Toán 8 Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề 2 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ     2 2 2 A + B  = A  + 2AB + B                                             (1)      2 2 2 A  B  = A   2AB + B                                               (2)            2 2 A  B    A + B A  B                                                 (3)                        3 3 = A  + B  + 3AB A + B      3 3 2 2 3 A  B  = A   3A B + 3AB   B                                   (5)                              3 3 = A   B   3AB A  B        3 3 2 2 A  + B  =  A + B A   AB + B                                   (6)       3 3 2 2 A   B  =  A  B A  + AB + B                                    (7)  KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Bình phương của đa thức   2 2 2 2 1 2  n 1 2 n 1 2 1 3 1 n (a  + a + ... + a )  = a  + a  + ... + a  + 2a a  + 2a a  + ... + 2a a                                    2 3 2 4 2 n n1 n + 2a a  + 2a a  + ... + 2a a  + ... + 2a a .  3 A + B  = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3                               (4)  Đặc biệt, với n = 3 ta có :  2 2 2 2 (a + b + c)  = a  + b  + c  + 2ab + 2ac + 2bc. 

Chuyên đề 2

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

  A + B2 = A  + 2AB + B 2 2      (1) 

  A - B2 = A  - 2AB + B 2 2      (2)      

A - B  -  A + B A - B       (3) 

       = A  + B  + 3AB A + B 3 3   

A - B  = A  - 3A B + 3AB  - B       (5) 

       = A  - B  - 3AB A - B 3 3   

A  + B  =  A + B A  - AB + B       (6) 

  A  - B  =  A - B A  + AB + B 3 3    2 2       (7) 

KIẾN THỨC BỔ SUNG

1 Bình phương của đa thức

(a  + a +   + a )  = a  + a  +   + a  + 2a a  + 2a a  +   + 2a a  

      + 2a a  + 2a a  +   + 2a a  +   + 2a a 2 3 2 4 2 n n-1 n  

3

A + B  = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3       (4) 

2 2 2 2

(a + b + c)  = a  + b  + c  + 2ab + 2ac + 2bc. 

2 Luỹ thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu-tơn)

Cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được : 

        Với n = 0     thì      a + b0= 1 

        Với n = 1     thì      a + b  = a + b1  

        Với n = 2     thì       2 2 2

a + b  = a  + 2ab + b  

        Với n = 3     thì      a + b3 = a  + 3a b + 3ab  + b 3 2 2 3 

        Với n = 4     thì       a + b 4 = a  + 4a b + 6a b  + 4ab  + b 4 3 2 2 3 4 

        Với n = 5     thì      a + b5 = a  + 5a b + 10a b  + 10a b  + 5ab  + b 5 4 3 2 2 3 4 5   

Ta nhận thấy khi khai triển  n

(a+b)  ta được một đa thức có n + 1 hạng tử, hạng tử  đầu là a n, hạng tử cuối là b n, các hạng tử còn lại đều chứa các nhân tử a và b. 

Vì vậy (a+b)  = B(a) + b  = B(b) + a n n n  

3 Bảng các hệ số khi khai (a+b) n

Với n = 0   : 1     

Với n = 1   : 1     1 

Với n = 3   : 1     3     3      1 

Với n = 4   : 1     4     6      4    1 

Với n = 5   : 1     5     10   10   5    1 

………. 

- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1 

- Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái  của số liền trên. 

Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan. 

B MỐT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn : 

  5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c  =  3a - 5b  

     

2

Ta có  5a - 3b + 4c 5a - 3b - 4c  =  3a - 5b

<=>  5a - 3b  + 4c 5a - 3b  - 4c  =  3a - 5b

<=>  5a - 3b  -  4c  =  3a - 5b

<=> 25a  - 30ab + 9b  - 16c  = 9a  - 30ab + 25b

<=> 25a  - 9a2  + 9b  - 25b  - 16c

 = 0

<=> 16a  - 16b  - 16c  = 0 

<=> 16a  = 16b  + 16c  <=> a  = b  + c

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c chính là một tam giác vuông. 

a  M = x  + y  ;        b  N = x  + ) )  y  ;         c  P =  x  - y )  

 

2

2

2

)

y

=  x + y  - 4xy =  -9 2 - 4.18 = 9

Suy ra x - y = ±3

P = x  - y  =  x - y x + y  = 3 -9  = -27  

Ví dụ 8. Cho x + y = -9 ; xy = 18. Không tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị  của các biểu thức sau : 

Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của  các biểu thức M, N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới  dạng các biểu thức 

có (x + y) và xy. 

a  M = x  + y  = x  + 2xy + y  - 2xy =  x + y  - 2xy

=  -9  - 2.18 = 45

b) N = x  + y  = x  + 2x y  + y  - 2x y  =  x  + y 2 - 2 xy

= 45  - 2.18  = 1377

c  Ta có  x - y  = x  - 2xy + y  = x  + 2xy + y  

• Nếu x - y = -3 thì  2 2       

P = x  - y  =  x - y x + y  =  -3 -9  = 27.. 

