Chuyên đề 8 mũ và logarit

www.facebook.com/hocthemtoan

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:

 n

n thừa số

a    a.a a (n Z ,n 1,a R)   

 a 1 a a

 a 0  1  a 0

n

1 a

a



 (n Z ,n 1,a R / 0 )     

n m n

a  a ( a 0;m,n N  )



m n

n

a

a a



2 Các tính chất :

 a a m n a m n



m

m n n

a





 (a ) m n (a ) n m a m.n



n n n

( )

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

 Tập xác định : D R

 Tập giá trị : T R

 ( a x 0  x R )

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y a x đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y a x nghịch biến trên R

 Đồ thị hàm số mũ :

Minh họa:

 Đạo hàm của hàm số mũ:

 e x 'e x  a x 'a x.lna

 e u 'e u u ' (với u là một hàm số)  a u 'a u ln 'a u (với u là một hàm số)

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

x

1

f(x)=2^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

y=2x

y=

x

1

O O

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

dn M

a







 0 1

N

2 Các tính chất :

a

2

N

 Đặc biệt : log N a 2 2.log N a

3 Công thức đổi cơ số :

b

a

log N log N

log b



* Hệ quả:

b

1 log b

log a

 và k a

a

1

k



Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

 Tập xác định : 



D R

 Tập giá trị T R

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y log x a đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y log x a nghịch biến trên R

 Đồ thị của hàm số lôgarít:

Minh họa:

 Đạo hàm của hàm số lơgarit:

lnx' 1

x

 và ln x' 1

x

 lnu' u'

u

 và ln u' u'

u

 (với u là một hàm số) log ' 1

ln

a x

x a

 và log ' 1

ln

a x

x a



log ' '

.ln

a

u u

 và log ' '

.ln

a

u u

 (với u là một hàm số)

5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

0<a<1

y=logax

y

O

f(x)=ln(x)/ln(1/2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

y=log2x

x y

x

y

f(x)=ln(x)/ln(2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

x y

2 1

log



1

a>1

y=logax

1

y

x O

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

1 Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : aM = aN  M = N

2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN  M > N (nghịch biến)

3 Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN  M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N  M = N

6 Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N  M < N (đồng biến)

III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

Dạng cơ bản: ax m (1)

 m 0 : phương trình (1) vơ nghiệm

 m 0 : ax m x log m a

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a M = a N

(Phương pháp đưa về cùng cơ số)

Ví du 1 : Giải các phương trình sau :

1) 9 x 1 27 2x 1

 2) x 3x 22

2   4

 3) 3.4x 1.9x 2 6.4x 1 1.9x 1

  

Ví du 2ï : Giải các phương trình sau

1) 16 x 10 x 10 0,125.8 x 15 x 5

2) 32x 5x 7 0,25.128x 17x 3

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3 2x 8 4.3 x 5 27 0

   2) 6.9 x 13.6 x 6.4 x 0

3) 5.2x 7 10x  2.5x 4) ( 2 3 ) x( 2 3 ) x 4

5)  5 2 6  x  5 2 6 x 10 6) 2 2 2 2 2 3



  

x 7) 3 8x  4 12x  18x  2 27x  0

8) 2 2 2 9 14 7 7 2 0





x

9) 4x  x 2 2  5.2x 1 x 2   2  6 0

10) 43 2cosx  7.41 cosx  2 0

Bài tập rèn luyện:

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

1) ( 2  3 )x  ( 2  3 )x  4 (x 1) 2) 8x  18x  2 27x (x=0) 3) 125x  50x  2 3x 1 (x=0) 4) 25 10 2 2  1



x (x=0)

( 3 8 ) ( 3 8 )  (6 x  2 ) 6) 27x  12x  2 8x (x=0)

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x

2) 2x2x  4 2x2x  2 2x  4  0

3) 52x 1  7x 1  175 35 0x

4) x 22 x 1  2x 3 6   x 22 x 3 4   2x 1 

5) 4x x2 21 x  2 2 x 1  2 1

4 Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đĩ

(Phương pháp lơgarít hĩa)

