chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM

1. Quy tắc cộng: Một công việc A được chia ra k công việc để thực hiện, mỗi công việc độc lập nhau. Trong đó: + Công việc có cách thực hiện + Công việc có cách thực hiện ………………………………….. + Công việc có cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là : cách. 2. Quy tắc nhân: Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn , với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất kỳ cách thực hiện mà ở các giai đoạn còn lại. Trong đó: + Giai đoạn có cách thực hiện + Giai đoạn có cách thực hiện + Giai đoạn có cách thực hiện ………………………………….. + Giai đoạn có cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là : cách.

- Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM

-Môn/Nhóm Môn: Toán

- Tác giả chuyên đề: ………

- Chức vụ : Giáo viên Toán

- Đơn vị công tác: Trường THPT ……….

- Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12

- Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết

I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:

1 Quy tắc cộng:

Một công việc A được chia ra k công việc A A1 , 2 , ,A k để thực hiện, mỗi côngviệc độc lập nhau Trong đó:

+ Công việc A1 có n1 cách thực hiện

+ Công việc A2 có n2 cách thực hiện

………

+ Công việc A k có n k cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : n1 n2  n k cách

2 Quy tắc nhân:

Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn A A1 , 2 , ,A k , với mỗicách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất kỳ cách thực hiện mà ở các giaiđoạn còn lại Trong đó:

+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện

+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện

+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện

………

+ Giai đoạn A k có n k cách thực hiện

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : n n n n1 2 3 k cách

- Cho tập hợp A gồm n phần tử Một bộ gồm k phần tử 1 k n  sắp xếp có thức tựcủa tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

- Hai tổ hợp khác nhau là hai tập con có ít nhất 1 phần tử khác nhau

II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG :

1 Bài toán 1: có sử dụng hoán vị của n phần tử Chúng ta thường dựa trên dấu hiệuđặc trưng sau:

- Tất cả n phần tử đều có mặt

- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần.

!

k n

n C

k n k





III CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM PHƯƠNG ÁN

1 Bài toán đếm có sự sắp xếp

Ví dụ 1:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G vào một chiếc ghế dài sao cho

a- Bạn D ngồi vào chính giữa 7 bạn ?

b- Hai bạn A và G ngồi ở 2 đầu ghế ?

*Phân tích:

a/Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho D chúng ta thấy rằng 6 bạn còn lại như 6 phần tử đều

có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự Do đó ta sửdụng bài toán 1

b/Tương tự ta thấy: Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho A và G chúng ta thấy rằng 5 bạncòn lại như 5 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần Mỗi cách sắp xếp có sự phânbiệt thứ tự Do đó ta sử dụng bài toán 1

*Lời giải:

a/Sắp xếp D ngồi vào chính giữa: có 1 cách

Mỗi cách sắp xếp A, B, C, E, F vào 6 chỗ còn lại là một hoán vị của 6 phần tử nên có

Mỗi cách dán 3 tem lên 3 bì thư vừa được chọn ra là một hoán vị của 3 nên có 3! cáchdán.

em học sinh trên những quyển sách văn học và âm nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

Đội thanh niên xung kích của trường X có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A,

4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho:

a/ 4 học sinh này thuộc cả 3 lớp trên

b/ 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

*Phân tích:

Số học sinh được chọn từ 12 học sinh không sắp xếp thứ tự gì nên ta có thể sử dụngbài toán 2

*Lời giải:

a/Vì 4 học sinh được chọn cần ở cả 3 lớp nên ta có các trường hợp chia như sau:

Học sinh lớp A Học sinh lớp B Học sinh lớp C Số cách chọn tương

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có 1 học sinh là 270 cách chọn

Nên số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp phải là :

495-270=225 cách chọn

Ví dụ 5: (ĐH khối B-2004)

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hổi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ

3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

*Lời giải :

Ta có trường hợp như sau:

số câu hỏi dễ số câu hỏi TB số câu hỏi khó Số cách lập đề dạng này

Áp dụng quy tắc cộng có tất cả 10500+23625+22750=56875 đề được lập.

Ví dụ 6: (ĐH khối B-2005)

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?

Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai ta

có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba là 1 4

a/ Mọi người đều vui vẻ tham gia.

b/ Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau.

c/ Cậu An và cô Hà không thể làm việc chung với nhau.

b/ Cách 1:

-Nếu cả Tâm và Bình cùng có mặt trong ban cán sự thì ta chỉ việc chọn 3 người trong

28 người vào ban cán sự => có 3

28

C cách chọn

-Nếu cả Tâm và Bình cùng không có mặt trong ban cán sự thì ta chọn 5 người trong

28 người vào ban cán sự => có 5

28

C cách chọn

Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là:

3 28

-Chọn 5 người trong đó có Tâm mà không có Bình =>có C cách chọn 284

-Chọn 5 người trong đó có Bình mà không có Tâm =>có 4

28

C cách chọn

Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là:

5 30

-Chọn 5 người trong đó không có An mà không có Hà =>có C cách chọn 285

-Chọn 5 người trong đó có An mà không có Hà =>có 4

C 3 10

C 3 10

C + 3

10

C 2 10

C + 4

10

C 1 10

C -( 1

10

C 4 10

Từ x 666 suy ra a 6, ta có các trường hợp sau:

*TH1: Với a 7;8;9 khi đó b,c chọn tuỳ ý Ta có :

Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm.

Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 5

Do đó với mỗi tập Q như trên ta được 3.3! số x cần tìm

Vậy số x được lập trong trường hợp này là : 4

9

C 3.3! (số).

Vạy có tất cả là:

5 9

C 4!+ 4

9

C 3.3! =5292 (số)

2 Tính số các số tự nhiên liên quan đến tính chia hết:

*Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:

+dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8

+dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chia hết cho 3

+dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4 +dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5

+dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3

+dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9

+dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0

+dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn bằng 0

+dấu hiệu chia hết cho 25 là có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 Ví dụ 11:

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ

Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán

b/ Vì x chia hết cho 5 nên e0;5 .

b/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3.

c/ có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9.

*Lời giải :

a/ theo dấu hiệu chia hết thì số cần tìm chia hết 5 nên nó có hàng đơn vị là 0 hoặc 5.+ nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì cách sắp xếp các chữ số từ 1 đến 5 vào 3 vị trí cònlại có : 3

Vì x3 nên a b c   3 Xét các trường hợp sau:

*a b c , ,   0,1, 2 , 0, 4,5 , 0,2, 4 , 0,1,5        Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể tạothành (3!-2!) số

Vậy có 4 (3!-2!)=16 số trong TH này

*a b c , ,   1, 2,3 , 2,3, 4 , 3,4,5 , 1,3,5        Trong TH này có 4 bộ số , mỗi bộ có thể tạothành 3! số

Vậy có 4 3!=24 số trong TH này

Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có thoả mãn

a/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 11.

b/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 25.

c/ có 4 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 4.

Số tự nhiên chia hết cho 9 là số có tổng tất cả các chữ số chia hết cho 9

-Các số có 6 chữ số chia hết cho 9 viết theo thứ tự tăng dần là dãy số :

10008,100017,100026,….,999999

Đây là một cấp số cộng có công sai d=9

-Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 se là dãy con của dãy số trên Nó là cấp số cộng

Có 7! số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho

Bây giờ ta đi tìm số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau

Ta coi hai chữ số nằm liền nhau như một khối thống nhất Khối thống nhất này cùngvới 5 chữ số còn lại sẽ cho ta 6! số

Mỗi lần hoán vị 2 chữ số chẵn trong khối ta sẽ có 2! số mới

Nên có 6!.2! số có hai chữ số chẵn nằm liền nhau

A A =2400 (số)63

b/Nhận thấy rằng : “ Số cách chọn hai chữ số 1 và 7 đứng cạnh nhau mà chữ số 1

luôn đứng bên trái chữ số 7 trong dãy có 5 vị trí là 4 cách chọn”.

Coi cặp số 17 là phần tử kép Sẽ có 4 cách sắp xếp vị trí cho phần tử kép này

Với mỗi cách sắp xếp này có 3

6

A cách chọn các chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại.

Khi đó ta có tất cả là: 4 A = 480 số cần tìm63

Ví dụ 18:

Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ

số khác nhau đôi một, sao cho trong 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

2

3

C cách chọn 2 chữ số chẵn

4.Tính số các số tự nhiên có chứa các chữ số lặp lại:

a có 7 cách chọn 3

a có 6 cách chọn 4

a có 5 cách chọn

a có 4 cách chọn 6

a có 3 cách chọn 7

a có 2 cách chọn 8

a có 1 cách chọn

 có 1.2.3.4.5.6.7.7=35280 sốNhưng trong đó có chứa 3! số giống nhau khi ta giao hoán 3 chữ số chữ số 5

Vậy số các số cần tìm là 35280 5880

3!  số

Cách 2:

Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số

Trong đó có 7! Số có chữ số 0 đứng đầu và 3! Số giống nhau khi hoán vị chữ số 5 Vây nên ta có tất cả 8! 7! 5880

3!



 số cần tìm

 Từ đó có bài toán tổng quát:

Bài 1: “ Cho n chữ số khác nhau và khác 0, 1  n 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”

!

n k k

 

số cần tìm

Bài 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1  n 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần”

Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ các chữ số trên Hãy tính tổng tất cả các số vừa tìm được

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?

*Lời giải :

Gọi số cần tìm là abcdef

Theo giả thiết c+d+e=8

Suy ra c d e, , 1;2;5 hoặc c d e, , 1;3;4 .

+ Với c d e, , 1;3;4 : Tương tự ta cũng có 720 số.

Vậy có tất cả là 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu bài toán

DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC

Ví dụ 23: Cho n N n ,  4

a/ Cho một đa giác lồi n cạnh Hỏi có bao nhiêu đường chéo?

b/ Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35?

