DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN I. ĐỊNH NGHĨA Dãy số (u n ) có giới hạn là số thực L nếu ( ) lim 0 n u L− = .Khi đó ta viết ( ) lim n u L= hoặc n u L→ NHẬN XÉT + limc c= + Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. Ví dụ dãy: -1, 1, -1, 1, … II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ Định lí 1 Giả sử limu n = L. Khi đó a) lim n u L = và 3 3 lim n u L = b) Nếu 0 0,lim lim n n n u n L u u L> ∀ ⇒ ≥ = = Định lí 2 Giả sử lim , lim n n u L v M = = và c là hằng số. Khi đó lim (u n + v n ) = L + M lim (u n - v n ) = L – M lim (u n .v n ) = L.M lim (c.u n ) = c.L lim n n u L v M = nếu M ≠ 0 III. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 2 1 1 1 1 . 1 u S u u q u q q = + + + = − với 1q < CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: chứng minh dãy số có giới hạn là một số thực Ví dụ: chứng minh rằng a) 1 lim 1 2 n n − = + b) ( ) 1 lim 1 1 n n   −  ÷ − = −  ÷   Giải a) Ta có 1 3 lim lim 1 2 2 n n n −   = −  ÷ + +   Đặt 3 1 2 n u n   = −  ÷ +   Vì lim(u n – 1) = 3 lim 0 2n − = + nên limu n =1 DẠNG 2: Tìm giới hạn của một dãy số Ví dụ: tính các giới hạn sau: a) ( ) 1 lim 2 2 n n   − +  ÷  ÷ +   b) 2 1 lim 1 n n + + c) 2 2 3 4 1 lim 2 3 7 n n n n − + + − + d) 2 1 2 3 . lim 3 n n + + + + + Giải a) ( ) ( ) 1 1 lim 2 lim2 lim 2 2 2 n n n n   − − + = + =  ÷  ÷ + +   b) 1 1 2 2 2 1 lim lim lim 1 1 1 1 1 n n n n n n n n   + +  ÷ +   = = +   + +  ÷   1 lim 2 2 2 1 1 lim 1 n n   +  ÷   = = =   +  ÷   c) 2 2 2 2 4 1 3 3 4 1 3 lim lim 3 7 2 3 7 2 2 n n n n n n n n − + + − + + − = = − + − + d) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 3 . 1 2 lim lim lim 3 3 2 3 2 n n n n n n n n n + + + + + + = = = + + + DẠNG 3: Tính tổng của cấp số nhân, biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân: 2 3 1 1 1 1 , , , ., , . 2 2 2 2 n Ví dụ 2: Biễu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng số thập phân Giải Ta có 2 3 7 7 7 0,777 . . 10 10 10 = + + + Đây là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 1 7 10 u = , công bội 1 10 q = Do đó 7 7 10 0,777 . 1 9 1 10 = = − IV. BÀI TẬP Bài 1: Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh a) sin 3 lim 1 1 4 n n   − = −  ÷   b) 1 1 lim 4 4 n n −   =  ÷   c) 2 lim 1 1 5 n     + =  ÷  ÷  ÷     Bài 2: tìm các giới hạn sau: a) 2 1 lim 1 n n + + b) 2 2 3 4 1 lim 2 3 7 n n n n − + + − + c) 3 3 4 lim 5 8 n n n + + + d) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 lim 6 1 n n n n + + + e) 2 1 lim 2 n n + + f) ( ) ( ) 3 2 1 lim 6 1 n n n + + f) 2 2 4 lim 3 2 n n n + − + Bài 3: tìm các giới hạn sau: a) 2 1 lim 2 3 n n + + b) 2 1 lim 2 2 n n + + + c) 1 lim 1 n n + + d) 2 lim 1 n n n − + + e) 3 3 2 lim 2 n n n + + + f) 3 3 2 1 1 lim 3 2 n n + − + − g) 3 2 3 2 1 lim 1 3 n n n n n n + + + + + Bài 4: tìm các giới hạn sau: a) 1 4 lim 1 4 n n − + b) 1 2 3 4 lim 3 4 n n n n + + − + c) 3 4 5 lim 3 4 5 n n n n n n − + + − d) 1 1 2 6 4 lim 3 6 n n n n n + + + − + Bài 5: tìm các giới hạn sau: 1. 2 1 3 5 . (2 1) lim 3 4 n n + + + + + + 2. 2 1 2 3 . lim 3 n n + + + + − 3. 2 2 2 2 1 2 3 . lim ( 1)( 2) n n n n + + + + + + 4. 1 1 1 lim . 1.2 2.3 ( 1)n n   + + +   +   5. 1 1 1 lim . 1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n   + + +   − +   Bài 6: Tính các tổng sau: 1. 1 1 1 . 2 4 S = + + + 2. 1 1 1 1 . 3 9 27 S = − + − + 3. 2 3 1 0,1 (0,1) (0,1) S = + + + + 4. 2 3 1 0,3 (0,3) (0,3) S = + + + +