Ví dụ : Giải phương trình

1) 3 2x 1  x 2 8.4x 2 

 2) 5 8x x x1 500





5 Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh

nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b)

trình f(x) = g(x))

Phương pháp chiều biến thiên hàm số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3x + 4x = 5x

2) 2x = 1+ 3 x2

3) ( ) 1 x 2x 1

4) 2 3 x  x2 8x 14

   5) 3.25x 2 3x 10 5 x 2 3 x 0

Bài tập rèn luyện:

1) 2 2x 3 3x  6x 1 (x=2) 2) 2x 3  x (x=1)

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

Dạng cơ bản: log x ma  (1)

 m : log x ma   x a m

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : log M log N a  a (đồng cơ số)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 2 1 2

2

1 log log (x x 1)

x    2) log x(x 1) 12   

3) log x log (x 1) 12  2  

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

2

3) log ( 1 ) log ( 4 ) log ( 3 )

2

1

2 2

1

2

2 x  x   x (x  11 ;x  1  14) 4) 2  4 8 2 

1log x 3 1log x 1 log 4x

2  4   x 3; x  3 2 3

5) 1 2 1 3 1 3

3 log x 2 3 log 4 x log x 6

2       x 2; x 1   33

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

log 2x log x  2) log log 2 1 5 0

3 2

3) log log x log log x 24 2  2 4 

1 log 3 log x log 3 log x

2

5) log 125x log x 1x  225 

log 2.log 2 log 2

5 log log x 1

8)    

3

x 2  9 x 2

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Phương pháp chiều biến thiên hàm số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 2

2)  log x 6 

log x 3 log x 3) log 12  x log x3

V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N (  , , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

3 6x 4x 11

2 6x 8

1) 2 1 1

2



 

 



 



 

 

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 3 x 2x 2 ( ) 1 3 x x 1 

 2) 2

x 1

x 2x

2



2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

2x 1 x

1) 9 2.3 3 2) 5  5 4

 

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 2 2x 3.(2 ) 32 0 x 2

   2) 2 x 2 3 x 9

3) 32x 4  45.6x 9.22x 2  0

   4) ( ) 1 2 x 3.( ) 1 1 1 x 12



5) 8 2 1 4 2 1 5







 x x x (0 x 2 ) 6) 15 2x 1  1  2x  1  2x 1 (x  2)

VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na  a (  , , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

1) log (x2 2  x 2) log (x 3) 2 

log (4x 11) log (x  6x 8)

3

log (x  6x 5) 2 log (2 x) 0   

log x 2 log x 1 log 6 0   

5) 1 3

2

x 1 log log 0

x 1







Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 2

x

2) 2 3  

3

log log x 3 1

3) log 3x x 2 (3 x) 1

   4) x

9

x

5)   x  

log log 9  72 1 6) log ( 4 144 ) 4 log 2 1 log ( 2 2 1 )

5 5

7)  x   2x 1 x

log 4 4 log 2  3.2

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ : Giải bất phương trình sau :

1) log x log x 2 022  2  

2) xlog x 42  32

 3) log x26 log x6

6 x 12 4) 3 1 4 2

2

log x log x  2 0

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x

3 log

3 ) (log

2

2 2







x

x

(

2

1 8

1



x )

VII HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

Ví dụ : Giải các hệ phương trình

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

x 1 2 y 1

3 log (9x ) log y 3

    





 6)















4 ) ( log ) ( log

) 3

1 ( ) 3 (

2 2

2

y x y

x

y x y x

2)















 25

1 1 log ) (

log

2 2

4 4

1

y x

y x

y

7) y

3

3 4 x ( x 1 1)3

x

y log x 1





 3) 















y y y

x x x

2 2 2 4

4 5

2

1 3

8) 











2 ) ( log

1152 2

3

5 x y

y x

4) 







 3 64 4

2

y x

y x

9) x 4 y 3 0log x log y 0







5) 









4 log

log

2

5 ) (

log

2 4

2 2 2

y x

y x

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

DẠNG 1: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình

2

12 2

1 2

6







x (x=1)

2) log ( 1 ) 2 log 4 log ( 4 3 )

8 2

2

4 x    x x (x 2 ;x 2  2 6) 3) log7x log3( x 2 ) (x=49)

4) log5x log7(x 2 ) (x=5)

Chuyên đề LTĐH Thầy tốn: 0968 64 65 97

5) 5 2 3 1 3 2 5 3 7 0





x (x=1)

2

1 log 4 log 2 3 2 log x x   (x25)

7)

x

x x

xlog2 3log22 31 (x=1,x=2,x=4)

8) 2 log2  2 3log8x 5  0

x x

x ( , 2

2

1



 x

9) log 2x (x 1 ) log2x 6 2x

2     ( , 2

4

1



 x

10) x x x

4 4

log

2 ) 10 ( log 2 log 2

1    (x=2,x=8)

1) 3 2 8 3 4 9 9 4 0





x (x>5)

2) 9 2 2 7 3 2 2 1 2





x ( 0 2

4

1









3) x  x  x























2

1 2

1 6 3 (x  1  0 x 1  x 1)

8

1 4





























 x x (x  34)

5) log5( 1  2x)  1  log 5(x 1 ) ( 52x21)

6) 2  log2x  log2x ( 2

4

1



x ) 7) logxlog9( 3x  9 )  1 (x log310)

8) log ( 1 3 ) log (13 1)

2

2

4 x  x  x ( 1

3

2



x )

1

) 3 ( log ) 3 (

3 1 2 2

1











x

x x

(-2 < x <-1)

Bài 3 : Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1

2 1

2

3 2 log

2

x x y

x

 



 2 2 3 8 log (20,3 1)

2 8

y

    

 

DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số





 m x m x

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 x2 sao cho x1x2  3 (m=4)

( 1 m  43)

Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97

BÀI TẬP RÈN LUYỆN (GIẢI MẪU)

Bài 1: Giải phương trình: 1( ) 1( ) 1 ( )

log x 1- +log x 1+ - log 7 x- =1 (1)

Bài giải:

Điều kiện:

ï - > ï >

ï + > Û ï > - Û < <

ï - > ï <

Khi đó:

Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97

2 2

2 2

2

1 log x 1 log x 1 log 7 x 1

1 log x 1 log 7 x

2 1

2 2x 1 49 14x x

x 14x 50 0

x 3

x 17

é = ê

Û ê =-ê

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là x=3

Bài 2: Giải phương trình: ( )2 ( )3 ( )3

3 log x 2 3 log 4 x +log x 6 (1)

Bài giải:

Điều kiện:

6 x 4

ï + ¹ ï ¹

ï - > Û ï < Û

ï + > ï >

Khi đó:

( ) ( )

2 2

1 3log x 2 3 3log 4 x 3log x 6 log x 2 1 log 4 x log x 6 log 4 x 2 log 4 x x 6

4 x 2 4 x x 6

ê

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là x= Ú = -2 x 1 33

Bài 3: Giải phương trình: ( ) ( )2

1

2

log x 2+ +log x 5- +log 8=0 (1)

Bài giải:

Điều kiện: x 2 0 x 2

x 5

x 5 0

ì + > ì >

í - ¹ í ¹

î Khi đó:

Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97

( )( ) ( )( )

2

2

1 log x 2 log x 5 log 8 log x 2 x 5 log 8

x 2 x 5 8

x 5

x 5

x 5

x 2 x 5 8 x 3x 18 0

3 17

2

>

ìï

é >

éìïïê > ìïïêï ï

í í

êï + - = êï - - = ïî

êïî ïïîê ê

Û êì- < < Û êì- < < Û ì - < <

êïïí êíïï

x 6

3 17 x

2

é ê

íêï ïêïïîë Vậy nghiệm của phương trình (1) là

x 6

3 17 x

2

é = ê

ê = ê ë

Bài 4: Giải phương trình: 2 2 1

2

log x 2- +log x 5+ +log 8= (1)0

Bài giải:

Điều kiện: x 2 0 x 2

x 5 0

ì - ¹ ì ¹

í + ¹ í ¹

î Khi đó:

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2

1 log x 2 x 5 log 8

x 2 x 5 8

2

é = - Ú = é

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là

3 17 x

2

é = - Ú = ê

ê = ê ë

Bài 5: Giải phương trình: 4( ) 2

2x 1

log + 4 2

Bài giải:

Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97

Điều kiện:

x 1

x 1 0

1 2x 1 0 x

2x 1 1 x 0

ì >

ï

ì - > ï

ï + > ï >

ï + > ï

Khi đó:

( ) ( )

2

log x 1 2x 1 log 2 x 2

x 1 2x 1 2 x 2

x 2

é = -ê ê

ê = ê

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là 5

x 2

=

Bài 6: Giải phương trình: 2

log 2x log 6 log 4x

4 - x =2.3 (1)

Bài giải:

Điều kiện: x>0

2

log 2x log 6 log 4x 1 log x log 6

4 - x =2.3 Û 4+ - x =2.3 +

2

t=log xÞ x= , phương trình (2) trở thành:2

( )log 6 2 2 1 t( ) ( 2 )t

2

2

4.4 6 18.9 4 18

18 4 0

+

é ù

æö÷ êæö÷ú

Û - = Û - ççè ø÷÷= êççè ø÷÷ú

ë û

éæöù æö

êç ú ç

Û êçç ÷÷ú+çç ÷÷- =

è ø è ø

ë û

t

t

t 2

3 1 (loai)

éæö÷

êçç ÷ç ÷=

êè ø ê

-êæö

ê ÷çç ÷ç ÷=

-êè ø ë Với t= - 2 ta được nghiệm của phương trình (1) là : x 1

4

=

Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97

Bài 7: Giải phương trình: ( 3 ) 9x

3

4

1 log x

- (1)

Bài giải:

Điều kiện:

3

x 0

x 0

1

9 log x 1 x 3

>

ìï

ìï > ï

Khi đó:

( )

( )

log 9x 1 log x 2 log x 1 log x

-Đặt t=log x (t3 ¹ - 2;t¹ 1), phương trình (2) trở thành:

t 4

2 t 1 t

é =

= Û ê =

 Với t= - 1 ta được pt : 3

1 log x 1 x

3

= - Û =

 Với t=4 ta được pt : log x3 = Û4 x=81

So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là x 1; x 81

3

Bài 8: Giải phương trình:  x   x+1 

log 3 - 1 log 3 - 3 = 6 (1)

Bài giải:

Điều kiện: 3x  1 0  3x 1 x 0

Khi đó:  1  log 3 - 1 1 log 33 x    3 x  1 6

Đặt: t log 3 3 x  1 , pt trở thành:   





       





t t 1 6 t t 6 0

t 3

 Với t3: log 33 x  1 3 3x  1 1  3x 28 x log 328

 Với t 2 : log 33 x  1  2 3x  1 9  3x 10 x log 10 3

Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện

Vậy pt(1) có hai nghiệm là x log328; x log 10 3

27

Bài 9: Giải phương trình: log 7x.log x 1 (1)x 7 

Bài giải:

Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97

Điều kiện:











x 0

x 1

Khi đó:           

7

1 log 7x log x 1 1 log x 1

Đặt t log x , pt trở thành: 7



  



2 2

 Với t 1 : log x 17   x 7 (thỏa điều kiện)

Vậy pt(1) có nghiệm là x 7

Bài 10: Giải phương trình: log2x 1 2x2x 1  logx 1 2x 1 2 4 (1)

Bài giải:

Điều kiện:



   



   





 

 









2

1

x 1 x

2 2x x 1 0

1 x

x 2

x 1

x 0

x 1 1 Khi đó:







2x 1

2x 1

1 log 2x 1 x 1 2log 2x 1 4

1

log x 1 Đặt t log 2x 1 x 1 , pt trở thành:           





2

t 2 t

 Với t 1 : log2x 1 x 1   1 x 1 2x 1    x 2 (thỏa điều kiện)

 Với t 2 :     







 



2x 1

x 0 (loai)

x 4 Vậy pt(1) có tập nghiệm là  5

S 2;

4

Bài 11: Giải bất phương trình:   

2 1 2

x 3x 2

x (1)