D02 khối cầu ngoại tiếp khối đa diện muc do 4

Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: Lời giải Chọn B.. Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì.. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là mặt c

Câu 48 [2H2-2.2-4] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH -HỌC KÌ I-2018) Cho hình chóp

có đáy là tam giác vuông cân tại và Cạnh bên vuông góc với đáy Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên cạnh bên và Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Lời giải Chọn B

Cách 1: Nhận xét : , nên 4 điểm thuộc mặt cầu đường kính Bán kính

Cách 2: Dựng hình vuông Gọi là trung điểm

Tam giác vuông tại và suy ra là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tam giác vuông tại suy ra Suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 25: [2H2-2.2-4] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho hình

chóp có đáy là tam giác vuông cân tại đỉnh Biết

bằng Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn B.

Ta có hay , nhìn dưới một góc vuông.

Suy ra , , , cùng nội tiếp mặt cầu đường kính

Gọi là hình chiếu của trên

Tam giác vuông cân tại suy ra là hình vuông

Khi đó bán kính mặt cầu ngoài tiếp hình chóp là:

Câu 14: [2H2-2.2-4] (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp

S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với nằm trong ABC và 2SH=BC,

tạo với mặt phẳng một góc Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH

đã cho

Lời giải Chọn D.

F

E

A

C

B

S

H

O

K

Giả sử là chân đường vuông góc hạ từ xuống Khi đó ta có

Do nên Do đó là phân giác của góc Khi đó là trung điểm của

Do đó nên là tâm tam giác đều là hình chóp tam giác đều và là trung điểm

Mặt khác trong tam giác có : Do đều có nên

Khi đó vuông tại và có Từ đó

Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì

Câu 49 [2H2-2.2-4] (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Lời giải Chọn C

Dựng hình hộp

B C'

D' A

Xét mặt bên là hình bình hành có nên mặt bên là hình chữ nhật Tương tự ta có tất cả các mặt bên của hình hộp đều là các hình chữ nhật

Do đó là hình hộp chữ nhật

Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp

-HẾT -Câu 50 [2H2-2.2-4] (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian cho

tam giác đều cạnh bằng cố định, là điểm thỏa mãn Khẳng định nào sau đây đúng?

A Tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

B Tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

C Tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

D Tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

Lời giải Chọn C

D

C

Trước hết, ta xác định điểm thỏa mãn Gọi là trung điểm , ta có:

Suy ra là trung điểm

Từ đó, ta có:

Mặt khác:

Vậy, tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

-HẾT -Câu 46 [2H2-2.2-4] (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018)

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi , lần lượt là trung điểm của và Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp khối chóp

Lời giải Chọn B

- là trung điểm của là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

- là đường thẳng qua và vuông góc với mặt đáy

- là hình chiếu của lên

- là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

- là hình chiếu của lên

;

Vì là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp nên

Suy ra:

Vậy:

Câu 46 [2H2-2.2-4] (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình thập

nhị diện đều (tham khảo hình vẽ bên) Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng có chung một cạnh của thập nhị diện đều bằng

A B C D

Lời giải Chọn C

a

T

B

E

F C

A

Bước 1: Lập mối quan hệ giữa bán kính mặt cầu và cạnh khối mặt đều:

Gọi là tâm khối mặt đều, xét mặt phẳng chung đỉnh là Khi đó là chóp tam giác đều và vuông góc với

Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm một mặt đến cạnh của nó:

a

T

E

F C

A

Bước 3: Tính góc:

Gọi tâm của các mặt và là ,

Có vuông góc với hai mặt này nên góc giữa hai mặt bằng góc giữa và Lại có cùng thuộc một mặt phẳng (trung trực của )

Câu 47 [2H2-2.2-4] (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện

đều có một đường cao Gọi là trung điểm Mặt phẳng chia tứ diện thành hai tứ diện Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó

Lời giải Chọn A

Gọi cạnh của tứ diện đều là

Gọi là trung điểm của và Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại

Ta có:

Gọi là trung điểm của , trong mặt phẳng dựng đường trung trực của cắt tại Ta dễ dàng chứng minh được là tâm của mặt cầu ngoại tiếp

Tam giác đồng dạng với tam giác nên suy ra

Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp ta suy ra:

Tương tự với ta có bán kính của mặt cầu ngoại tiếp là

Phương pháp trắc nghiệm:

Áp dụng công thức Crelle: Với mỗi khối tứ diện đều tồn tại ít nhất một tam giác mà số

đo các cạnh của nó bằng tích số đo các cặp đối của tứ diện đó Hơn nữa nếu gọi là thể tích,

là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì ta có công thức:

