Chuyên đề 2 mũ và lôgarít

Bài toán lãi suất và một số bài toán thực tế khác .... Phương trình mũ và lôgarít cơ bản đưa về cùng cơ số .... Bài toán chứa tham số .... Bất phương trình mũ và lôgarít cơ bản đưa về cù

N¨m häc 2018 – 2019 M«n To¸n Tài liệu luyện thi Thpt Quốc Gia

Muïc luïc

Trang

§ 1 Công thức mũ & lôgarít 1

 Dạng toán 1 Công thức lũy thừa và mũ 1

 Dạng toán 2 Công thức lôgarit 9

 Rèn luyện lần 1 19

 Rèn luyện lần 2 29

 Rèn luyện lần 3 33

§ 2 Hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit 37

 Dạng toán 1 Tìm tập xác định 38

 Dạng toán 2 Đạo hàm 45

 Dạng toán 3 Đơn điệu và cực trị 51

 Dạng toán 4 Giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất 56

 Dạng toán 5 Nhận dạng đồ thị 67

 Dạng toán 6 Bài toán lãi suất và một số bài toán thực tế khác 73

 Đề rèn luyện lần 1 83

 Đề rèn luyện lần 2 88

 Đề rèn luyện lần 3 92

 Đề rèn luyện lần 4 97

 Đề rèn luyện lần 5 102

§ 3 Phương trình mũ và lôgarít 107

 Dạng toán 1 Phương trình mũ và lôgarít cơ bản (đưa về cùng cơ số) 107

 Dạng toán 2 Phương pháp đặt ẩn phụ 118

 Dạng toán 3 Phương pháp hàm số 131

 Dạng toán 4 Bài toán chứa tham số 131

 Đề rèn luyện lần 1 153

 Đề rèn luyện lần 2 156

 Đề rèn luyện lần 3 159

 Đề rèn luyện lần 4 163

§ 4 Bất phương trình mũ và lôgarít 167

 Dạng toán 1 Bất phương trình mũ và lôgarít cơ bản (đưa về cùng cơ số) 167

 Dạng toán 2 Phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số 174

 Dạng toán 3 Bài toán chứa tham số 181

 Đề rèn luyện lần 1 187

 Đề rèn luyện lần 2 191

 Đề rèn luyện lần 3 195

hương II HÀM SỐ LŨY THỪA

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

§ 1 CƠNG THỨC MŨ & LƠGARIT

Dạng toán 1: Công thức mũ và các biến đổi



x

b b

 

 

    

 ax y  a ax. y  ,

x y x y a a (y2; y  )  x 1 x y n y n a a a a a       u x( )  0 1, ( )u x 0

 a x y. ( )a x y ( )a y x  n a b.n  n ab (n 2; n   )  a b x x ( )a b x  n m (n )m m n a  a a

BÀI TẬP VẬN DỤNG 1 (MH lần 2 – 2017) Cho biểu thức P  4x x.3 2 x3 , với x 0. Mệnh đề nào đúng ? A 1 2 P x B 13 24 P x C 1 4 P x D 2 3 P x Lời giải Áp dụng n m a n a m và a a m n a m n từ trong ra ngồi, ta cĩ: 3 7 7 13 13 4 3 4 3 4 4 4 3 2 3 2 2 2 6 6 24

P  x x x  x x x  x x  x x  x x Do đĩ: 13 24 P x Chọn đáp án B 2 Cho biểu thức  5 3  , 0

P x x x x x Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A  2 3 P x B 

3 10 P x C  13 10 P x D  1 2 P x

C

n số a

3 Viết biểu thức P  x5.3x2.5x3 ( x  0) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

4 Cho biểu thức P  6x x.4 5 x3 với x 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

5 Cho biểu thức

11 16

6 Cho biểu thức

9 16:

13 Với a b  , 0 bất kỳ Cho biểu thức

18 Cho



 

1

T

a

1

T

a



T

b



C T 2 a

D T  a  1

19 Cho 9x 9x 23. Tính giá trị của biểu thức 5 3 3 1 3 3 x x x x K         A 5 2 K    B 1

2 K   C 5 2 K   D 3

2 K   Lời giải Ta có: 1 2 12 9 9 23 9 23 (3 ) 23 9 (3 ) x x x x x x          2 2 2 2 1 1 1 1 (3 ) 2.3 2 23 3 5 3 5 (3 ) 3 3 3 x x x x x x x x                          Do đó 1 5 3 5 3 3 3 5 5 10 5 1 5 4 2 1 3 3 1 1 3 3 x x x x x x x x K                           Chọn A 20 Cho 4x 4x 14. Tính giá trị của biểu thức 10 2 2 3 2 2 x x x x P         A P 2 B 1

2 K   C 6 7 P   D P 7

21 Cho 25x 25x 7. Tính giá trị của biểu thức 4 5 5 9 5 5 x x x x P         A P 12 B P  12 1 C 1 9 P   D P 2

22 Giá trị của biểu thức P (74 3)2017(74 3)2016 bằng

A 1

B 74 3

C 74 3

D (74 3)2016

Lời giải Tách đồng bậc, áp dụng công thức a b n n ( )ab n và sử dụng

2016

2016

2016

23 Giá trị của biểu thức P (94 5)2017(94 5)2016 bằng

A 1

B 94 5

C 94 5

D (94 5)2017

24 Giá trị của biểu thức P (52 6)2017(52 6)2016 bằng A 1 B 52 6 C 52 6 D 3

25 Giá trị của biểu thức P (1 3)2016(3 3)2016 bằng A 12 1008 B 4 1008 C (1 3)1008 D (3 3)1008

26 Giá trị của biểu thức P ( 6 2)2016( 63 2)2016 bằng A 48 1008 B  481008 C 18 1008 D  18 1008

27 Với 0  thì giá trị của biểu thức a b

1 2

x x

A 99

B 301

C 101

D 149

3 

32 Cho hàm số 9 ( ) 9 3 x x f x    Tính tổng 1 2 8 9 10 10 10 10 P f   f   f   f                            A 10 3  B 11 2  C 9 2  D 5

33 Cho hàm số 4 ( ) 4 2 x x f x    Tính 1 2 2015 2016 2017 2017 2017 2017 T f  f  f  f                                 A T 2016 B T  2017 C 2016

2017 T   D T 1008

34  Xét hàm số 9 2 ( ) 9 t t f t m   với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho f x ( )  f y ( )  1 với mọi x y, thỏa e x y e x( y). Tìm số phần tử của S A Vô số B 0 C 1

D 2

Dạng toán 2: Công thức lôgarit và các biến đổi



b

c  

 log 1log n a a b b n   .log khi log log khi a n a a n b b n b        log log log c a c b b a   1 ln log log log ln a a b b b b a a   

 log 1a 0, loga a  1  logb c logb a loga b a c  b a

 log (a b c )loga bloga c 

10 ln log lg log log e b b b b b        NHĨM BÀI TẬP LÀM QUEN NHAU 1 Nhĩm định nghĩa x 0 log a a    b x b  (mũ thành log) log b a x   b x a  (log thành mũ) loge x lnx  (lơga nêpe ), x e 2, 718  log10x logx lg x  x 0 log a a    b x b (mũ thành log) 1) 2x 1 5 1 log 52 x      2 1 log 5 x    2) 3x 1  4

3) 4x 2 1 32

4) 5x1  1

5) e   x 2

6) e  2x 3

7) 102 3 x  

 log b a x   b x a (log thành mũ) 1) log (2 x 1)   3 x 1 23 1 8 9 x x      2) log (3 x 2) 4

3) log (4 x 1)  2

4) log (e x 1) 1

5) ln(x 1) 2

6) log(x 3) 2

7) lg(x 1) 1

lẻ chẵn

2 Nhóm công thức biến đổi

13) Tính log (9 )3 a 2

14) Tính 3

2 3 3

log (27a b )

15) Tính log (9a a )

16) Tính log (125a a b 2 3)

19) Cho loga b 2 và loga c  3. Tính giá trị của biểu thức P log ( ).a a b c2 3 4

Giải Áp dụng “tích  tổng, thương  hiệu, trên  trên”, ta được:

24) Cho log3a 2 và log2 1

25) Cho log5a 6 và log6 1

26) Khai triển biểu thức:

9

y 

28) Khai triển biểu thức logx2 y2

z 

29) Khai triển biểu thức

2 3

27

b 

30) Khai triển biểu thức

9log

b a

c 

33) Khai triển biểu thức

3 2

8

b 

34) Khai triển biểu thức

216

37) Khai triển log (2 )22 a 

38) Khai triển log (9 )23 x 

log25

a b

b 

45) Chứng minh log (23 a b2 )4 log23a1log3a2log3b2 log 23b

3 Nhóm đổi cơ số

1 log

c

b b

Giải Vì chỉ có công thức “tích  tổng, thương  hiệu” dạng

3) Cho loga x 2 và logb x 5. Tính giá trị của biểu thức logab 2 loga

b

4) Cho loga x 3 và logb x 2. Tính giá trị của biểu thức 2 logab 4 loga

b

b b

log

a

b b

8) Cho log 5m  và log 3x m y. Tính giá trị của biểu thức P (x y) log10m

Giải Thế x log 5a và y log 3a vào P (x y)log10m (log 5m log 3).logm 10m

10) Áp dụng công thức alogb c clogb a, hãy tính 8log 3 2 9log 4 3 

b a

1 logb a

a 

13) Chứng minh: 3 2 loga b 3 2

a  

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 (THPT QG 2017 – Mã 101 câu 06) Cho 0 a 1 Tính log

a

2

2 (THPT QG 2017 – Mã 103 câu 10) Cho 0 a 2 Tính 2 2 log 4 a a I        A 1 2 I   B 1

2 I    C I  2 D I 2

3 (THPT QG 2018 – Mã 101) Với a là số thực dương tùy ý, ln(5 ) ln(3 ) a  a bằng A ln(5 ) ln(3 ) a a  B ln(2 ) a C 5 ln 3 D ln 5 ln 3

4 (THPT QG 2018 – Mã 102) Với a là số thực dương tùy ý, log (3 )3 a bằng A 3 log 3a B 3log 3a C 1log 3a D 1log 3a

5 (THPT QG 2017) Cho log3a  và 2 log2 1 2 b   Tính 2 3 3 1 4 2 log log (3 ) log I   a  b   A 5 4 I   B I 4 C I  0 D 3 2 I  

6 Cho log2a   và 1 log3 1 2 b   Tính 4 2 2 1 9 4 log log (8 ) log I   a  b   A I  0,5. B I 3 C I  0 D I  1

7 (THPT QG 2017 Câu 29 – Mã 103) Cho loga b  và log2 a c  3 Tính P log (a b c2 3).

A P 31

B P 13

C P 30

D P 108

8 Cho loga b 3, loga c   Giá trị của biểu thức 2 log (a a b c3 2 ) bằng A 8 B 5 C 4 D 8

9 Cho a b  , 0. Giá trị của biểu thức 2 2 4 loga log a b  b bằng A 2 log a b B 0 C log a b D 4 log a b

10 Cho 0   a 1, b  0 thỏa mãn log 4 a b b  và log a2 16 b   Tổng a b bằng A 16 B 12 C 10 D 18

11 Cho 0   a 1, b  0 thỏa mãn log 9 a b b  và 3 27 log a b   Tổng 2a2b bằng A 30 B 60 C 90 D 120

12 Cho 0  x y ;  1 thỏa mãn log3 3 8 x y y  và 2 32 log x y   Giá trị của P x2 y2 là A 120 B 132 C 240 D 340

\

13 Cho a b  , 0 thỏa log2a x, log2b y Giá trị của biểu thức P log (2 a b2 3) bằng

A 2 x  3 y B x y 2 3

C x2 y3. D 6 xy

14 Cho a x, là các số thực dương, biết 3 1 3 3 log x 2 log alog a. Tính x theo a A x  a4. B x  a3. C x  3 a D x  a 3

15 (THPT QG 2017 Câu 15 – Mã 101) Với 0  a b ;  1, giá trị của 2 3 6 loga log a b  b bằng A 9 log a b B 27 log a b C 15 loga b D 6 log a b

