2 mu va logarit

Phơng pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan 0 x x fxlimgx... Dạng toán 2: Phơng pháp đặt ẩn phụ giải phơng trình mũ và lôg

chơng 2  hàm số luỹ thừa,

hàm số mũ và hàm số lôgarit

A Kiến thức cần nhớ

I luỹ thừa

Định nghĩa 1: (Luỹ thừa với số mũ nguyên): Với a  0, n = 0 hoặc n là một số

nguyên âm, luỹ thừa bậc n của a là số an xác định bởi:

a0 = 1,

an = 1n

a với n nghuyên âm

Định nghĩa 2: ( Căn bậc n): Với n nguyên dơng căn bậc n của số thực a là số thực b

(nếu có) sao cho bn = a

Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây:

 Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n, kí hiệu na

 Khi n là số chẵn, mỗi số thực dơng a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.Căn có giá trị dơng kí hiệu là na (còn gọi là căn số học bậc n của a), căn cógiá trị âm kí hiệu là vàna

Định nghĩa 3: ( Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a là số thực dơng và r là một số hữu tỉ

n

ab

 

 

  = n n

a

b

Định lí 1: Cho m, n là những số nguyên Khi đó:

1 Với a > 1 thì am > an khi và chỉ khi m > n

2 Với 0 < a < 1 thì am > an khi và chỉ khi m < n

(1) Khi a > 1 thì logab > logac  b > c

Hệ quả: Khi a > 1 thì logab > 0  b > 1.

(2) Khi 0 < a < 1 thì logab > logac  b < c

Hệ quả: Khi 0 < a < 1 thì logab > 0  b < 1.

(3) logab = logac  b = c

Các quy tắc tính lôgarit

Định lí 2: Với a dơng khác 1 và các số dơng b, c, ta có:

(1) logab + logac = loga(bc),

Trờng hợp chỉ có bc > 0 thì loga(xy) = logab + logac.(2) logablogac = logab

c ,trờng hợp chỉ có bc > 0 thì logab

c = logablogac.(3) logab

= logab,Trờng hợp b   và  = 2k, k  Z thì logab = logab

Hệ quả: Với n nguyên dơng thì

Hệ quả: Ta có:

 Với a, b dơng khác 1 thì logab =

a log

1

b

b Với mọi x  , ta có (ex)' = ex và (ax) = ax.lna

c Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x  J, ta có

(eu)' = u'.eu và (au) = u'.au.lna

 Luôn cắt trục Oy tại A(0; 1)

 Nằm ở phía trên trục hoành

 Nhận trục hoành làm tiệm cân ngang

IV Hàm số lôgarit

Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a (0 < a  1) có dạng y = logax.

Đạo hàm của hàm số mũ: Ta ghi nhận các kết quả sau:

1 Hàm số liên tục trên D = (0, + ) và tập giá trị I = 

2 Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mọi x

 Với a > 1 thì logax1 > logax2  x1 > x2, tức là hàm số đồng biến

 Với 0 < a < 1 thì logax1 > logax2  x1 < x2, tức là hàm số nghịch biến

3 Đồ thị của hàm số có 2 dạng và:

 Luôn cắt trục Oy tại A(1; 0)

 Nằm ở bên phải trục tung

 Nhận trục tung làm tiệm cân đứng

 Nếu  nguyên âm hoặc  = 0 thì hàm số có tập xác định là *

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: Ta ghi nhận các kết quả sau:

a Hàm số y = x có có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và:

(x)' = .x  1

b Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x) > 0 trên J thì:

(u)' = .u'.u  1, với mọi x  J



Chú ý: 1 Với n là số nguyên tùy ý, ta có (xn)' = n.xn  1 với mọi x  0; và nếu u

= u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x)  0 trên J thì (un)' = n.u'.un 

3 Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x)

> 0 với mọi x thuộc J khi n chẵn, u(x)  0 với mọi x thuộc J khi n

2 Phơng trình lôgarit cơ bản có dạng logax = m, trong đó m là số đã cho.

Ta phải có điều kiện x > 0 và 0 < a  1

Với mọi m phơng trình luôn có nghiệm duy nhất x = am

Ta có các kết quả:

logaf(x) = logag(x)  f(x) = g(x) > 0

Với a > 1 thì logaf(x) > logag(x)  f(x) > g(x) > 0

Với 0 < a < 1 thì logaf(x) > logag(x)  0 < f(x) < g(x)

một số phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit

a Phơng pháp đa về cùng cơ số

b Phơng pháp đặt ẩn phụ

c Phơng pháp lôgarit hóa: Ta có thể giải một phơng trình có hai vế luôn dơng

bằng cách lấy lôgarit hai vế theo cùng một cơ số thích hợp

d Phơng pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số

B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan

0

x x

f(x)limg(x)



2 3x

x 0

3e (e 1)lim

2x



 

5x

x 0

3(e 1)lim

x 0

2 ln(2x 1)lim

2x



 = 2.1 = 2

2 2

x 0

2x ln(1 2x )lim

2x



 = 0.1 = 0

Thí dụ 5 Tìm các giới hạn sau:



4ln(4x 1)4x

2 x

x 0

ln(x 1) ln(x 1)lim

limx

Dạng toán 2: Tập xác định của hàm số mũ và lôgarit

Thí dụ 1 Tìm tập xác định của các hàm số:

x 0

ln(x 1)lim

x 0

x.ln(x 1)xlim2(e 1)2x

Vậy, với a = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 4: Tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit và

2

x2x.ln x 1



Dạng toán 5: ứ ng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

và lôgarit Các bài toán liên quan

Thí dụ 3 Cho hàm số (Cm): y = xemx

1 Với m = 2:

a Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số (C).

b Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình xe2x = a

c Tìm b để phơng trình sinx.e2sinx = b có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng [0; ].

d Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ

(2) Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực xlim y = , xlimy = 0

sinx = t0 phơng trình này có 2 nghiệm thuộc khoảng [0; ]

Vậy, điều kiện là đờng thẳng y = b cắt đồ thị (C) phần [0; 1] tại đúng một điểm:

 0  m < 12

e

d Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x = 1 là:

a Hàm số đồng biến trên  khi:

y' ≥ 0 với mọi x  mx + 1 ≥ 0 với mọi x   m = 0

b Hàm số có cực trị khi:

Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất  m  0

c Hàm số có cực tiểu khi (1) có nghiệm duy nhất và qua đó y' đổi dấu từ  sang +,tức m > 0

3, x = 2  5

b Vì 0,125 = 1

8 = 2

3 nên ta biến đổi phơng trình về dạng:

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Với phơng trình af(x) = bg(x) ta cần chọn phần tử trung gian c đểbiến đổi phơng trình về dạng:

(c)f(x) = (c)g(x)  cf(x) = cg(x)  f(x) = g(x),

 Với phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 ta sử dụng kết quả

“Nếu a, b, c, d nguyên và phơng trình có nghiệm hữu tỷ p

2x3(x 1)(x 4) 0

Vậy, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = 4

Nhận xét: Trong lời giải trên ở câu a), chúng ta đã sử dụng kết quả trong chú ý ở

cuối dạng 1 để tránh phải kiểm tra điều kiện x3  4x2 + 2x + 6 > 0

Thí dụ 3 Giải các phơng trình sau:

a 6x  3x  2x + 1 + 2 = 0

b log4{2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = 1

b Phơng trình đợc biến đổi về dạng:

2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = 2  log3[1 + log2(1 + 3log2x)] = 1

 1 + log2(1 + 3log2x) = 3  log2(1 + 3log2x) = 2  1 + 3log2x = 4

 log2x = 1  x = 2

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2



Nhận xét: Trong lời giải trên:

nhân tử để chuyển phơng trình về dạng tích Và từ đó, nhận

đ-ợc hai phơng trình mũ dạng 2

loại bỏ đợc lôgarit Cách thực hiện này giúp chúng ta tránh

đ-ợc phải đặt điểu kiện có nghĩa cho phơng trình

Dạng toán 2: Phơng pháp đặt ẩn phụ giải phơng trình mũ và lôgarit

Phơng pháp

Phơng pháp dùng ẩn phụ là việc sử dụng một (hoặc nhiều) ẩn phụ để chuyển

phơng trình ban đầu thành một phơng trình hoặc hệ phơng trình với một (hoặc nhiều)

Mở rộng: Với a.b = 1 thì khi đặt t = af(x), điều kiện hẹp t > 0, suy ra

ab

 

 

  + 2

ab

 

 

 , điều kiện t > 0, ta đợc 1t2 + 2t + 3 = 0

Mở rộng: Với phơng trình mũ có chứa các nhân tử a2f, b2f, (a.b)f , ta

thực hiện theo các bớc sau:

- Chia hai vế của phơng trình cho b2f > 0 (hoặc a2f,(a.b)f)

- Đặt t =

f

ab

 

 

  , điều kiện hẹp t > 0



Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t > 0 cho trờng hợp đặt t = af(x) vì:

 Nếu đặt t = ax thì t > 0 là điều kiện đúng

x 1

2  thì t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điềukiện cho t phải là t  2 Điều này đặc biệt quan trong cho lớp cácbài toán có chứa tham số

2 Các phép đặt ẩn phụ thờng gặp sau đối với phơng trình lôgarit:

Dạng 1: Nếu đặt t = logax với x > 0 thì k

a , ta thờng đặt ẩn phụ dầnvới t = logbx

Thí dụ 1 Giải các phơng trình sau:

1 2

233

VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 2 hoÆc x = log32  1

b ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng:

a log x3  20 log3 x 1 0 b log9x27  log3x3 + log9243 = 0.

a Điều kiện x > 0

Biến đổi phơng trình về dạng:

(3log3x)2  20.1

2log3x + 1 = 0  9log3x  10log3x + 1 = 0

Đặt t = log3x, ta biến đổi phơng trình về dạng:

3x 33x 3

Nhận xét: Nh vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã đợc làm quen với dạng đặt

ẩn phụ cơ bản của phơng trình lôgarit Và ở đó:

 Với câu a), các em học sinh dễ nhận thấy ẩn phụ t = log3x Tuy

1log 4x

3 log x log x log x

3 12 2.8  3 log x 2 2 log x 2 3 log x 2



Nhận xét: Với câu b) các em học sinh có thể giảm bớt một lần đặt ẩn phụ bằng

cách chia hai vế của phơng trình (*) cho 3 log x 2

Chú ý: Một mở rộng khá tự nhiên của phơng pháp đặt ẩn phụ kiểu này là chúng

ta có thể sử dụng ngay các hằng số hoặc các tham số trong phơng

trình để làm ẩn phụ, phơng pháp này có tên gọi là "Phơng pháp hằng

af(x) = bg(x)  logaaf(x) = logabg(x)  f(x) = g(x).loga b

hoặc logbaf(x) = logbbg(x)  f(x).logba = g(x)

hoặc logcaf(x) = logcbg(x)  f(x).logca = g(x).logcb

a Ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phơng trình, ta đợc:

2log 23

3log 32

b Điều kiện x  0 Tới đây, ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 5 hai vế của phơng trình, ta đợc:

 = 1

Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta đợc:

x 3

x 3 x2

log 2

 = 0  (x3)log25 +

x 3x

 = 0

Thí dụ 2 Giải các phơng trình sau:

Lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế của phơng trình, ta đợc:

log5(x6.5 log 5 x ) = log555  log5x6 + log5 log 5 x

Vậy, phơng trình có nghiệm là x = 51 hoặc x = 65

Dạng toán 4: Phơng pháp sử dụng tính chất của hàm số để giải phơng

trình mũ và lôgarit

Phơng pháp

Ta sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a, b) thì phơng trình f(x) = k

có không quá một nghiệm trong khoảng (a, b)

Phơng pháp áp dụng: ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 4: Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phơng trình

Tính chất 2 Nếu hàm f tăng trong khoảng (a; b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một

hàm giảm trong khoảng (a; b) thì phơng trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệmthuộc khoảng (a; b) (do đó nếu tồn tại x0(a; b): f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duynhất của phơng trình f(x) = g(x))

Thí dụ 1 Giải các phơng trình sau:

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của phơng trình vì log22 + log33 = 2, đúng

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 0

Thí dụ 2 Giải các phơng trình sau:

b 3x = 4  x b log3x = 4  x

a Nhận xét rằng:

 Vế trái của phơng trình là một hàm đồng biến

 Vế phải của phơng trình là một hàm nghịch biến

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phơng trình vì:

31 = 4  1  3 = 3, đúng

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Nhận xét rằng:

 Vế trái của phơng trình là một hàm đồng biến.

 Vế phải của phơng trình là một hàm nghịch biến

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 3 là nghiệm của phơng trình vì:

log33 = 4  3  1 = 1, đúng

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3

Thí dụ 3 Giải phơng trình 31  x  log2x  1 = 0

 Vế trái của phơng trình là một hàm nghịch biến

 Vế phải của phơng trình là một hàm đồng biến

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Khi đó (3) đợc viết lại dới dạng:

f(x) = f(y)  x = y

Khi đó (2) có dạng:

Dùng phơng pháp hàm số để xác định nghiệm của (4)

2 Để sử dụng đợc phơng pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phơngtrình ban đầu về dạng thoả mãn điều kiện (*)

Khi đó (3) đợc viết lại dới dạng:

A(x) = A(y)  x = y

Khi đó (1) có dạng:

Dùng phơng pháp hàm số để xác định nghiệm của (4)

Ví dụ sau sẽ minh hoạ cụ thể dạng phơng trình kiểu này

Thí dụ 5 Giải phơng trình log2[3log2(3x1)1] = x

 Miền xác định: D = (

1 3

Dạng toán 1: Phơng pháp thế

Thí dụ 1 Giải các hệ phơng trình:

a (ĐHKT  1999):

x 5(y )

log x

142y3

 Với x = 1 suy ra y = 13 = 1

 Với x = 2  y = 1

8 Vậy, hệ phơng trình có hai cặp nghiệm (1; 1) và (2; 1

2 x y 1

y3

Vậy, hệ phơng trình có một cặp nghiệm (1; 3)



Nhận xét: Trong lời giải trên:

 ở câu a), chúng ta sử dụng ngay phép thế y = x3 vào phơngtrình thứ nhất của hệ để nhận đợc một phơng trình mũ dạng:[u(x)]f(x) = [u(x)]g(x)  u(x) 1

Dạng toán 2: Phơng pháp biến đổi tơng đơng

Thí dụ 1 Giải các hệ phơng trình:

a

x y 20log x log y 1 log 9

2 x 2 y

14

161

2



Nhận xét: Trong lời giải trên:

logarit cùng cơ số (trong đó 1 = log44) chúng ta nhận đợc dạngViét cho hai ẩn x, y

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phơng pháp thế nh sau:

Rút y = 20  x từ phơng trình thứ nhất của hệ thay vào phơngtrình thứ hai, ta đợc:

log4x + log4(20  x) = 1 + log49  log4[x(20  x)] = log436

hệ phơng trình ở a) và b)

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phơng pháp thế nh sau:

Rút y = 1  x từ phơng trình thứ nhất của hệ thay vào phơngtrình thứ hai, ta đợc:

log x log 7.log y 1 log 2

3 log y (1 3log x) log 5

log x log y 1 log 2

3 log y log 5 3log 5.log x

12

y 32y

12x

ThÝ dô 1 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:

ThÝ dô 2 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:

a

lg x lg y 1x

lg 1y

ln(xy) ln x 1ln(xy) ln y 1

Khi đó hệ (I) đợc biến đổi về dạng:

Chú ý: Với các em học sinh đã có kinh nghiệm trong việc giải toán thì:

 ở câu a), chúng ta có thể trình bày (với điều kiện x > 0, y > 0)theo cách:

 ë c©u b), chóng ta cã thÓ tr×nh bµy (víi ®iÒu kiÖn x > 0, y > 0)theo c¸ch suy ra:

ThÝ dô 2 (§HQG Hµ Néi  1995): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

log (x 1) y 1log y x

log2(x + 1) + x = log2y + y1  log2(x + 1) + x + 1 = log2y + y

Xét hàm số f(t) = log2t + t là hàm đồng biến với t > 0, do đó phơng trình có dạng:f(x + 1) = f(y)  x + 1 = y

a 1

0 a 1f(x) g(x)

a Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Bất phơng trình đợc biến đổi về dạng:



.Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là

2

;3



.Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là

2

;3

  



Nhận xét: Nh vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều thực

hiện một công việc là đa bất phơng trình về dạng có cùng cơ số,tuy nhiên:

 Trong cách 1, với việc sử dụng cơ số a < 1 nên dấu bất đẳng thứcphải đổi chiều và đây là điểm thờng gây ra lỗi đối với một vàihọc sinh

 Trong cách 2, với việc sử dụng cơ số a > 1 nên dấu bất đẳng thứckhông đổi chiều Trong những trờng hợp tơng tự các em họchãy lựa chọn theo hớng này

b Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Nhận xét: Nh vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều thực

hiện một công việc là đa bất phơng trình về dạng có cùng cơ số,tuy nhiên:

 Trong cách 1, chúng ta đã tìm cách biến đổi 52 6 theo

3 2 và ở đây các em học sinh cũng cần lu ý rằng cơ số này

nhỏ hơn 1

 Trong cách 2, chúng ta đã sử dụng ý tởng về cơ số trung gian đã

biết trong phần phơng trình mũ

c Bất phơng trình đợc biến đổi về dạng:

x2  1 < log32  x2 < 1 + log32 tham số x2 < log36  x  log 63

Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là  log 6;3 log 63 

Dạng toán 2: Phơng pháp biến đổi tơng đơng cho bất phơng trình

logaf(x) > b 

b

b

a 1f(x) a

Kết hợp với điều kiện (*) ta nhận đợc tập nghiệm của bất phơng trình là (1; 4)

Cách 2: Bất phơng trình biến đổi tơng đơng về dạng:

Yêu cầu: Các em học sinh hãy so sánh hai cách giải trên và hãy trả lời câu hỏi

"Có thể sử dụng cách 2 cho bất phơng trình trong câu b) hay không ?".

Biến đổi tơng đơng bất phơng trình về dạng:

log5(x2  6x + 18) + 2log5(x  4) < 0  log5(x  4)2 < log5(x2  6x + 18)

 x2  8x + 16 < x2  6x + 18  2x > 2  x > 1 (**)Kết hợp (*) và (**) ta đợc nghiệm của bất phơng trình là x > 4

Dạng toán 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ giải bất phơng trình mũ và