gọi là trung điểm
Dựng trục qua và song song với
Gọi là trọng tâm tam giác Đường thẳng đi qua vuông góc với mặt phẳng
cắt tại là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
Câu 38: [2H2-2.2-2] (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình
chóp có đáy là hình chữ nhật, và Đường thẳng vuông góc vớiđáy và Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
Lời giải Chọn A.
Trang 8Dễ thấy các tam giác , , là tam giác vuông ( là cạnh huyền ) Suy ra mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trung điểm của SC và bán kính là
Câu 17 [2H2-2.2-2] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho mặt cầu
bán kính ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có các kích thước , , Mệnh đề nào dướiđây đúng?
Lời giải Chọn D
Gọi hình hộp chữ nhật đã cho là Mặt cầu bán kính ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
nhận đường chéo là đường kính
Trang 9Do đó bán kính
Câu 27 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình
lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , , Thểtích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện là
Lời giải Chọn B
Gọi là trung điểm cạnh
Ta có
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , bán kính
Mà (vì tam giác vuông cân tại , )
Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện là
Câu 27 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình
lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , , Thểtích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện là
Lời giải Chọn B
Trang 10Gọi là trung điểm cạnh
Ta có
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , bán kính
Mà (vì tam giác vuông cân tại , )
Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện là
Câu 21 [2H2-2.2-2] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh bằng Cạnh bên vuông góc với mặt đáy và Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp theo
Lời giải Chọn C
Trang 11Ta chứng minh được các tam giác , và là các tam giác vuông lần lượt tại
.Suy ra các điểm nhìn cạnh dưới một góc vuông
Gọi là trung điểm là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
.Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Câu 41 [2H2-2.2-2] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ
lục giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếphình lăng trụ đã cho
Lời giải Chọn A
Gọi , là tâm lục giác đều và
Ta có
là trục của mặt phẳng và
Trong mặt phẳng , dựng đường trung trực của cạnh thì cắt tại
là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính Xét tam giác vuông tại có:
Khi đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:
Câu 21 [2H2-2.2-2] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh bằng Cạnh bên vuông góc với mặt đáy và Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp theo
Lời giải Chọn C
Trang 12Ta chứng minh được các tam giác , và là các tam giác vuông lần lượt tại
.Suy ra các điểm nhìn cạnh dưới một góc vuông
Gọi là trung điểm là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
.Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Câu 41 [2H2-2.2-2] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ
lục giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếphình lăng trụ đã cho
Lời giải Chọn A
Gọi , là tâm lục giác đều và
Ta có
là trục của mặt phẳng và
Trong mặt phẳng , dựng đường trung trực của cạnh thì cắt tại
là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính
Trang 13Xét tam giác vuông tại có:
Khi đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:
Câu 21 [2H2-2.2-2] (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác
đều có cạnh bằng nhau và bằng Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếphình lăng trụ đã cho
Lời giải Chọn C
Gọi , làn lượt là trọng tâm tam giác và
Ta có là trục của mặt phẳng và
Trong mặt phẳng , dựng đường trung trực của cạnh
Khi đó cắt tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ , bán kính
Mặt khác đều cạnh , có là trọng tâm nên
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là
Câu 3: [2H2-2.2-2] (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Hình chóp đều tất cả các cạnh
bằng Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Lời giải Chọn D.
Trang 14Gọi là tâm mặt đáy, là trung điểm , kẻ ,
là hình chóp đều nên là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính
Câu 29. Ta có: , với Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
[2H2-2.2-2] (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Hình trụ được sinh ra khi quayhình chữ nhật quanh cạnh Biết , Diện tích toàn phần củahình trụ là:
Hướng dẫn giải Chọn A.
Khi đó hình trụ có chiều cao là , bán kính đáy
Câu 31: [2H2-2.2-2] (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng và Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:
Lời giải Chọn D.
Trang 15Ta chứng minh được:
Do đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
Câu 21: [2H2-2.2-2] (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình
-HẾT -chóp tứ giác có đáy là hình thang vuông tại và , ,
Trang 16, và Gọi là trung điểm của Kẻ tại Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm , , , , , là:
Lời giải Chọn C
Vì là trung điểm của , là hình thang vuông tại và và ,
Vậy các góc , , , cùng nhìn cạnh dưới một góc không đổi nên các điểm , , , , , nằm trên mặt cầu tâm là trung điểm của bán kính
Câu 14: [2H2-2.2-2] (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ
tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng và chiều cao bằng Tính thể tích củakhối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
Lời giải Chọn B
Trang 17Dựng trục của hai đáy và gọi là trung điểm của Khi đó là tâm của mặt cầu và bán kính mặt cầu
Câu 30: [2H2-2.2-2] (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Cho khối tứ diện
với , , từng đôi một vuông góc và Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Lời giải Chọn A
Gọi là trung điểm của , do tam giác vuông tại nên là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác
Qua dựng đường thẳng song song với khi đó là trục đường tròn ngoại tiếp tamgiác Gọi là đường trung trực của cạnh và là giao điểm của và Khi đó
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là
Trang 18Câu 32: [2H2-2.2-2] (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng là
Hướng dẫn giải Chọn D.
Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh có tâm là giao điểm các đường chéo của hình lập phương, có bán kính
Do đó mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng có bán kính
Vậy diện tích mặt cầu là:
Câu 10: [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho
hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và Cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
Lời giải Chọn D.
Gọi là trung điểm cạnh
vuông tại Suy ra:
và (do vuông tại )
Vậy là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Trang 19Câu 34 [2H2-2.2-2] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ
là trung điểm của Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng
Lời giải Chọn C
Gọi là trung điểm của cạnh Khi đó là tâm đường tròn ngoại tiếp
Gọi là trung điểm của cạnh Khi đó
Do nên vuông tại Do đó là tâm đường tròn ngoại tiếp
Do đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bán kính mặt cầu là
Do đó diện tích mặt cầu là
Câu 36 [2H2-2.2-2] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có cạnh bên vuông góc với đáy, , , và Tính bánkính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Lời giải Chọn C
Ta có:
Trang 20• là tam giác vuông ở
Gọi , lần lượt là trung điểm của , Khi đó ta có:
• là tâm đường tròn ngoại tiếp
Do đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Suy ra
Câu 36 [2H2-2.2-2] [2H2-2] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018)Cho hình lăng
trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại Biết , .Gọi là trung điểm của Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện bằng
Lời giải Chọn A
Gọi là trung điểm của cạnh Khi đó là tâm đường tròn ngoại tiếp
Gọi là trung điểm của cạnh Khi đó
Do nên vuông tại Do đó là tâm đường tròn ngoại tiếp
Do đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bán kính mặt cầu là
Do đó thể tích khối cầu là
Câu 36 [2H2-2.2-2] [2H2-2] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018)Cho hình lăng
trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại Biết , .Gọi là trung điểm của Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện bằng
Lời giải Chọn A
Trang 21Gọi là trung điểm của cạnh Khi đó là tâm đường tròn ngoại tiếp
Gọi là trung điểm của cạnh Khi đó
Do nên vuông tại Do đó là tâm đường tròn ngoại tiếp
Do đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bán kính mặt cầu là
Do đó thể tích khối cầu là
Câu 16 [2H2-2.2-2] (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính diện
tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng
Lời giải Chọn A.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều là tâm của hình lăng trụ tam giác đều đó
Trang 22Câu 32 [2H2-2.2-2] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập
phương có cạnh bằng Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng
Lời giải Chọn A
Đường chéo hình lập phương bằng
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng
Câu 29 [2H2-2.2-2] (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tính
diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có , , và , , đôi một vuông góc
Lời giải Chọn C
Câu 41 [2H2-2.2-2] (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho hình
chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên
và đáy bằng Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
Lời giải Chọn D
Trang 23Gọi là trung điểm của thì (1) Mặt khác nên (2).
Từ (1) và (2) suy ra Do đó góc giữa và là góc
Gọi là trọng tâm của tam giác Qua dựng đường thẳng song song với , cắt mặtphẳng trung trực của đoạn tại thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có diện tích bằng
Câu 21 [2H2-2.2-2] (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho
hình trụ có bán kính đáy bằng , diện tích toàn phần bằng Chiều cao của hình trụ bằng
Lời giải Chọn B
Gọi là chiều cao của hình trụ
Câu 18 [2H2-2.2-2] (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 –
2018)Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông tại , , , cạnh bên vuông góc với đáy và Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
Lời giải Chọn A
Trang 24Gọi là trung điểm của Tam giác vuông tại .
Dễ dàng chứng minh được hay tam giác vuông tại
Từ và suy ra: hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là
Câu 21 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017
– 2018) Cho hình chóp có vuông tại , , Cạnhbên vuông góc với đáy và Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
Lời giải Chọn A
Tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp là trung điểm của
Trang 25
Khi đó
Câu 28 [2H2-2.2-2] (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình
lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , , đườngthẳng tạo với mặt phẳng một góc (tham khảo hình vẽ bên) Diện tích củamặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
Lời giải Chọn B
\Gọi lần lượt là trung điểm của ,
Dễ thấy trung điểm của là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