16 Cho loga x 2, logb x  với 3 a b , là các số thực lớn hơn 1. Tính 2 loga b P x A P  6 B 1 6 P   C 1 6 P    D P 6

17 (THPT QG 2017 – Câu 42) Cho loga x  3, logb x  với 4 a b  , 1. Tính P logab x A 7 12 P   B 1 12 P   C P 12 D 12 7 P  

18 Cho loga x   và log1 a y 4. Tính 2 3 log (a ) P  x y A P 3 B P 10 C P  14 D P 65

19 Biết rằng a b c  , , 1 thỏa mãn log ( )ab bc 2 Tính logc 4 log ( ).c

A P 1

B P 2

C P 3

D P 4

20 Cho 0  và a 1 x y   , thõa log 3a x, log 2a y. Khi đó (x y)log6a bằng A (x y) 2 B 2( x  y ). C x y D 1

21 Cho hai số thực dương a b , thỏa mãn a b a, 1, loga b 2 Tính log a 3 b T  ba A 2 5 T    B 2 5 T   C 2 3 T   D 2 3 T   

22 Cho a b  , 0 thỏa mãn a2 b2 7 ab Khẳng định nào đúng ? A 2 log (2 a b)log2a log 2b B    2 2 2 2 log log log 3 a b a b C log2 2(log2 log ).2 3 a b a b    D 

6

Lời giải Quan sát đáp án thấy có B, C đều có log2

3

a b nên

ưu tiên biến đổi lý thuyết về dạng

2

3

2 hai vế Nếu đúng sẽ chọn đáp án, còn nếu sai sẽ loại được

hai đáp án này, sẽ rút ngắn thời gian làm trắc nghiệm Tức có:

2

3

ab

2

3

a b

3



23 Cho a b  , 0 thỏa mãn a2 b2 14 ab Khẳng định nào đúng ?

24 (THPT QG 2017 – Câu 43) Cho a b  , 0 thỏa a2 b2 8 ab Khẳng định nào đúng ?

2

B log( a b    ) 1 log a  log b

C log( ) 1 log log

25 Cho a b  , 0 thỏa mãn a  b 2 ab. Khẳng định nào đúng ?

26 Cho a b  , 0 thỏa mãn a2 9b2 10 ab Khẳng định nào đúng ?

C 3log( a  3 ) b  log a  log b

D 2 log( a  3 ) b  2log a  log b

28 (THPTQG 2017 Câu 37) Cho x y  , 1 thỏa x2 9y2 6 xy Tìm 12 12

31 Cho a b  , 0 thỏa mãn log4a log6b log (9 a b). Giá trị của a

32 Cho a b  , 0 thỏa mãn log9a log12b log (16 a b). Mệnh đề nào đúng ?

33 Cho a b  , 0 thỏa mãn log16 log20 log25 2

35 Với x y z   , , thỏa mãn xlog20162ylog20163zlog20167 1. Giá trị x  y z bằng

36 Tính P  log(tan1 ) log(tan2 ) log(tan 3 )        log(tan 89 ) 

37 Cho n  là số nguyên dương Tính 1

39 Cho 0 a 1 Tính log 2018a log 2018 log 20183 log2018 2018

40 Cho log 3  a Tính log9000 theo a

41 Đặt log 205 a, biểu diễn log 5 theo 2 a

42 Đặt a  log 15, 3 b log 10.3 Hãy biểu diễn

43 Đặt a log 11,7 b log 7.2 Hãy biểu diễn biểu thức 3

7

121log

44 Cho a log 3,2 b log 52 Tính theo a b , biểu thức P log 30.2

45 Cho a b c  , , 0 thỏa mãn log 5 2 log 6 4 log 3 7

46 Cho hàm số f x( )aln(x  x2 1)bsinx 6 với a b   , . Biết f (log(log )) e  2.

RÈN LUYỆN LẦN 1 Câu 1 Cho 0  và biểu thức a 1 3

( )

a P

Câu 10 Cho 1 a 0, x 0, y 0, khẳng định nào sau đây sai ?

