Các bài tập hàm số liên tục Page 1 11/30/2013
CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN
Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a
•Phương pháp : limx a f ( x ) = f ( a )
→
Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
x
x
−
x
Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ
) (
) (
x Q
x P
tại x = a
•Phương pháp : lim (( ))
x Q
x P
a
x→
– Nếu Q(a) ≠0 thì
) (
) ( ) (
) ( lim
a Q
a P x Q
x P
a
x→ =
– Nếu Q(a) =0 và P(a)≠0 thì =∞
) ( lim
x Q
x P
a x
– Nếu Q(a) =0 và P(a)=0 thì
) (
) ( lim
x Q
x P
a
0 0
tính
) (
) ( lim ) ( ) (
) ( ) ( lim ) (
) ( lim
x D
x C x
D a x
x C a x x
Q
x P
a x a
x a
−
−
=
Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
1
5
² lim
+
+
→ x
x
x
−
+
1
² lim
3 x
x
x
3
) 2 )(
3 ( lim 3
6 5
² lim
3 3
−
−
−
=
−
+
−
→
→
x
x x x
x x
x x
x
1 3
1 lim )3 )(
1 (
1 lim
3 4
²
1 lim
1 1
−
−
=
−
− +
+
=
−
−
−
+
−
→
−
→
−
x x
x
x
x x
x
5
2
1 1
1 2 lim )
1 )(
1 (
) 1 2 )(
1 ( lim 1
²
1 3
² 2
lim
1 1
−
+
=
− +
+ +
=
−
+ +
−
→
−
→
−
x x
x
x x
x
x x
x x
x
6
6
1 5
2 lim ) 5 )(
1 (
) 2 )(
1 ( lim 5 4
²
2 3
² lim
1 1
+
−
= +
−
−
−
=
− +
+
−
→
→
x x
x
x x x
x
x x
x x
x
2
) 4
² )(
2 )(
2 ( lim 2
16 lim
2 2
4
−
+ +
−
=
−
−
→
→
x
x x x x
x
x x
x
8
5
7 1
1
7
−
−
x
x
−
−
=
−
−
−
=
−
+
−
→
→
1 lim )²
2 (
) 1 )(
2 ( lim )²
2 (
2 3
² lim
2 2
x x
x x x
x x
x x
x
4
²
8
³ lim
−
−
→ x
x
x
−
+ +
−
= +
−
−
→
) 1
² ).(
1 ( lim 1 2
²
1
³ lim
1
x x x x
x
x
x x
Trang 212. lim ( 2).( ² 2 2) 5
2
²
4 2
³ lim
2
+
+
−
−
→
−
x x x
x x
x x
x x
Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai
•Phương pháp : Khử dạng vô định
0
0
bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp Cần nhớ : • a – b = ( a+ b)( a− b)
• a – b = (3 a−3 b)(3 a² +3 a.3 b+3 b²)
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1
) 1
² 1 (
) 1
² 1 )(
1
² 1 ( lim 1
² 1 lim
0
+ + + + +
+
− +
= + +
− +
→
x x x
x x x
x
x x x
x x
) 1
² 1 (
² lim
+ + + +
−
=
x
x
2.
) 2 )(
2 )(
3 2 1 (
) 2 )(
3 2 1 )(
3 2 1 ( lim 2
3 2 1 lim
4
+ +
+
− +
=
−
− +
→
x x
x x
x
x x
3
4 ) 3 2 1 ).(
4 (
) 2 ).(
4 (
2 lim
²) 2 ).(
3 2 1 (
) 2
²).(
3 2 1 ( lim
4
+ +
−
+
−
=
− +
+
+
− +
=
→
x x
x x
x x
x x
3.
) 2 ).(
9 1 4 (
) 3 1 4 ).(
2
² ( lim 3 1 4
2 lim
2
+ +
−
−
=
− +
+
−
→
x x
x x
x x
x x
8
9 ) 2 ).(
2 (
4
) 3 1 4 ).(
2 )(
1 ( lim
+ +
−
+ +
− +
=
x x
x
x
4.
2
1 1
1
lim
x
x
2 3
²
1 lim
− +
−
x
x
1 )² 1 ( 1
1 3
lim 3
1 1
lim
3 3
0
3
− +
− +
=
−
−
→
x x
x
x x
7.
3
2 2 3
²
1 lim
3
− +
+
−
x
x
8.