Câu 50 [2H2-2.2-4] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hình

chóp có đáy là hình vuông cạnh là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi và lần lượt là trung điểm của và (tham khảo hình vẽ bên) Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải Chọn A

O M

N

S

I H

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi là trung điểm của nên mà

-HẾT - Câu 50 [2H2-2.2-4] (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho tứ

tiếp tứ diện đã cho

Lời giải Chọn C

Ta có là tam giác vuông tại và là tam giác vuông tại

Dựng khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ

2 3

1

I G'

G I

E

B D

C

F A

Gọi và lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và ; là trung điểm của Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ , đồng thời cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

[2H2-2.2-4] (CHUYÊN NGỮ HÀ NỘI -LẦN 1-2018) Cho mặt cầu có bán kính Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng Bốn điểm , , , thay đổi sao cho , , thuộc đường tròn , điểm thuộc ( không thuộc đường tròn ) và tam giác là tam giác đều Tính thể tích lớn nhất của tứ diện

Lời giải Chọn A.

M H

D

C

B A

I

Gọi là tâm của mặt cầu và là hình chiếu của trên Khi đó

là tâm của đường tròn và là trọng tâm của tam giác

Và tam giác đều nội tiếp đường tròn nên có cạnh bằng và có diện tích không đổi Do đó thể tích của tứ diện lớn nhất khoảng cách từ đến là lớn nhất , , thẳng hàng Khi đó

Câu 45: [2H2-2.2-4] (CHUYÊN TIỀN GIANG-LẦN 1-2018) Cho hình chóp có đáy là hình

vuông cạnh , là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi lần lượt là trung điểm của và Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp khối chóp

Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi:

- là trung điểm của là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

- là đường thẳng qua và vuông góc với mặt đáy

- là hình chiếu của lên

- là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

- là hình chiếu của lên

;

Vì là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp nên

Suy ra:

Vậy:

Câu 50: [2H2-2.2-4] (CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 4-2018) Cho hình chóp

có đáy là hình vuông cạnh là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi và lần lượt là trung điểm của

và (tham khảo hình vẽ bên) Tính bán kính của khối cầu ngoại tiếp

M

B A

S

Lời giải Chọn A.

O M

N

S

I H

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi là trung điểm của nên mà

Câu 47: [2H2-2.2-4] (ĐẶNG THỪA HÚC NGHỆ AN-2018) Cho tứ diện

đều có một đường cao Gọi là trung điểm Mặt phẳng chia tứ diện thành hai tứ diện Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó

A B C D

Lời giải Chọn A.

Gọi cạnh của tứ diện đều là

Gọi là trung điểm của và Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại

Ta có:

Gọi là trung điểm của , trong mặt phẳng dựng đường trung trực của cắt tại Ta dễ dàng chứng minh được là tâm của mặt cầu ngoại tiếp

Tam giác đồng dạng với tam giác nên suy ra

Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp ta suy ra:

Tương tự với ta có bán kính của mặt cầu ngoại tiếp là

Phương pháp trắc nghiệm:

tam giác mà số đo các cạnh của nó bằng tích số đo các cặp đối của tứ diện

đó Hơn nữa nếu gọi là thể tích, là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Câu 42: [2H2-2.2-4] (SỞ GD-ĐT BẮC NINH -2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông

tại , , Mặt bên , lần lượt là các tam giác vuông tại , Biết thể tích khối chóp bằng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ?

Lời giải Chọn C.

M

H

I

C

B A

S

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng thì là đường cao của hình chóp

Dễ thấy năm điểm , , , , cùng thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt khác , , , cùng thuộc một mặt phẳng nên tứ giác nội tiếp đường tròn

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

.(1)

(2)

(3)

Câu 41: [2H2-2.2-4] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ-LẦN 5-2018) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Hướng dẫn giải Chọn C.

Dựng hình hộp

D' A

Xét mặt bên là hình bình hành có nên mặt bên là hình chữ nhật Tương tự ta có tất cả các mặt bên của hình hộp đều là các hình chữ nhật

Do đó là hình hộp chữ nhật

Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp

Câu 14: [2H2-2.2-4] (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

ABC đều, đường cao SH với nằm trong ABC và 2SH=BC, tạo với mặt phẳng

một góc Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH sao cho

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Lời giải Chọn D.

F

E

A

C

B

S

H

O

K

Giả sử là chân đường vuông góc hạ từ xuống Khi đó ta có

Do nên Do đó là phân giác của góc Khi đó là trung điểm của

Do đó nên là tâm tam giác đều là hình chóp tam giác đều và là trung điểm

Mặt khác trong tam giác có : Do đều có nên

Khi đó vuông tại và có Từ đó

Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì