Tên chuyên đề các DẠNG TOÁN về PHÉP đếm

Mỗi cách sắp xếp có thức tự nphần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó... Mỗi em chỉ được một quyển.a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những

- Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM

- Tác giả chuyên đề: NGUYỄN THỊ THANH HẢI

- Chức vụ : Giáo viên Toán

- Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Yên

- Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12

- Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết

I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:

+ Công việc A2 có n2 cách thực hiện

………

+ Công việc A k có n k cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : n1 n2  n k cách

2 Quy tắc nhân:

Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn

1 , 2 , , k

A A A , với mỗi cách thưck hiện ở giai đoạn này không trùng với bất

kỳ cách thực hiện nà ở các giai đoạn còn lại Trong đó:

+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện

+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện

+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện

………

+ Giai đoạn A k có n k cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : n n n n1 2 3 k cách

3 Hoán vị:

3.1 Định nghĩa:

- Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 Mỗi cách sắp xếp có thức tự nphần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

n A

- Hai tổ hợp khác nhau là hai tập con có ít nhất 1 phần tử khác nhau

II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG :

1 Bài toán 1: có sử dụng hoán vị của n phần tử Chúng ta thường dựatrên dấu hiệu đặc trưng sau:

Và có  !   1   1

!

k n

n C

k n k





III CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM PHƯƠNG ÁN

1 Bài toán đếm có sự sắp xếp

Ví dụ 1:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G vào một chiếc ghế dài sao cho

a- Bạn D ngồi vào chính giữa 7 bạn ?

b- Hai bạn A và G ngồi ở 2 đầu ghế ?

*Phân tích:

a/Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho D chúng ta thấy rằng 6 bạn còn như 6phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần Mỗi cách sắp xếp có sự phânbiệt thứ tự Do đó ta sử dụng bài toán 1

b/Tương tư ta thấy: Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho A và G chúng ta thấyrằng 5 bạn còn như 5 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần Mỗicách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự Do đó ta sử dụng bài toán 1

*Lời giải:

a/Sắp xếp D ngồi vào chính giữa: có 1 cách

Mỗi cách sắp xếp A, B, C, E, F vào 6 chỗ còn lại là một hoán vị của 6phần tử nên có 6 cách sắp xếp A, B, C, E, F

Vậy có 16!=720 cách sắp xếp thoả mãn yên cầu bài toán

và đem tặng cho 6 học sinh khác nhau Mỗi em chỉ được một quyển.

a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những quyển sách văn học và âm nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất một quyển Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

Số cách tặng 6 quyển sách theo yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 6của 9 phần tử

a/ 4 học sinh này thuộc cả 3 lớp trên

b/ 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

b/ Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là C 124 495

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có 1 học sinh là 270 cách chọn

Nên số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp phải là :

495-270=225 cách chọn

Ví dụ 5: (ĐH khối B-2004)

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hổi khó, 10 câu hỏi trung bìnhvà 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

*Lời giải :

Ta có trường hợp như sau:

số câu hỏi dễ số câu hỏi TB số câu hỏi khó Số cách lập đề dạng này

Ví dụ 6: (ĐH khối B-2005)

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp

đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?

*Lời giải :

Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất là 1 4

3 12

C C

Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất ta có

số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai là 1 4

2 8

C C

Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất vàtỉnh thứ hai ta có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnhthứ ba là 1 4

C C

Vậy có tất cả các cách phân công thanh niên tình nguyện về ba tỉnh sẽ là:

a/ Mọi người đều vui vẻ tham gia.

b/ Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau.

c/ Cậu An và cô Hà không thể làm việc chung với nhau.

*Lời giải :

a/ Vì mọi người đều vui vẻ tham gia nên ta tuỳ ý chọn 5 trong số 30 người vào ban cán sự lớp Mỗi cách chọn đó là một tổ hợp chập 5 của 30 phần tử

3 28

C + 5

28

C =101556 cách chọn

Cách 2:

-Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C cách chọn 305

-Chọn 5 người trong đó có Tâm mà không có Bình =>có 4

28

C cách chọn

-Chọn 5 người trong đó có Bình mà không có Tâm =>có C cách chọn 284

Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thểrời nhau là:

5 30

28

C cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là:

5 28

C 3 10

C =5400 cách chọn

b/ Cách 1:

- Chọn 5 người trong đó có 2 nam và 3 nữ => có 2

10

C 3 10

C cách chọn

Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1

nữ là:

2 10

C 3 10

C + 3

10

C 2 10

C + 4

10

C 1 10

10

C 4 10

C cách chọn

-Chọn 5 người trong đó có 0 nam và 5 nữ => có 5

10

C cách chọn

-Chọn 5 người trong đó có 5 nam và 0 nữ => có C cách chọn 105

Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1

nữ là:

5 20

Từ x 666 suy ra a 6, ta có các trường hợp sau:

*TH1: Với a 7;8;9 khi đó b,c chọn tuỳ ý Ta có :

Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm.

Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 5

Do đó với mỗi tập Q như trên ta được 3.3! số x cần tìm

Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 4

9

C 3.3! (số).

Vạy có tất cả là:

5 9

C 4!+ 4

9

C 3.3! =5292 (số)

2 Tính số các số tự nhiên liên quan đến tính chia hết:

*Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:

+dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8 +dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chie hết cho 3 +dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4

+dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5

+dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3

+dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9 +dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0

+dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tồng các chữ

a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5.

b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3.

c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.

Vì x3 nên a b c   3 Xét các trường hợp sau:

*a b c , ,   0,1, 2 , 0, 4,5 , 0, 2, 4 , 0,1,5        Trong TH này có 4 bộ số , mỗi

bộ có thể tạo thành (3!-2!) số

Vậy có 4 (3!-2!)=16 số trong TH này

*a b c , ,   1, 2,3 , 2,3, 4 , 3, 4,5 , 1,3,5        Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ

a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 11.

b/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 25.

c/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 4.

Đây là một cấp số cộng có công sai d=9.

-Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 se là dãy con của dãy số trên Nó làcấp số cộng u1  100017,u2  100035, ,u n  999999 với công sai d=18

Do đó 100017+(n-1)18=999999 =>n=50000

Vậy có tất cả 50000 số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9

Ví dụ 15:

Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho hai chữ số không năm liền nhau?

*Lời giải:

Có 7! số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho

Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau

Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất Khối thốngnhất này cùng với 5 chữ số còn lại sẽ cho ta 6! số

Mỗi lần hoán vị 2 chữ số chẵn trong khối ta sẽ có 2! Số mới

Nên có 6!.2! số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau

5

A 3 4

A =480 số thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 17:

Cho tập A=0,1,2,3,4,5,6,7

a/ Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà mỗi số luôn có mặt hai chữ số 1 và 7?

b/ Trong các số tìm được ở câu a/ có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 7 đứng kề nhau, chữ số 1 đứng bên trái chữ số 7?

A 5 2

5

A =2000 (số) b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà chữ số 1 luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách chọn”.

Do đó ta xét 2 TH:

*TH1: Chữ số 1 đứng ở hàng vạn (vị trí a) thì chữ số 7 sẽ đứng ở hàngnghìn (vị trí b)

 Mỗi bộ số dành cho ba vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3của các phần tử của A\1,7 là 6 phần tử 

6

A cách chọn Vậy trong TH này ta được 1 3

 Mỗi bộ số dành cho hai vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chậpcủa các phần tử của A\1,7,a là 5 phần tử 

Cách 2:

Có 3

4

C cách chọn 3 chữ số chẵn

*Lời giải :

Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số

Trong đó có 7! Số có chữ số 0 đứng đầu và 3! Số giống nhau khi hoán vịchữ số 5

Vây nên ta có tất cả 8! 7! 5880

3!



 số cần tìm

 Từ đó có bài toán tổng quát:

Bài 1: “ Cho n chữ số khác nhau và khác 0, 1  n 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”

 Công thức  1 !

!

n k k

 

số cần tìm

BÀi 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1  n 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”

Vậy tổng của 120 số n là: 360+3600+36000+360000+3600000=3999960Cách 2:

Trong số 120 số n ta luôn tìm được cặp số n,n’ sao cho tổng của chúngn+n’=66666 chẳng hạn như 12345+54321=66666

*Lời giải :

Gọi số cần tìm là abcdef

Theo giả thiết c+d+e=8

Suy ra c d e, , 1;2;5 hoặc c d e, , 1;3;4 .

6

A =720 số

+ Với c d e, , 1;3;4 : Tương tự ta cũng có 720 số.

Vậy có tất cả là 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu bài toán

DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC

Ví dụ 23: a/ Cho một đa giác lồi n cạnh Hỏi có bao nhiêu đường

chéo?

b/ Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35?

*Phân tích :

Mỗi đoạn thẳng tương ứng với 2 điểm thuộc n điểm , trong đó có

cả cạnh và đường chéo của đa giác.Và ngược lại 2 điểm thuộc n điểm tạo được 1 đoạn thẳng có thể là cạnh hoặc đường chéo của đa giác

Cho 2 đường thẳng a, b song song với nhau Trên đường thẳng a

có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có 15 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc 25 điểm kể trên?

*Phân tích 1 : Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng

thuộc 25 điểm , nếu 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì không hìnhthành được tam giác

Lời giải 1:

Chọn 3 điểm bất kỳ trong 25 điểm kể trên ta có: 3

25

C cách chọn Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng a có : 3

10

C cách chọn Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng b có : 3

15

C cách chọn Vậy có tất cả là : 3

25

C - 3 10

C - 3 15

C =1725 tam giác

*Phân tích 2 : Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng

thuộc 25 điểm, bằng cách chọn 3 điểm không cùng thuộc một đườngthằng nào ta có các trường hợp như sau:

Trong mặt phẳng cho 20 đường thẳng phân biệt a a1, , ,2 a20song

song với nhau từng đôi một và 30 đường thẳng phân biệt b b1, , ,2 b30

cùng vuông góc với các đường thẳng a i i 1,20 Tính số hình chữ nhật

được tạo nên từ 50 đường thẳng đó?

