Một công việc A được chia ra k công việc để thực hiện, mỗi công việc độc lập nhau. Trong đó: + Công việc có cách thực hiện + Công việc có cách thực hiện ………………………………….. + Công việc có cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là : cách.
Trang 1- Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM
-Môn/Nhóm Môn: Toán
- Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12
- Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết
I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:
1 Quy tắc cộng:
Một công việc A được chia ra k công việc A A1 , 2 , ,A k để thực hiện, mỗi côngviệc độc lập nhau Trong đó:
+ Công việc A1 có n1 cách thực hiện
+ Công việc A2 có n2 cách thực hiện
………
+ Công việc A k có n k cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : n1 n2 n k cách
2 Quy tắc nhân:
Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn A A1 , 2 , ,A k , với mỗicách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất kỳ cách thực hiện mà ở các giaiđoạn còn lại Trong đó:
+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện
+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện
+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện
………
+ Giai đoạn A k có n k cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : n n n n1 2 3 k cách
3 Hoán vị:
3.1 Định nghĩa:
- Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 Mỗi cách sắp xếp có thức tự n phần tử của tậphợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
Trang 3-II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG :
1 Bài toán 1: có sử dụng hoán vị của n phần tử Chúng ta thường dựa trên dấu hiệuđặc trưng sau:
Và có ! 1 1
!
k n
n C
Trang 4a- Bạn D ngồi vào chính giữa 7 bạn ?
b- Hai bạn A và G ngồi ở 2 đầu ghế ?
*Phân tích:
a/Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho D chúng ta thấy rằng 6 bạn còn lại như 6 phần tử đều
có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự Do đó ta sửdụng bài toán 1
b/Tương tự ta thấy: Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho A và G chúng ta thấy rằng 5 bạncòn lại như 5 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần Mỗi cách sắp xếp có sự phânbiệt thứ tự Do đó ta sử dụng bài toán 1
*Lời giải:
a/Sắp xếp D ngồi vào chính giữa: có 1 cách
Mỗi cách sắp xếp A, B, C, E, F vào 6 chỗ còn lại là một hoán vị của 6 phần tử nên có
Trang 5em học sinh trên những quyển sách văn học và âm nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
Trang 6-Đội thanh niên xung kích của trường X có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A,
4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho:
a/ 4 học sinh này thuộc cả 3 lớp trên
b/ 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
*Phân tích:
Số học sinh được chọn từ 12 học sinh không sắp xếp thứ tự gì nên ta có thể sử dụngbài toán 2
*Lời giải:
a/Vì 4 học sinh được chọn cần ở cả 3 lớp nên ta có các trường hợp chia như sau:
Học sinh lớp A Học sinh lớp B Học sinh lớp C Số cách chọn tương
b/ Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là C 124 495
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có 1 học sinh là 270 cách chọn
Nên số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp phải là :
495-270=225 cách chọn
Ví dụ 5: (ĐH khối B-2004)
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hổi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ
3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
*Lời giải :
Trang 7-Ta có trường hợp như sau:
số câu hỏi dễ số câu hỏi TB số câu hỏi khó Số cách lập đề dạng này
Ví dụ 6: (ĐH khối B-2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai ta
có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba là 1 4
a/ Mọi người đều vui vẻ tham gia.
b/ Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau.
c/ Cậu An và cô Hà không thể làm việc chung với nhau.
*Lời giải :
Trang 8a/ Vì mọi người đều vui vẻ tham gia nên ta tuỳ ý chọn 5 trong số 30 người vào ban cán sự lớp Mỗi cách chọn đó là một tổ hợp chập 5 của 30 phần tử
-Vậy có tất cả 305 30! 142506
5!25!
b/ Cách 1:
-Nếu cả Tâm và Bình cùng có mặt trong ban cán sự thì ta chỉ việc chọn 3 người trong
28 người vào ban cán sự => có C cách chọn 283
-Nếu cả Tâm và Bình cùng không có mặt trong ban cán sự thì ta chọn 5 người trong
28 người vào ban cán sự => có 5
28
C cách chọn
Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là:
3 28
C + 5
28
C =101556 cách chọn.
Cách 2:
-Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C cách chọn 305
-Chọn 5 người trong đó có Tâm mà không có Bình =>có 4
-Chọn 5 người trong đó có Hà mà không có An =>có C cách chọn 284
Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là:
5 28
Trang 9-Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có 5
C 3 10
C cách chọn
- Chọn 5 người trong đó có 4 nam và 1 nữ => có 4
10
C 1 10
C cách chọn
Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là:
2 10
C 3 10
C + 3
10
C 2 10
C + 4
10
C 1 10
C =12900 cách chọn.
Cách 2:
-Chọn 5 người tuỳ ý trong 20 người =>có C cách chọn 205
-Chọn 5 người trong đó có 1 nam và 4 nữ => có 1
10
C 4 10
C cách chọn
-Chọn 5 người trong đó có 0 nam và 5 nữ => có C cách chọn 105
Trang 10-Chọn 5 người trong đó có 5 nam và 0 nữ => có 5
-10
C cách chọn
Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là:
5 20
C -( 1
10
C 4 10
Từ x 666 suy ra a 6, ta có các trường hợp sau:
*TH1: Với a 7;8;9 khi đó b,c chọn tuỳ ý Ta có :
a có 3 cách chọn
bc có A cách chọn 82
Trang 11Suy ra có 2
Trang 12Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm.
Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 5
Do đó với mỗi tập Q như trên ta được 3.3! số x cần tìm
Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 4
9
C 3.3! (số).
Vạy có tất cả là:
5 9
C 4!+ 4
9
C 3.3! =5292 (số)
2 Tính số các số tự nhiên liên quan đến tính chia hết:
*Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:
+dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8
+dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chia hết cho 3
+dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4 +dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5
+dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3
+dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9
Trang 13-+dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0
+dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn bằng 0
+dấu hiệu chia hết cho 25 là có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25
Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán
b/ Vì x chia hết cho 5 nên e0;5 .
Trang 14Suy ra có 8 3
b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3.
c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.
*Lời giải :
a/ theo dấu hiệu chia hết thì số cần tìm chia hết 5 nên nó có hàng đơn vị là 0 hoặc 5.+ nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì cách sắp xếp các chữ số từ 1 đến 5 vào 3 vị trí cònlại có : 3
Vì x3 nên a b c 3 Xét các trường hợp sau:
*a b c , , 0,1, 2 , 0, 4,5 , 0,2, 4 , 0,1,5 Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể tạothành (3!-2!) số
Vậy có 4 (3!-2!)=16 số trong TH này
*a b c , , 1, 2,3 , 2,3, 4 , 3,4,5 , 1,3,5 Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể tạothành 3! số
Vậy có 4 3!=24 số trong TH này
Vậy có tất cả 16+24=40 số
c/ Vì số cần tìm x chia hết cho 9 nên a b c 9
Xét các TH sau:
Trang 15Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn
a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 11.
b/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 25.
c/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 4.
Trang 16Số tự nhiên chia hết cho 9 là số có tổng tất cả các chữ số chia hết cho 9
-Các số có 6 chữ số chia hết cho 9 viết theo thứ tự tăng dần là dãy số :
10008,100017,100026,….,999999
Đây là một cấp số cộng có công sai d=9
-Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 se là dãy con của dãy số trên Nó là cấp số cộng
Có 7! số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho
Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau
Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất Khối thống nhất này cùngvới 5 chữ số còn lại sẽ cho ta 6! số
Mỗi lần hoán vị 2 chữ số chẵn trong khối ta sẽ có 2! số mới
Nên có 6!.2! số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau
Vậy có tất cả 7!-6!.2!=3600 số cần tìm
3.Tính số các số tự nhiên ràng buộc sự có mặt cuả các chữ số:
Ví dụ 16:
Trang 17A =480 số thoả mãn yêu cầu bài toán
A A =2400 (số)63
Trang 18-b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà chữ số 1 luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách chọn”.
Coi cặp số 17 là phần tử kép Sẽ có 4 cách sắp xếp vị trí cho phần tử kép này
Với mỗi cách sắp xếp này có A cách chọn các chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại.63
Khi đó ta có tất cả là: 4 3
6
A = 480 số cần tìm
Ví dụ 18:
Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ
số khác nhau đôi một, sao cho trong 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.
Cách 2:
Có 3
4
C cách chọn 3 chữ số chẵn
Trang 194.Tính số các số tự nhiên có chứa các chữ số lặp lại:
Trang 20-Cách 1:
1
a có 7 cách chọn (vì a1 khác 0)2
a có 7 cách chọn 3
a có 6 cách chọn 4
a có 5 cách chọn 5
a có 4 cách chọn 6
a có 3 cách chọn 7
a có 2 cách chọn 8
a có 1 cách chọn
có 1.2.3.4.5.6.7.7=35280 sốNhưng trong đó có chứa 3! số giống nhau khi ta giao hoán 3 chữ số chữ số 5
Vậy số các số cần tìm là 35280 5880
3! số
Cách 2:
Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số
Trong đó có 7! Số có chữ số 0 đứng đầu và 3! Số giống nhau khi hoán vị chữ số 5 Vây nên ta có tất cả 8! 7! 5880
3!
số cần tìm
Từ đó có bài toán tổng quát:
Bài 1: “ Cho n chữ số khác nhau và khác 0, 1 n 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”
!
n k k
số cần tìm
Bài 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1 n 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”
Trang 22Trong số 120 số n ta luôn tìm được cặp số n,n’ sao cho tổng của chúng n+n’=66666.chẳng hạn như 12345+54321=66666.
*Lời giải :
Gọi số cần tìm là abcdef
Theo giả thiết c+d+e=8
Suy ra c d e, , 1;2;5 hoặc c d e, , 1;3;4 .
+Với c d e, , 1;2;5 :
Ta có 3! Cách chọn cde
Chọn 3 chữ số a,b,f trong 9 - 3=6 chữ số : có A cách chọn 63
Vậy có 3!A =720 số63
+ Với c d e, , 1;3;4 : Tương tự ta cũng có 720 số.
Vậy có tất cả là 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu bài toán
DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC
Ví dụ 23: Cho n N n , 4
a/ Cho một đa giác lồi n cạnh Hỏi có bao nhiêu đường chéo?
b/ Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35?
Trang 23-*Phân tích :
Mỗi đoạn thẳng tương ứng với 2 điểm thuộc n điểm , trong đó có cả cạnh và
đường chéo của đa giác.Và ngược lại 2 điểm thuộc n điểm tạo được 1 đoạn thẳng có thể là cạnh hoặc đường chéo của đa giác
*Phân tích 1 : Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm ,
nếu 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì không hình thành được tam giác
Lời giải 1:
Chọn 3 điểm bất kỳ trong 25 điểm kể trên ta có: 3
25
C cách chọn Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng a có : 3
10
C cách chọn Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng b có : 3
15
C cách chọn Vậy có tất cả là : 3
25
C - 3 10
C - 3 15
C =1725 tam giác
*Phân tích 2 : Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm,
bằng cách chọn 3 điểm không cùng thuộc một đường thằng nào ta có các trường hợpnhư sau:
Trang 2410 15
C C tam giácVậy có tất cả số tam giác là: 1 2
Trong mặt phẳng cho 20 đường thẳng phân biệt a a1, , ,2 a song song với20
nhau từng đôi một và 30 đường thẳng phân biệt b b1, , ,2 b cùng vuông góc với các30
đường thẳng a i i 1,20 Tính số hình chữ nhật được tạo nên từ 50 đường thẳng đó?
*Lời giải :
Ta thấy cứ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng a , i a j 1i j, 20,ij và 2 đườngthẳng ,b b m n 1m n, 30,m n cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật Ngược lại,mỗi hình chữ nhật đều được tạo thành từ 4 đường thẳng gồm 2 đường thẳng a , i a và j
2 đường thẳng , b b m n
Do đó số hình chữ nhật cần tìm bằng số bộ bốn đường thẳng gồm 2 đườngthẳng a , i a và 2 đường thẳng , j b b m n
Trang 25-Ta thấy ứng với hai đừơng chéo đi qua tâm O của đa giác A A A cho tương ứng1 2 2n
một hình chữ nhật có đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm A A1, , ,2 A và ngược lại mỗi2n
hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác
Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n
Cho lục giác lồi ABCDEF
a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của lục giác đã cho?
b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có canh không phải là cạnh của lục giác?
Lời giải :
a/ Nhận thấy rằng cứ 3 đỉnh của hình lục giác thì tạo thành một tam giác và ngược lạimột tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của hình lục giác, do đó có :
3 6
6!
203!3!
C tam giác
b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại:
số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là 1
Trang 26-20-18 =2 tam giác
*Ví dụ 28:
Có thể trả lời câu hỏi như trên với bát giác ABCDEFGH
a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác ABCDEFGH?
b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác ABCDEFGH?
Đáp số:
a/ có 83 8! 56
3!5!
C tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác
b/ có C81C C81 14 C C81 5140tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của bát giác
Và có tất cả : 50 – 40 = 10 tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác
Từ đó giải quyết bài toán Tổng quát như sau:
“ Cho đa giác lồi n cạnh A A A1 2 n n N n , 3
a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A A A1 2 n ?
b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác A A A1 2 n ? ”
n
b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác A A A gồm 2 loại: 1 2 n
số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là 1
n C
số tam giác có 2 cạnh của đa giác là 1 1
Trang 27Vậy có tất cả số tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác sẽ là :
a/ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?
b/ Hỏi có bao nhiêu tứ diện ?
Trang 28-V.CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1 Lớp 11A có 40 học sinh , trong đó có 22 học sinh nam và 18 học sinh nữ Giaoviên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, một bí thư,một lớp phó văn nghệ, một lớp phó lao động Hỏi có bao nhiêu cách chọn Ban cám
sự lớp nếu:
a Ban cán sự lớp được chọn bất kỳ?
b Ban cán sự toàn con trai?
c Lớp trưởng phải là học sinh nam và lớp phó văn nghệ phải là học sinh nữ?
2 Một thầy giáo có 10 quyển sách khác nhau, trong đó có 4 quyển sách Toán,3 quyểnsách Lý, 3 quyển sách Hoá Thầy muốn lấy ra 5 quyển và tặng cho 5 học sinhA,B,C,D,E mỗi em một quyển Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng nếu:
a Chỉ tặng cho học sinh các quyển sách Toán hoặc Hoá?
b Có ít nhất 1 quyển sách Toán được tặng?
c Sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất 1 quyển?
3 Một đội Văn nghệ có 18 người gồm 10 nam và 8 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập 1nhóm đồng ca gồm 6 người, biết rằng: