Chuyên đề: Các dạng toán về vécto

Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì.. Bài 6: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng với B qua G.. Gọi I là t

Chuyên đề toán véc tơ

Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức véc tơ

A Ph ơng pháp

*C1: Biến đổi một vế chỉ ra bằng vế còn lại

*C2: Biến đổi tơng đơng (Đa ĐT cần chứng minh về một ĐT luôn đúng)

*C3: Xuất phảt từ một ĐT luôn đúng biến đổi đa về ĐT cần chứng minh

*C4: Tạo dựng hình phụ

Dựa vào các quy tắc đã học:

- Quy tắc ba điểm

- Quy tắc hình bình hành

- Quy tắc trung điểm

B Một số ví dụ

VD1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.

1 CMR : AD + → BC = 2→ EF ;→

2 CMR : OA + → OB + → OC + → OD = 0→  ;

3 CMR : MA + → MB + → MC + → MD = 4→ MO (với M tùy ý)→

VD2: Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2→ DB , → CE = 3→ EA Gọi M→

là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :

1 →

AM = 31 AB + 8→ 1 AC ;→

2 →

MI = 61 AB + 8→ 3 AC →

VD3: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC CMR: a IA b IB c ICuur+ uur+ uur r=0

C Bài tập

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB CD AD CBuuur uuur uuur uuur+ = +

Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì Chứng minh rằng:

1 GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + =

2 MA MB MC 3MGuuuur uuur uuur+ + = uuuur

Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng:

AM BN CP 0+ + =

uuuur uuur uuur r

Bài 4: Cho hai tam giác ABC, A’B’C’ lần lợt có trọng tâm là G, G’ CMR: AA ' BB' CC' 3GG 'uuuur uuuur uuuur+ + = uuuur

Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC : NC=2NA

Gọi K là trung điểm của MN

1 CMR: AK 1AB 1AC

uuur uuur uuur

;

2 Gọi D là trung điểm của BC CMR: KD 1AB 1AC

uuur uuur uuur

Bài 6: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng với B qua G

1 Chứng minh rằng: 2 1 1( )

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

2 Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: MH 1AC 5AB

uuuur uuur uuur

Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi J là điểm trên đờng BC

kéo dài sao cho 5JB = 2JC

1 Chứng minh rằng: AI 3AB 2AC ; AJ 5AB 2AC

uur uuur uuur uur uuur uuur

2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh: AG 35AI 1 AJ

48 16

uuur uur uur

Bài 8: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác

ABC Gọi I là tâm đờng tròn đi qua trung điểm của 3 cạnh tam giác ABC

1 Chứng minh rằng: HA HB HC 2HOuuur uuur uuur+ + = uuur

2 Chứng minh rằng HG 2HO

3

=

uuur uuur

Từ đó suy ra H, G, O thẳng hàng

3 Chứng minh rằng: OA OB OC OH 3OGuuur uuur uuur uuur+ + = = uuur

4 Chứng minh rằng: OH 2OIuuur= uur

5 Gọi A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB Các điểm A1; B1; C1 là chân đờng cao hạ từ A,

B, C Các điểm M, N, P là trung điểm của HA, HB, HC Chứng minh rằng 9 điểm A’, B’, C’; A1; B1; C1;

M, N, P nằm trên đờng tròn I;R

2

  (với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (đờng tròn này gọi là đờng tròn Ơle)

Bài 9: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm G : GA GB GC GD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + = (1) Điểm G thoả mãn (1) gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD hay cũng gọi là trọng tâm của hệ 4

điểm

Bài 10: Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác.

1 Chiếu M xuống 3 cạnh của tam giác thành D, E, F Chứng minh rằng:

3

MD ME MF MO

2

uuuur uuur uuur uuuur

2 Gọi A1; B1; C1 là các điểm đối xứng của M qua các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm

Bài 11: Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm của tam giác CMR: tan A.HA tan B.HB tan C.HC 0uuur+ uuur+ uuur r=

Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR:

sin A.IA sin B.IB sin C.IC 0uur+ uur+ uur r=

Bài 13: Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giácABC CMR:

S∆ MA Suuuur+ ∆ MB Suuur+ ∆ MC 0uuur r=

Dạng 2: Biểu diễn véc tơ

A Ph ơng pháp

Định lý: Cho trớc hai véc tơ a br r r, ≠0và không cùng phơng Với mọi véc tơ cr

luôn tồn tại duy nhất cặp số thực α β, sao cho cr =αar+βbr

*C1: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ đó khai triển véc tơ cần biểu diễn bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu

*C2: Từ giả thiết thiết lập mối quan hệ giữa các đối tợng, từ đó khai triển biểu thức này

Dựa vào các quy tắc đã học:

- Quy tắc ba điểm;

- Quy tắc hình bình hành;

- Quy tắc trung điểm

B Một số ví dụ

VD1: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB Hãy biểu diễn các véc tơ

, ,

AB BC CA

uuur uuur uuur

theo hai véc tơ BN CPuuur uuur,

VD2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3→ MC ;→ NA +3→ NC = 0→  và PA + → PB = 0→  Hãy biểu diễn

→

PM , PN theo hai véc tơ → AB và → AC →

C Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và B’ là điểm đối xứng với B qua G Hãy

biểu diễn các véc tơ CB AB MBuuur uuuur uuuur', ', '

(M là trung điểm của BC) theo hai véc tơ ar uuur r uuur= AB b BC, =

Bài 2 : Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài

sao cho 5JB = 2JC

1 Biểu diễn uur uur AI AJ theo AB AC , uuur uuur , ;

2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Biểu diễn AGuuur theo uuurAI và AJuur

Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho IB=3IC.

1 Biểu diễn uurAI

theo hai véc tơ uuur uuurAB AC,

;

2 Gọi J, K lần lợt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho JA=2JC, KB=3KA Hãy biểu diễn

JK

uuur

theo uuur uuurAB AC,

;

3 Biểu diễn BCuuur

theo uurAI

, uuurJK

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O Hãy biểu diễn các véc tơ uurAI

(I là trung điểm BO), uuurBG

(G là trọng tâm của tam giác OCD) theo hai véc tơ uuur uuurAB AD,

Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF Hãy biểu diễn các véc tơ uuur uuur uuur uuurAC AD AF EF, , ,

theo hai véc tơ

,

AB AE

uuur uuur

Dạng 3: Tìm điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài

A Ph ơng pháp

- Biến đổi đẳng thức véc tơ đã cho về dạng OM vuuuur r= hoặc dạng OMuuuur = vr trong đó O là điểm cố

định; vr là véc tơ cố định

B Một số ví dụ

VD1: Cho tam giác ABC, tìm các điểm I, J, K lần lợt thoả mãn các đẳng thức véctơ sau:

1 IAuur+2uur rIB=0;

2 uurJA+2JB CBuur uuur= ;

3 KA KB 2KC 0uuur uuur+ + uuur r=

VD2: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau :

1 ΜΑ + ΜΒ + = ΜΒ +3

2

uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur

MC MC ;

2 ΜΑ + 3ΜΒ −uuuur uuuur 2uuuurMC = ΜΑ −2uuuur uuur uuuurMB MC−

C Bài tập

Bài 1: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M thoả mãn: 2 MAuuur−3MBuuur r=0

Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho

NC=2NA

1 Xác định K sao cho 3AB 2AC 12AK 0uuur+ uuur− uuur r= ;

2 Xác định D sao cho 3AB 4AC 12KD 0uuur+ uuur− uuur r=

Bài 3 : Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau :

1 uuur uuurMA MB= ; 2 uuur uuur uuuur urMA MB MC O+ + = ;

3 ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ + Μuuuur uuuur uuuur uuuurC ; 4 ΜΑ + Β = ΜΑ − ΜΒ3

2

uuuur uuur uuuur uuuur

5 ΜΑ + Β = ΜΑ − ΜΒuuuur uuurC uuuur uuuur .

Bài 4: Cho ∆ABC, xác định điểm M thoả mãn:

1 MA MB MC 0uuuur uuur uuur r− + = ; 2 MA 2MB 0uuuur+ uuur r= ;

3 MA 2MB CBuuuur+ uuur uuur= ; 4 MA MB 2MC 0uuuur uuur+ + uuur r= ;

5 MA MBuuuur uuur+ = MA MCuuuur uuur+

Bài 5: Cho ∆ABC và một điểm M bất kì

1 Chứng minh rằng v 3MA 5MB 2MCr= uuuur− uuur+ uuur không đổi;

uur uur uur r

3 Xác định điểm M thoả mãn:

a 3MA 2MB MCuuuur− uuur uuur+ = MB MAuuur uuuur− ;

b 2 MA MB MCuuuur uuur uuur+ + =3 MB MCuuur uuur+ ;

c 2MA MB MC k MB MCuuuur uuur uuur− + = (uuur uuur− )

