Chuyên đề 1 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng A B trong đó A, B là những đa thức và B là đa thức khác 0. 2. Hai phân thức A B và C D 3. Tính chất cơ bản của phân thức : A A.M = B B.M (M là một đa thức khác đa thức 0). A A:N = B B:N (N là một nhân tử chung). 4. Quy tắc đổi dấu : A A = . B B 5. Quy tắc rút gọn phân thức : Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ; Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. 6. Quy tắc quy đồng mẫu thức :
Trang 1Chuyên đề 1
TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng A
B trong đó A, B là những đa thức và B là đa thức khác 0.
2. Hai phân thức A
B và C
D
3. Tính chất cơ bản của phân thức :
A = A.M
B B.M (M là một đa thức khác đa thức 0).
A = A:N
B B:N (N là một nhân tử chung).
4. Quy tắc đổi dấu : A = -A.
B -B
5. Quy tắc rút gọn phân thức :
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ;
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
6. Quy tắc quy đồng mẫu thức :
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung ;
gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.
Trang 2- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Hai phân thức sau có bằng nhau không ? Vì sao ?
a+3
a-4 và a+6
a-8
a + 3 a - 8 = a - 5 a - 24 ; a - 4 a + 6 = a + 2 a - 24.
a - 5a - 24 a + 2a - 24nên hai phân thức đã cho không bằng nhau.
Ví dụ 2. Cho ad = bc trong đó b 0, 3b d Chứng minh rằng : 3a-c = a.
3b-d b
Giải: Ta có (3a - c)b = 3ab - bc = 3ab - ad. (1)
(3b - d)a = 3ab - ad. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (3a - c)b = (3b - d)a.
Do đó 3a-c = a.
3b-d b
Ví dụ 3. Cho a > b > 0. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
Giải. Vì a > b > 0 nên a + b>0; a – b > 0.
Vận dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có
Trang 3
2 2
vì 0 < a - b < a + b
Ví dụ 4. Cho phân thức
x -x -x+1
P =
x +x +3x +2x+2
Rút gọn rồi chứng tỏ rằng phân thức p luôn có giá trị không âm với mọi giá trị của
x.
x
P =
+2)
(x - l) (x +x+l) (x - l)
(x +x+l) + 2(x +2) (x - l) 0,
Ví dụ 5. Cho phân thức
7 2 8
1
1
Chứng minh rằng phân thức Q là phân thức chưa tối giản.
Giải
Trang 4
* Ta có x + x + 1 = x - x + x + x + 1 = x x - 1 + x + x + 1
= x x + l x - 1 + x + x + 1
= x + x x - l x + x + 1 + x + x + 1
= x + x + l x - x + x - x + 1
* Ta có Q = x + x + 1 = x - x + x + x + 1 = x x - 1 + x + x + 1
= x x + l x - 1 + x + x + 1
= x + x x - l x + x + 1 + x + x + 1
= x + x + l x - x + x - x + 1
Ví dụ 6 Cho a > b > 0 và a + 3b = 4ab.2 2 Tính giá trị của phân thức A = a+11b.
2a+b
Giải Từ điều kiện 2 2
a + 3b = 4absuy ra 2 2
a + 3b - 4ab = 0 hay (a - b)(a - 3b) = 0
Thay a = 3b vào phân thức A ta được
a+11b 3b+11b 14b
C BÀI TẬP
• Hai phân thức bằng nhau Tính chất cơ bàn
1 Tìm đa thức M trong các trường hợp sau :
Tử và mẫu có nhân tử chung là đa thức x2 + x + 1khác đa thức ±1 do đó phân thức Q chưa tối giản
Trang 53 2
2 Hai phân thức sau có bằng nhau không ? Vì sao ?
3 Cho ad = bc trong đó cd 0 và 2 2
c 2d Chứng minh rằng
2 2
2 2
4 Viết các đa thức sau dưới dạng một phân thức đại số với tử và mẫu là những đa thức có hai hạng tử :
35 34 33
a A = x + x + x ) + + x + 1 ;
)
b B = x - l x + l x + 1 x + 1
• Rút gọn phân thức
5 Chứng minh các đẳng thức :
2
a) ; b)
6 Chứng minh các đẳng thức :
x -x +3x-3 x-1
x +2x +3x+6 x+2
3
x -25x x-5
x +125x x -5x+25
7 Cho phân thức
xy +y (y -x)+2
B =
x y +y +2x +2
a) Chứng minh rằng B > 0 với mọi x, y ;
Trang 6b) Tìm các giá trị của biến để B đạt giá trị lớn nhất
8 Tính giá trị của phân thức :
2 2
x -25y
a) A =
2 2
3x-9y
b) B =
4
9 Rút gọn các phân thức :
a) ; b) ;
x -y
x +x y +x y +y
10 Chứng minh rằng với n N thì các phân số sau đều tối giản:
a) ; b)