2 2
3 )
1
² ).(
1 ).(
2 1
(
1
² ).(
2 1
).(
2 1
( lim 1
2 1
lim
3 3 3
3 3
1 3
+ +
− +
+
+ + +
+
− +
=
−
− +
→
x x x
x x
x
x x
Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ
) (
) ( lim
x Q
x P
x→ ∞ ( có dạng ∞∞)
•Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
2
²
1 5
² 3
−
+
−
∞
x x
x
) 5 )(
2 (
1
²
− +
−
∞
x
x
−
+ +
−
∞
1
³ lim
x
x x
x
) 1 ).(
1
³ 2 (
) 3 5 ).(
1
² 3
(
+
−
+ +
∞
x x
x
5.
2
3 3 5
² 2
1 7
² 3
+
−
+
−
∞
x x
x
Trang 3Các bài tập hàm số liên tục Page 3 11/30/2013
6.
3
² 5
² 2 2
² 3 lim
4
+
+
− +
∞
x x
x
5 3
+
− +
∞
1
² lim
3 5
x
x x
x
1
² 4
3 2
²
− +
+ +
+∞
x x
x
9.
3
2 1
² 4
3 2
²
− +
+ +
−∞
x x
x
10. lim( 4 ²−4 +3−2 )=−1
+∞
x
11.lim→−∞( 4x²−4x+3−2x)=+∞
x
Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai
•Phương pháp :
– Trường hợp 1 : Khử dạng vô định ∞∞ bằng cách chia tử và mẩu cho lũy
thừa lớn nhất – Trường hợp 2 : Khử dạng vô định ∞ − ∞ bằng cách nhân thêm lượng
biểu thức liên hợp
• Cần nhớ : x → + ∞ thì x = x²
x → – ∞ thì x = – x²
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
²
1 1 1
4 1
²
1 1 lim
²
1
²
²
4
² 1
² lim 1
²
4
² 1
²
+
−
− +
+
= +
−
− + +
= +
−
− + +
∞
→
∞
→
∞
→
x x
x x
x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x
2.
) 3
² (
) 3
² )(
3
² ( lim ) 3
² (
lim
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x
− +
− +
+
−
= + +
−
−∞
→
−∞
→
x x
x
x x
x
− +
−
=
−∞
² 3
² lim
2
1 ) 1
²
3 1 1 (
) 3 1 ( lim
3
²
3
+ +
−
−
−
−
=
− +
−
+
−
=
−∞
→
−∞
→
x x x
x x x
x x
x
x x
3.
x x x
x x
x x
x x x x x x x
x x
x x
−
= +
−
+
−
−
−
=
−
−
+∞
→ +∞
→ +∞
4 lim
4
²
) 4
² )(
4
² ( lim ) 4
² (
lim
) 1 4 1 (
4
+
−
−
+∞
→
x x
x
x
1
²
+
−
−∞
x x
x
1
²
+
−
+∞
x x
x
6.lim(x 3).( x² 4 x)
+∞
2 7
² 4
−∞
x
Trang 4HÀM SỐ LIÊN TỤC
Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x :0
Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện
– Tính f(x0)
– Tính lim ( )
0
x f
x
x→
– So sánh lim ( )
0
x f
x
x→ = f(x0)
Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số :
1.f(x) =
2
1
−
+
x
x
tại x = 1 , x = 2
Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2
2 2
1 lim ) (
lim
1
−
+
=
→
x x
f
x x
) (
lim
1 f x
Vậy f(x) liên tục tại x = 1
Tại x = 2 thì f(x) không xác định
Vậy f(x) không liên tục tại x = 2
2.f(x) =
≤ +
>
−
−
−
1 3
2
1 1
1 2
²
3
x khi x
x khi x
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1
Tacó : f(1) = 5
4 1
) 1 3 )(
1 ( lim 1
1 2
²
3
lim
1
−
+
−
=
−
−
−
+
x x
x
x x
x x
5 ) 3 2
(
lim
→ x
x
Không tồn tại lim ( )
1 f x
x→
Vậy f(x) không liên tục tại x = 1
3 f(x) =
≠ +
−
−
=
2 2
3
²
)2 (2
2 2
x khi x
x
x
x khi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2
Ta có : f(2) = 2
2 ) 2 )(
1 (
) 2 ( 2 lim 2 3
²
) 2 ( 2 lim ) (
lim
2 2
−
−
−
= +
−
−
=
→
→
x x
x
x x
f
x x
x
) (
lim
2 f x
Vậy f(x) liên tục tại x = 2
Trang 5Các bài tập hàm số liên tục Page 5 11/30/2013
4 f(x) =
≠
−
− +
−
=
1 1
2 2
²
³
1 4
x khi x
x x
x
x khi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 )
5.f(x) =
>
−
≤ +
1 3
²
1
1 1
x khi x
x
x khi x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 )
6.
≠
−
−
−
=
=
2 2
3 2
1
2 1
)
(
x khi x
x
x khi x
f
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 )
7.
≠
−
=
=
0
²
sin
cos
1
0 4
1
)(
x khi x
x
x khi x
f
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 )
8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1
a f(x) =
1
2 3
²
−
+
−
x
x x
1
) 2 ).(
1 ( lim 1
2 3
² lim ) ( lim
1 1
−
−
−
=
−
+
−
=
→
→
x x x
x x x
f
x x
x
Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1
Vậy f(x) =
−
=
−
−
≠
−
+
−
1 1
1 1
2 3
²
x khi
x khi x
x x
b f(x) =
1
1
−
x
−
1 lim ) ( lim
1
1 f x x x x
−
1 lim ) ( lim
1
x
Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1
Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1
9.Định a để f(x) liên tục tại x = x0
Trang 6a f(x) =
=
≠
−
−
2
2 2
4
²
x khi a
x khi x
x
Định a để f(x) liên tục tại x = 2
b f(x) =
≤ +
>
−
−
−
1 2
1 1
1 2
² 3
x khi ax
x khi x
x x
Định a để f(x) liên tục tại x =1 ( a = 2 )
c.f(x) =
≥ +
− +
<
≤
− +
−
−
0 2
4
0 1 1
1
x khi x
x a
x khi x
x x
Định a để f(x) liên tục tại x = 0
Ta có : f(0) = a + 2
1 1
1
2 lim
1 1
lim ) ( lim
2 )
2
4 ( lim ) ( lim
0 0
0
0 0
−
= + +
−
−
= +
−
−
=
+
= +
− +
=
−
−
−
+ +
→
→
→
→
→
x x
x
x x
x f
a x
x a
x f
x x
x
x x
⇒ f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi :
f(0) = lim ( )
x→ + = →−
0
lim
x ⇔ a = – 3
Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0
d f(x) =
≥ +
+
<
−
0 1
0 2
sin
4 cos 1
x khi x
a x
x khi x x x
Định a để f(x) liên tục tại x = 0 ( a = 2 )
e f(x) =
=
≠
−
−
0 4
1
0 4
2
x khi
x khi x
x
Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0
Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
f(x) gián đoạn tại x0⇔ f(x) không liên tục tại x0
Trang 7Các bài tập hàm số liên tục Page 7 11/30/2013
•Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x0 khi :
– hoặc f(x) không xác định tại x0
– hoặc không tồn tại lim ( )
0
x f
x
x→
– lim ( )
0
x f
x
x→ ≠ f( x0)
Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
1 f(x) =
2
1 2
−
+
x
x
Tại x = 2 thì f( x ) không xác định Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2
2 f(x) =
≠ +
−
−
=
−
2 2
3
²
)1 (2
2 2
x khi x
x
x
x khi
f(x) xác định ∀ x ∈ R {1;2}
f(x) là hàm hữu tỉ ⇒ f(x) liên tục ∀ x ∈ R {1;2}
• Khi x ≠ 1 : Ta có f(x) =
2 3
²
) 1 ( 2
+
−
−
x x
x
=
2
2 ) 2 ).(
1 (
) 1 ( 2
−
=
−
−
−
x x
x x
⇒ f(x) không xác định tại x = 2
⇒ f(x) gián đoạn tại x = 2
• Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2
2 ) 2 ).(
1 (
) 1 ( 2 lim 2 3
²
) 1 ( 2 lim ) ( lim
1 1
−
−
−
= +
−
−
x x
x
x x
f
x x
x
⇒ lim ( )
1 f x
x→ = f(1)
⇒ f(x) liên tục tại x = 1 Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2
Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số :
•Phương pháp : Sử dụng định lí
Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng
Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :
1 f(x) = 3x4 –2x³ + x² – 3x + 2
Ta có : f(x) = 3x4 –2x³ + x² – 3x + 2 là hàm đa thức
Vậy f(x) liên tục trên R
2 f(x) =
1
2 4
²
−
+
−
x
x x
TXD : D = R {1}
Ta có : f(x) =
1
2 4
²
−
+
−
x
x x
là hàm hữu tỷ
Trang 8Vậy f(x) liên tục trên D = R {1}
3 f(x ) =
2
²
1 2
² 3
+
+ +
x
x x
liên tục trên R
4 f(x) =
x
1
liên tục trên R {1}
5.f(x) =
=
−
≠
−
+ +
−
2 3
2 2
6
² 4
³
x khi
x khi x
x x x
Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích trên trục số :
•Phương pháp :
– Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức
– Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (– ∞ ; a ) và ( a ; + ∞ ) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a
Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :
1 f(x) =
=
≠
−
+
−
2
2 2
6 5
²
x khi a
x khi x
x x
• x ≠ 2 thì f(x) =
2
6 5
²
−
+
−
x
x x
liên tục ∀ x ≠ 2
• x = 2 , Ta có : f(2) = a
1 2
) 3 (
2 ( lim 2
6 5
² lim ) ( lim
2 2
−
−
−
=
−
+
−
=
→
→
x x x
x x x
f
x x
x
– Nếu a = –1 thì f(2) = lim ( )
2 f x
x→ nên f(x) liên tục tại x = 2 – Nếu a ≠ 1 thì f(2) ≠ lim ( )
2 f x
x→ nên f(x ) không liên tục tại x = 2 Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R
a ≠ 1 thì f(x) liên tục trên ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ )
2 f(x) =
≥ +
<
−
+
−
3 2
3 3
12 7
²
x khi b
x
x khi x
x x
• Với x < 3 thì f(x) =
3
12 7
²
−
+
−
x
x x
là hàm phân thức hữu tỷ
⇒ f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 3 )
• Với x > 3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức
⇒ f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; + ∞ )
• Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b
Trang 9Các bài tập hàm số liên tục Page 9 11/30/2013
1 3
) 4 ).(
3 ( lim 3
12 7
² lim
6 ) 2 ( lim
3 3
3
−
=
−
−
−
=
−
+
−
+
= +
−
− +
→
→
→
x
x x
x
x x
b b
x
x x
x
– Nếu 6 + b = –1 ⇔ b = – 7 thì lim→3+
x = lim→3−
x = f(3) nên f(x) liên tục tại x = 3 – Nếu 6 + b ≠ –1 ⇔ b ≠ – 7 thì lim→3+
x ≠ lim→3−
x nên f(x) không liên tục tại x = 3 Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R
b ≠ – 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 3 ) và ( 3 ; + ∞ )
3.f(x) =
>
−
− +
≤ +
2 2
2 2 3
2 4
1
3
x khi x
x
x khi ax
a = 0 thì f(x) liên tục trên R
a ≠ 0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ )
Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 ∈( a ; b )
•Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên [ a ; b]
– Chứng minh f(a).f(b)< 0
Ví dụ :
1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Giải
Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R
Ta có : f(2).f(1) -3 0
1 f(1)
3
f(2)
<=
⇒
−=
=
thì ∃ x1∈( 1 ; 2 ) : f( x1) = 0
3 f(-1)
1-
f(1)
<=
⇒
=
=
thì ∃ x2 ∈(– 1 ; 1 ) : f( x2 ) = 0
Trang 100 -3 )
f(-1).f(-2 1-
f(-2)
3
f(-1)
<=
⇒
=
=
thì ∃ x3∈( –1 ;– 2) : f( x3) 0
Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
2 Chứng minh phương trình : 2x4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1) Giải
Đặt f(x) = 2x4 + 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R
Ta có : f(1).f(0) -12 0
3 f(0)
4
f(1)
<
=
⇒
−=
=
thì ∃ ít nhất x1∈( 0 ; 1 ) : f( x1) = 0
2 f(-1)
3-
f(0)
<=
⇒
=
=
thì ∃ ít nhất x2∈( 0 ;– 1 ) : f( x2 ) = 0
Vậy phương trình : 2x4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1)
3.Chứng minh phương trình : x17= x11+ 1 có nghiệm
Giải
Đặt f(x) = x17– x11– 1 thì f(x) liên tục trên R
Ta có : f(0).f(2) 0
0 f(2)
1-
f(0)
<
⇒
>
=
thì ∃ ít nhất x1∈( 0 ; 1 ) : f( x1) = 0
Vậy phương trình : x17– x11– 1 = 0 có nghiệm
4.Chứng minh phương trình : x5–3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1 ; 2)
( f(1).f(2)< 0 )
5.Chứng minh phương trình : m( x – 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm
( f(1).f( – 2) < 0 )
6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x – a)( x – b ) = 0
luôn có nghiệm ( f(a) f(b).f(c).f(0) ≤ 0 )