Bài 6: Cho ∆ABC, xác định điểm M thoả mãn:

1 MA MB MC 3 MB MC

2

uuuur uuur uuur uuur uuur

;

2 MA 3MB 2MCuuuur+ uuur− uuur = 2MA MB MCuuuur uuur uuur− −

Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

A Ph ơng pháp

- Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh uuurAB k AC k R= uuur ( ∈ )

*C1: Sử dụng các quy tắc biến đổi véc tơ đã biết

*C2: Xác định các véc tơ uuur uuurAB AC,

thông qua một tổ hợp véc tơ trung gian

Chú ý: , ,A B C⇔MCuuuur=αMAuuur+ −(1 α)MBuuur, ∀M

B Một số ví dụ

VD1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy các điểm I, J sao cho 2IA 3IC 0,2JA 5JB 3JC 0uur+ uur r uur= + uur+ uur r=

1 Chứng minh rằng: M N J với M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC;, ,

2 Chứng minh rằng J là trung điểm của BI;

3 Gọi E thuộc AB sao cho AE k ABuuur= uuur Xác định k để , ,C E J

C Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm I, J sao cho IAuur=2 ,3uur uurIB JA+2JCuuur r=0 Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 2: Cho tam giác ABC, lấy M, N, P thoả mãn MA MBuuur uuur r uuur+ =0,3AN−2uuur r uuurAC=0,PB=2PCuuur Chứng minh rằng M N P , ,

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O Lấy I, J sao cho 3 IAuur+2ICuur−2IDuur r=0 JAuur−2uurJB+2JCuuur r=0 Chứng minh rằng , ,I J O

Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam

giác ABC Chứng minh rằng , ,O G H

Dạng 5: Bất đẳng thức véc tơ và ứng dụng

A Ph ơng pháp

*Cho hai véctơ a b r r ,

(Trong mặt phẳng hoặc không gian) Khi đó ta có

| a b r r + ≤ | | | | | (1) a r + ur b

- Dấu “=” xảy ra ⇔ a r Z Z b r ⇔ ∃ ∈ k Ă *+: a kb r = r hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r

i i

| a b r r − ≤ | | | | | (2) a r + ur b

- Dấu “=” xảy ra ⇔ a r Z [ b r ⇔ ∃ ∈ k Ă *−: a kb r = r hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r

| | | | u v u v u | | | | (3) v

− r r r r r ≤ ≤ r

- Dấu “=”thứ nhất xảy ra ⇔ a r Z [ b r ⇔ ∃ ∈ k Ă *−: a kb r = r hoặc một trong hai véctơ bằng0 r - Dấu “=” thứ hai xảy ra ⇔ a r Z Z b r ⇔ ∃ ∈ k Ă *+: a kb r = r hoặc một trong hai véctơ bằng

0 r

B Một số ví dụ

VD1: Giải phơng trình x2−2x+ +2 4x2 +12x+25= 9x2+12x+29

VD2: Chứng minh rằng ∀ x y z , , ∈ Ă ta có x2 +xy y+ 2 + x2 + +xz z2 ≥ y2 + yz z+ 2

VD3: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc

Chứng minh rằng a2 2b2 b2 2c2 c2 2a2 3

C Bài tập

Giải các ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng trình Bài 1: Giải phơng trình x2 − 2 x + + 5 x2 + 2 x + 10 = 29

Bài 2: Giải phơng trình x x + + 1 3 − − x 2 x2 + = 1 0

Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm x − + 2 4 − = x m

Bài 4: Giải hệ phơng trình 2 2 2

3 3 3

x y z

+ + =



 + + =



 + + =



Bài 5: Giải bất phơng trình x− + − ≥1 x 3 2(x−3)2+2x−2

Chứng minh bất đẳng thức Bài 6: Chứng minh rằng ∀x y, ∈Ă ta có 2 2 2 2 2 2

4cos cosx y+sin (x y− +) 4sin sinx y+sin (x y− ≥) 2

Bài 7: Chứng minh rằng ∀x y z, , ∈Ă ta có *+ x2+ + +xy y2 x2+ + +xz z2 y2+ +yz z2 ≥ 3(x y z+ + )

Bài 8: Chứng minh rằng ∀ x y z , , > 0, x y z + + ≤ 1 ta có 2 2 2

82

+ + + + + ≥

Bài 9: Chứng minh rằng ∀ a b c , , ∈ Ă , abc = 1 ta có 2 2 2 2 2 2 3

2

a b a c b c b a c a c b+ + ≥