Câu 11 Biết

2

2 16

a b

x x

Câu 26 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn loga b 2. Tính giá trị của log (a 3 ).

log

x x

Câu 29 Cho các số thực dương a b c, , với c 1. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A logc a logc alog c b

C 2 log (4 a b) 4 log4a log 4b D 2 log (2 ab) 4 log2a log 2b

Câu 32 Cho loga c  x 0 và logb c  y 0. Khi đó giá trị của logab c là

Câu 33 Cho log 52 a. Tính log 4032 theo a bằng

RÈN LUYỆN LẦN 2 Câu 1 Cho a là số thực dương tùy ý khác 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

2

1log

Câu 2 Cho các số dương , , a b c và a 1. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Câu 3 Cho a là một số dương, biểu thức

2 3

a

T b

a

23

Câu 19 Cho a b x , , 0 Tìm ,x biết log2x 5 log2a4 log 2b

Câu 22 Cho a b c , , 0 thỏa loga b m, loga c n. Tính Alog (abc ab c2 3) theo m và n

Câu 28 Cho a 0,b0 thỏa mãn a2 b2 7ab Chọn mệnh đề đúng ?

A 2 log(ab)3(loga log ).b B 2(loga log )b log(7 ).ab

Câu 39 Tính A(logb3a 2 logb2a log )(logb a a blogab b)logb a bằng

RÈN LUYỆN LẦN 3 Câu 1 Cho 0a b, 1 và x y, là hai số thực dương Tìm mệnh đề đúng ?

log

log

a a

a

x x

Câu 2 Cho các số thực dương a b, với a 1. Khẳng định nào sau đây sai ?

Câu 3 Cho hàm số a b c, , là ba số thực dương, khác 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Câu 10 Giả sử ta có hệ thức a2 b2 7ab với a b, là các số dương Hệ thức nào đúng ?

Câu 11 Cho a b x , , 0 thỏa mãn log2x 5 log2a 3 log 2b Mệnh đề nào đúng ?

2

x y

2

x y

2

x y

2

x y

Câu 21 Cho m 0 Biết 

3 5

2

m X

1

a m

Câu 31 Cho a b , 0 thỏa mãn  2 

3ac

x b

x

3

y T

1 Định nghĩa: Hàm số y x , với    được gọi là hàm số lũy thừa ,

2 Tập xác định: Tập xác định của hàm số lũy thừa y [ ( )] P x n

3 Đạo hàm: Hàm số y x , (   có đạo hàm với mọi ) x 0 và ( )x   .x  1

4 Đồ thị hàm số lũy thừa trên khoảng(0; )

II HÀM SỐ MŨ

1 Định nghĩa: Cho số thực dương a 1. Hàm số ya x được gọi là hàm số mũ cơ số a

2 Tập xác định: y a P x( ) xác định khi P x( ) xác định Đối với y a x thì có D  

e t







4 Đồ thị hàm số mũ y a x

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với

số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng hạn:

nằm về phía trên trục hoành

(ya x 0,   x )

III HÀM SỐ LƠGARIT

1 Định nghĩa: Cho 0 a 1. Hàm số y loga x được gọi là hàm số lơgarit cơ số a

2 Tập xác định: y log [ ( )]a P x  điều kiện: P x ( ) 0

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm lũy thừa, mũ, lôgarit



1 Hàm số mũ y a P x( ) thì điều kiện xác định là P x( ) cĩ nghĩa

2 Hàm số lũy thừa y [ ( )] P x n

về phía phải trục tung