GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên ĐT 0988844088
Phần một: Giới hạn dãy số Bài 1) Tìm các giới hạn sau
3 )
2
(
3 )
2
(
+ +
−
+
−
n n
n n
B= lim 2.2 2.8 2.162 n2 C= lim( n2 +5− n2 +1)
D= lim
n
n
2
8 6
4
2
) 1 2 (
7
5
3
E= lim(
) 1 (
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
+ + + + +
n n
F= lim
) 2 )(
1 (
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
12
1
+ + + + +
+
n n n
2
1 2
2
5 2
3
2
1
3 2
− + + + +
I= lim( n2 +3n−n+2) K=lim(3 n3 −2n2 −n) M= lim
n n n
n n
− +
+
− +
2
1 2 1 4 2 2
N= lim
+ + + +
+
1
2
1 1
1
n
b b
b
a a
a
1
1
2
2
+ + +
+ + + + Với |a|,|b|<1
Bài 2) Chứng minh các dãy số sau có giới hạn và tìm các giới hạn đó
a)
−
=
=
+
n n
u u
u
2
1
2
1
1
1
nếu n 1≥ b)
+
=
=
u
u
2
2 1
1
nếu n≥1
c)
+
=
=
1 2
1
1
n
n
u
u
u
nếu n 1≥ d)
+
=
>
2 1 0 1 1
n n
u u
Phần hai: Giới hạn hàm số Bài 3) Tính các giới hạn sau
a)
x x
x
2 cos
1
lim
2 0
−
→ b) sin( 1)
1 lim
2 3
− +
x x
x c)
x
x
cos 1
lim
0 −
−
→
d)
x
x
1 2
1
lim
2
+
−
1
3 5 2 lim 3 3 2 2
+
−
x x
x f)
2 3
3 7
lim3 2
+
− +
x x
x
g)
1
2 1
lim
3
−
+
x
x
x x
x
x
3 3
3 2 0
1 1
1
4 7
3
− + + +
x x
x
l)
2 7
4
−
x
5
2 4 4
lim
+ + +
−
x x
x
x x
x
3 0
1 1
lim + − +
→
Trang 2p)
2 2 3
4 lim
3
2
−
−
x
3 1 4
2 lim
+
−
x x
1
5 7 lim3
−
− +
x x
x
y)
x
x x
x
3 0
8 1
2
1
7 5
lim 2 3 2
+
−
−
x x
x x
x x x
x
+
−
− + +
2 2
0
1 1
lim
Bài 4) Tính các giới hạn sau trong hai trường hợp: khi x→+∞ và x→−∞
a) lim
1
4 3
2
2 3
3
+
−
−
− +
x x
x x
b) lim
3 2
1 4
2
+
+
−
−
x
x
1 1 4
3 2 2
2
−
− +
+ + +
x x
x x
x
d) lim(2x−3− 4x2 −4x−3) e) lim ( x2 +1−3 x3 −1)
f) lim ( x2 −2x+1− x2 −7x+3) h) lim
1
1 2 4 1
+
+ +
− + +
x
x x x
x
k) lim( x2 +8x+3− x2 +4x+3) l) lim
x x
x x
x
− + +
+ + + +
2 1 4
1 4 3 2 2
2
m) lim
3 3
2
1
3 2
+
−
+ +
x x
x x
Bài 5) Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau
a)
x
x x
3
cos cos
x
2 sin
2 lim
0
sin tan lim
x
x x
x
−
x x
x
2 cos 1 lim
2 0
−
→
e)
x
x x
7 cos 5
cos
1
0
−
x x
x cox x
2 2
sin 1 lim
−
−
x x
x x
10 cos 12 cos lim
−
→
0
2 cos cos
1
lim
x
x x
x
−
x
x
x
sin sin sin lim 0
) sin(tan
) cos 2
cos(
lim
x
x
π
→
n)
+ + + +
− +∞
→ 2 2 2 2 2 2
lim n
p)
x
x x
sin 1 sin
1
lim
0
+
−
−
x
x cox x x
2 sin
1
x
x
3
0 tan
cos 1
lim −
→
Bài 6) Các bài toán tính giới hạn bằng nguyên lý kẹp
a)
x
x
x
1
cos
lim 2
0
→ b) lim 1 cos( x 1 x)
x
x x
+∞
3
2 cos 5 sin 2
2
+
− +
+∞
x x
x
x
d)
1
2
sin
lim 2
+
+∞
x
x
1
cos 5 lim 3
2
−
+ +∞
x x
1
2 cos 2 2 sin
+ +
+ +∞
x x
x
Bài 7) Cho hàm số f(x) =
− +
+ +
−
1 3
3 2
2
x x
a a x
khi
khi
1
1
≥
<
x x
Tìm a để hàm số liên tục trên R
Trang 3Bài 8) Cho hàm số f(x) =
−
−
1
3 2
a
x x
khi
khi
1
1
≥
<
x
x
Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 9) Cho hàm số f(x) =
−
−
2
1
3 1
1
3
ax
x
khi
khi
1
1
≤
>
x
x
Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 10) Cho hàm số f(x) =
−
−
x a x x
2
2 1
1
khi
khi
1
1
=
≠
x
x
Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 11) Cho hàm số f(x)=
+
3
1
b
ax
khi khi
khi
5
5 3
3
>
≤
≤
≤
x x
x
Tìm a, b để hàm số liên tục
Bài 12) Tìm khoảng gián đoạn của hàm số sau
f(x)=
−
−
−
b
a
x
x
x
x
) 3
(
6 2
khi khi
khi
3 0
0 ) 3 (
=
=
≠
−
x x
x x
Với a, b là tham số
Bài 13) Chứng minh phương trình (1−m2)x5 −3x−1=0 luôn có nghiệm với mọi m:
Bài 14) Chứng minh rằng phương trình a
x
x + =
cos
1 sin
1
luôn có nghiệm trong khoảng
π;π
2 với mọi a
Bài 15) Chứng minh phương trình x3 +x−1=0 có nghiệm duy nhất x0 thỏa mãn
2
1
0<x0 <
Bài 16) Cho phương trình ax2 +bx+c=0 Chứng minh rằng
a) Nếu 2a + 6b + 19c = 0 thì phương trình có nghiệm trong [0 ; 1/3]
1
+
+
c m
b m
a
thì phương trình có nghiệm trong ( 0; 1) c) Nếu 2a + 3b +6c =0 thì phương trình có nghiệm trong ( 0; 1)
Bài 17) Chứng minh rằng với mọi số thực m ∈(2;34) phương trình x3 +3x−2=m có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1 ; 3)
Trang 4Một số bài tập tổng hợp
Câu 1) Tìm các giới hạn sau:
0
3 1 2
1
lim
x
x x
x
−
−
−
1
2 1
2
− +
−
x x
1
1 81 1 27 lim
+
− +
x x
x
Câu 2) Xét tính liên tục của các hàm số
a) f(x)=
6
1
1
x
x x
khi
khi
0
0
=
≠
x
x
Hãy xét tính liên tục của hàm số tại x =0
b) f(x)=
<
+
−
−
>
∀
−
− +
−
1 1
2
1 2
1 1
) 1 ( 1
3
2
x khi x
x
x x
x x
nếu x=1 Hãy xét tính liên tục của hàm số khi x=1
Câu 3) Chứng minh phương trình sau có nghiệm dương
0 1
2
3 +mx − =
x
Câu 4) Chứng minh rằng phương trình x4 −x−3=0 luôn có nghiệm (7 12;2)
0 ∈
x
Câu 5) Chứng minh rằng phương trình 2x3 −3x2 −1=0 luôn có nghiệm ( )3 4;2
0 ∈
x
Câu 6) Tìm giới hạn sau với m, n là các số nguyên dương )
1 1
( lim
n x
m
−
−
−
→
Câu 7) Cho đa thức P(x)=a x+a x2 + +a n x n
2
x
x
P
n
x
1 )
(
1
lim
0
− +
→
Câu 8) Tính giới hạn sau ( )( )( ) ( )
n
n
x x
x x
) 1 (
1
1 1
1
−
−
−
−
→