*Phân tích :

Mỗi đoạn thẳng tương ứng với 2 điểm thuộc n điểm , trong đó có cả cạnh và

đường chéo của đa giác.Và ngược lại 2 điểm thuộc n điểm tạo được 1 đoạn thẳng có thể là cạnh hoặc đường chéo của đa giác

*Lời giải :

a/ Đa giác có n cạnh => có n đỉnh

Mỗi đường chéo được tạo thành từ 2 đỉnh trong n đỉnh đó và ngược lại, trừ đi n cạnhcủa đa giác.

*Phân tích 1 : Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm ,

nếu 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì không hình thành được tam giác

Lời giải 1:

Chọn 3 điểm bất kỳ trong 25 điểm kể trên ta có: 3

25

C cách chọn Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng a có : 3

10

C cách chọn Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng b có : 3

15

C cách chọn Vậy có tất cả là : 3

25

C - 3 10

C - 3 15

C =1725 tam giác

*Phân tích 2 : Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm,

bằng cách chọn 3 điểm không cùng thuộc một đường thằng nào ta có các trường hợpnhư sau:

Lời giải 2:

Tam giác tạo bởi một điểm nằm trên a và hai điểm nằm trên b ta có : 1 2

10 15

C C tam giácTam giác tạo bởi hai điểm nằm trên a và một điểm nằm trên b ta có: 2 1

10 15

C C tam giácVậy có tất cả số tam giác là: 1 2

Trong mặt phẳng cho 20 đường thẳng phân biệt a a1, , ,2 a song song với20

nhau từng đôi một và 30 đường thẳng phân biệt b b1, , ,2 b cùng vuông góc với các30

đường thẳng a i i 1,20 Tính số hình chữ nhật được tạo nên từ 50 đường thẳng đó?

*Lời giải :

Ta thấy cứ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng a , i a j 1i j, 20,ij và 2 đườngthẳng ,b b m n 1m n, 30,m n  cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật Ngược lại,mỗi hình chữ nhật đều được tạo thành từ 4 đường thẳng gồm 2 đường thẳng a , i a và j

2 đường thẳng , b b m n

Do đó số hình chữ nhật cần tìm bằng số bộ bốn đường thẳng gồm 2 đườngthẳng a , i a và 2 đường thẳng , j b b m n

Ta thấy ứng với hai đừơng chéo đi qua tâm O của đa giác A A A cho tương ứng1 2 2n

một hình chữ nhật có đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm A A1, , ,2 A và ngược lại mỗi2n

hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác

Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n

Do đó số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A A1, , ,2 A là 2n 2

n

C

Theo giả thiết

Cho lục giác lồi ABCDEF

a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của lục giác đã cho?

b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có canh không phải là cạnh của lục giác?

Lời giải :

a/ Nhận thấy rằng cứ 3 đỉnh của hình lục giác thì tạo thành một tam giác và ngược lạimột tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của hình lục giác, do đó có :

3 6

6!

203!3!

C   tam giác

b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại:

 số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là 1

Có thể trả lời câu hỏi như trên với bát giác ABCDEFGH

a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác ABCDEFGH?

b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác ABCDEFGH?

C C C C C  tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của bát giác.

Và có tất cả : 50 – 40 = 10 tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác

Từ đó giải quyết bài toán Tổng quát như sau:

“ Cho đa giác lồi n cạnh A A A1 2 n n N n ,  3

a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A A A1 2 n ?

b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác A A A1 2 n ? ”

n

b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác A A A gồm 2 loại: 1 2 n

 số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là 1

n

C

 số tam giác có 2 cạnh của đa giác là C C n1 1n4

Vậy số tam giác có 1 hoăc 2 cạnh là cạnh của đa giác là:

a/ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?

b/ Hỏi có bao nhiêu tứ diện ?

V.CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI:

1 Lớp 11A có 40 học sinh , trong đó có 22 học sinh nam và 18 học sinh nữ Giaoviên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, một bí thư,một lớp phó văn nghệ, một lớp phó lao động Hỏi có bao nhiêu cách chọn Ban cám

sự lớp nếu:

a Ban cán sự lớp được chọn bất kỳ?

b Ban cán sự toàn con trai?

c Lớp trưởng phải là học sinh nam và lớp phó văn nghệ phải là học sinh nữ?

2 Một thầy giáo có 10 quyển sách khác nhau, trong đó có 4 quyển sách Toán,3 quyểnsách Lý, 3 quyển sách Hoá Thầy muốn lấy ra 5 quyển và tặng cho 5 học sinhA,B,C,D,E mỗi em một quyển Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng nếu:

a Chỉ tặng cho học sinh các quyển sách Toán hoặc Hoá?

b Có ít nhất 1 quyển sách Toán được tặng?

c Sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất 1 quyển?

3 Một đội Văn nghệ có 18 người gồm 10 nam và 8 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập 1nhóm đồng ca gồm 6 người, biết rằng:

5 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6chữ số khác nhau sao cho

a Hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau?

b Hai chữ số 2 và 3 không đứng cạnh nhau?

6 Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ?