Chuyên đề 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Kiến thức cơ bản 1.1 Mở đầu về phương trình Phương trình một ẩn là phương trình có dạng ( ) ( ) P x Q x ( x là ẩn), trong đó vế trái P(x) và vế phải Q(x) là hai biểu thức của cùng biến x. Số 0 x gọi là nghiệm của phương trình 0 0 ( ) ( ) P x Q x là một đẳng thức đúng. Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào ( vô nghiệm ). Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm ( hoặc tìm tập nghiệm ) của phương trình đó. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau ( kể cả bằng tập rỗng ). Quy tắc biến một phương trình thành một phương trình tương đương với nó được gọi là quy tắc biến đổi tương đương. 1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn a) Định nghĩa : Phương trình dạng ax 0 b ,với a,b là hai số đã cho và 0 a , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. b) Hai quy tắc biến đổi tương đương : Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Quy tắc nhân với một số : Ta có thể nhân ( hoặc chia ) cả hai vế của một phương trình với (cho) cùng một số khác 0. c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn : Ta có : ax 0 ax b b ( quy tắc chuyển vế ) b x a ( chia hai vế cho a≠0) Vậy phương trình bậc nhất một ẩn ax 0 b luôn có một nghiệm duy nhất là bx a 2. Kiến thức nâng cao a) Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn ax 0 b luôn có một nghiệm duy nhất là bx a
Trang 1Chuyên đề 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Kiến thức cơ bản
1.1 Mở đầu về phương trình
Phương trình một ẩn là phương trình có dạng ( )P x Q x( )( x là ẩn), trong đó vế trái P(x)
và vế phải Q(x) là hai biểu thức của cùng biến x
- Số x gọi là nghiệm của phương trình 0 P x( )0 Q x( )0 là một đẳng thức đúng
- Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào ( vô nghiệm ) Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm ( hoặc tìm tập nghiệm ) của phương trình đó
- Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau ( kể cả bằng tập rỗng ) Quy tắc biến một phương trình thành một phương trình tương đương với nó được gọi là quy tắc biến đổi tương đương
1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn
a) Định nghĩa : Phương trình dạng ax ,với a,b là hai số đã cho và b 0 a , được gọi 0
là phương trình bậc nhất một ẩn
b) Hai quy tắc biến đổi tương đương :
- Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó
- Quy tắc nhân với một số : Ta có thể nhân ( hoặc chia ) cả hai vế của một phương trình với (cho) cùng một số khác 0
c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn :
Ta có : ax b 0ax ( quy tắc chuyển vế ) b
x a
( chia hai vế cho a≠0) Vậy phương trình bậc nhất một ẩn ax luôn có một nghiệm duy nhất là b 0
b
x
a
2 Kiến thức nâng cao
a) Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn ax luôn có một nghiệm duy nhất là b 0
b
x
a
Trang 2- với a ≠0, phương trình có một nghiệm duy nhất là x b
a
- với a = 0, phương trình có dạng 0x b
Nếu b = 0 thì phương trình có vô số nghệm
Nếu b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm
b) Với phương trình chứa tham số m, giải và biện luận phương trình là giải phương trình đó tùy theo các trường hợp về giá trị m
Trang 3B MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1.Xét xem một số có là nghiệm của phương trình hay không
Ví dụ 1 Hãy xét xem x có phải là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không ? 3
2
2
3 6
x
Giải
a) Thay x vào phương trình ta được : 3 2 3 5 4 3 11 11 là một đẳng thức đúng
Vậy x là nghiệm của phương trình 3
b) Thay x vào phương trình ta được 3
2
3 là một đẳng thức sai
Vậy x không là nghiệm của phương trình 3
c) Thay x vào phương trình ta được 3
6
3
Vậy x không là nghiệm của phương trình 3
d) Thay x vào phương trình ta được 3
3 242 3 1155 là một đẳng thức đúng
Vậy x là nghiệm của phương trình 3
Ví dụ 2 Tìm giá trị của m, biết rằng x = 5 là nghiệm của phương trình 2
2xm x1 19
Giải
Vì x = 5 là nghiệm của phương trình 2 , nên:
2xm x1 19
Trang 4
2
2
2
9
4
3 3
;
2 2
m
m
m
m
m
Dạng 2 Giải phương trình đưa được về dạng ax b 0
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
Giải
13 22
x x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 13
22
x
3
x x x x
x
x
Vậy phương trình có tập nghiệm là S 3
Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:
Trang 598 96 65 3 5 49
)
a
b
Giải
a) Phương trình đã cho tương đương với
100
100
x
x
x
Vậy phương trình có tập nghiệm là S 100
b) Phương trình đã cho tương đương với
0
37 42 50 79
128 0 128
x
x
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 128
Trang 6Dạng 3 Xét xem hai phương trình có tương đương không
Ví dụ 5 Hai phương trình sau có tương đương không ? vì sao ?
2
2
Giải
a) Phương trình 2x 6 có tập nghiệm là S 1 3
Vì S1 S2 nên hai phương trình đã cho là tương đương
Suy ra tập nghiệm là S 3 2; 2
Phương trình x 2 0 x có tập nghiệm 2 S 4 2
Vì S3S4nên hai phương trình đã cho không tương đương
Ví dụ 6 Tìm m để hai phương trình sau tương đương xm0 1 à v mx 9 0 2
Giải
Phương trình (1) x m có nghiệm duy nhất là x = m Vì hai phương trình tương đương 0 nên
x = m cũng là nghiệm của phương trình (2), tức là 2
m m m m
Thử lại :
- Với m , ta có phương trình (1) : 3 x và phương trình 3 0 2 : 3x 9 0 có cùng tập nghiệm là {3} Vậy m = 3 thỏa mãn
- Với m , ta có phương trình 3 1 :x 3 0 và phương trình 2 : 3 x 9 0có cùng tập nghiệm là { - 3 } Vậy m = -3 thỏa mãn
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là 3 và – 3
2
2
3 0
1
x
x
Trang 7Dạng 4 Giải và biện luận phương trình ax+b=0
Ví dụ 7 Giải và biện luận phương trình : 2
m xm m
Giải
m xm m m xm m
+ Nếu m 3 0 m , thì phương trình có nghiệm duy nhất là: 3 3
3
m m
m
+ Nếu m 3 0 m , thì ta có phương trình 0.3 x , đúng với mọi x 0
Vậy nếu, m ≠ 3 thì phương trình có tập nghiệm là m
Nếu m = 3 thì phương trình có tập nghiệm là R
Ví dụ 8 Cho phương trình 2
m m xm m x
Tìm m để (1) :
a) Có nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
Giải
m m x x m m
a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :
m1m20m 1 àv m 2
a) Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi :
2
m
Trang 8C.BÀI TẬP
3.1 Xét xem x = 4 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không ?
3.2 Tìm m để x = 1,5 là nghiệm của phương trình 2
m x x m 3.3 Chứng minh rằng phương trình :2mx 5 x 6m luôn có một nghiệm x không phụ 2 thuộc vào m
3.4 Giải các phương trình sau :
3.5 Giải các phương trình sau :
b x
c
3.6 Giải các phương trình sau :
)
a
b
c
3.7 Giải các phương trình sau :
)
a
)
b
3.8 Giải các phương trình sau :
x x x x
Trang 93.9 Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2x 3 0 à 2v x3mx1 0 3.10 Giải và biện luận các phương trình sau :
2
3.11 Cho phương trình 2
4m 25 x 5 2m
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm
3.12 Cho phương trình 2 2
4m 9 x2m m3 Tìm m để phương trình : a) Có nghiệm duy nhất
b) Có vô số nghiệm
3.13 Giải phương trình ẩn x sau :
4
1
a b x b c x c a x x
3.14 Giải phương trình ẩn x sau :
x a x b x c
bc ca ab a b c