*Lời giải :

Ta thấy cứ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng a i , a j 1i j, 20,ij

và 2 đường thẳng b b m, n 1m n, 30,m n  cắt nhau tạo thành một hìnhchữ nhật Ngược lại, mỗi hình chữ nhật đều được tạo thành từ 4 đườngthẳng gồm 2 đường thẳng a i , a và 2 đường thẳng j b b m, n.

Cho đa giác đều A A A1 2 2n nội tiếp trong đường tròn tâm O Biết

rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A A1, , ,2 A2n gấp 20 lần so

với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A A1, , ,2 A2n Tìm n?

Lời giải :

Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A A1, , ,2 A2n là 3

2n

C

Ta thấy ứng với hai đừơng chéo đi qua tâm O của đa giác A A A1 2 2n cho

tương ứng một hình chữ nhật có đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm

1, , ,2 2n

A A A và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng

hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác

Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n

Cho lục giác lồi ABCDEF

a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của lục giác đã cho?

b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có canh không phải

là cạnh của lục giác?

Lời giải :

a/ Nhận thấy rằng cứ 3 đỉnh của hình lục giác thì tạo thành một tam giác

và ngược lại một tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của hình lục giác, do

đó có :

3 6

6!

203!3!

C   tam giác

b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại:

 số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là 1

Có thể trả lời câu hỏi như trên với bát giác ABCDEFGH

a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác ABCDEFGH? b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải

là cạnh của bát giác ABCDEFGH?

Đáp số:

a/ có 83 8! 56

3!5!

C   tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác

b/ có C81C C81 41 C C81 5140tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh củabát giác

Và có tất cả : 50 – 40 = 10 tam giác có cạnh không phải là cạnh của bátgiác

Từ đó giải quyết bài toán Tổng quát như sau:

“ Cho đa giác lồi n cạnh A A A1 2 n .

a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A A A1 2 n ?

b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác A A A1 2 n ? ”

Lời giải :

a/ Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A A A1 2 n là số tổ hợp chập 3

của n phần tử

b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác A A A1 2 n gồm 2 loại:

 số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là 1

n C

 số tam giác có 2 cạnh của đa giác là 1 1

a/ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?

b/ Hỏi có bao nhiêu tứ diện ?

n

C - 3

m

C +1(mặt phẳng)

b/ Chọn 4 điểm bất kỳ trong n điểm đã cho là tổ hợp chập 4 của n phần tửcó: 4

IV.CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI:

1 Lớp 11A có 40 học sinh , trong đó có 22 học sinh nam và 18 học sinh

nữ Giao viên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớptrưởng, một bí thư, một lớp phó văn nghệ, một lớp phó lao động Hỏi

có bao nhiêu cách chọn Ban cám sự lớp nếu:

a Ban cán sự lớp được chọn bất kỳ?

b Ban cán sự toàn con trai?

c Lớp trưởng phải là học sinh nam và lớp phó văn nghệ phải làhọc sinh nữ?

2 Một thầy giáo có 10 quyển sách khác nhau, trong đó có 4 quyển sáchToán,3 quyển sách Lý, 3 quyển sách Hoá Thầy muốn lấy ra 5 quyển

và tặng cho 5 học sinh A,B,C,D,E mỗi em một quyển Hỏi thầy có baonhiêu cách tặng nếu:

a Chỉ tặng cho học sinh các quyển sách Toán hoặc Hoá?

b Có ít nhất 1 quyển sách Toán được tặng?

c Sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất 1 quyển?

3 Một đội Văn nghệ có 18 người gồm 10 nam và 8 nữ Hỏi có bao nhiêucách lập 1 nhóm đồng ca gồm 6 người, biết rằng:

a Trong nhóm đó toàn là nữ?

b Trong nhóm đó có đúng 2 nam?

c Trong nhóm đó có ít nhất 5 nữ?

d Trong nhóm đó có ít nhất 1 nam?

4 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơntổng 3 chữ số cuối 1 đơn vị?

5 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên màmỗi số có 6 chữ số khác nhau sao cho

a Hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau?

b Hai chữ số 2 và 3 không đứng cạnh nhau?

6 Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là

số lẻ?

7 Từ các chữ số 0,1,6,7,8,9 Hãy tìm tất cả các số chẵn có 4 chữ số khácnhau và lớn hơn 5000?

8 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 Hãy tìm tất cả các số có 5 chữ số khác nhausao cho

12 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó

có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?

13 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau biếtrằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần , chữ số 3 có mặt 3 lần và các chữ sốkhác có mặt không quá 1 lần

14 Từ các chữ số 0,1,2,5,6,7,8 Hãy tìm tất cả các số có 4 chữ số khácnhau sao cho