Ví dụ 9. Tìm x, y, z biết: 

 2

x  - 6x + y  + l0y + 34 = - 4z - l  

Giải

x  - 6x + y  + l0y + 34 = - 4z - l    

x  - 6x + 9  +  y  + l0y + 25  = - 4z - l  

       x - 32  +  y + 5 2+  4z - l 2  = 0 

Ta thấy   x - 3 2  0 ;  y + 5 2  0 ;  4z - l 2  0   

Mà x - 32 +  y + 5 2 +  4z - l 2 = 0. 

nên 

2

2 2

(x - 3)  = 0 x = 3

(y + 5)  = 0 <=> y = -5

1 (4z - 1)  = 0 z = 

4





Nhận xét: Ta gọi phương pháp giải trong ví dụ trên là phương pháp "Tổng các 

bình phương". Nội dung của phương pháp này dựa vào nhận xét: 

A   0; B  0; C   0

Nếu có A +B +C =0  thì 2 2 2 2 2 2

A =B =C =0  

Lập phương hai vế ta được  3 3

(a + b)  (-c)  

Suy ra a  + b  +3ab(a + b) = - c  3 3 3  

Thay a + b = -c vào đẳng thức trên ta được  3 3   3

 a  + b  + 3ab -c  = -c  

Do đó  a  + b  + c  = 3abc  3 3 3

Lưu ý

• Nên nhớ kết quả của ví dụ này để vận dụng giải nhiều bài toán khác. 

• Trong quá trình giải ví dụ trên ta đã khai triển (a+b)3 thành a  + b  3 3  3ab(a + b)   (1) tiện lợi hơn là khai triển thành  3 2 2 3

a  + 3a b + 3ab  + b  (2) vì trong khai triển (1) có 

Ví dụ 11. Số a = 831000 - 1là số nguyên tố hay hợp số ? 

3  3 nên ta đặt 31000 = 3  (n n N*). 

Do đó a = 8  - 1(8 )  - 13n n 3 3 

      = (8  - 1)(8  + 8  + 1).n 2n n  

Số a là tích cửa hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên a là hợp số. 

Ví dụ 12. Chứng minh đẳng thức 

sẵn (a + b) để thay bằng - c ra kết quả được nhanh chóng. 

 5    2 2

a5 - b5 -  a - b  = 5ab a - b a  - ab + b  

Giải

• Xét vế trái T :  5 5  5

T = a  - b  -  a - b  

       5 5  5 4 3 2 2 3 4 5

= a  - b  -  a  - 5a b + 10a b  - 10a b  + 5ab  - b  

      = a  - b  - a  + 5a b - 10a b  + 10a b  - 5ab  + b5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 

      = 5a b - 10a b  + 10a b  - 5ab 4 3 2 2 3 4  

• Xét vế phải P : 

P = 5ab a - b a  - ab + b  = 5ab a  - 2a b + 2ab  - b  

      = 5a b - 10a b  + 10a b  - 5ab 4 3 2 2 3 4  

Vậy T = P. 

Ví dụ 13. Cho a + b + c2 = 3 ab + bc + ca   Chứng minh rằng a = b = c. 

     

<=> a  + b  + c  - ab - bc - ca = 0

<=>   a  - 2ab + b  +  b  - 2bc + c  +  c  - 2ca + a  = 0

<=>  a - b  +  b - c  +  c - a  = 0

<=>  a - b  =  b - c  =  c - a

2 = 0  vì  a - b    0 ;  b - c    0 ;  c - a    0

a - b = 0

<=>  b - c = 0 <=> a = b = c. 

c - a = 0











C BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của 

biến: 

 a  5 x + 4 )    + 4 x - 5 2 - 9 4 +  xx - 4 ;  

b   x + 2y )  +  2x - y  - 5 x + y x - y  - 10 y + 3 y - 3  

2. Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí: 

a) 413(413 - 26) + 169; 

b) (625  + 3)(25  - 3) - 5  + 10; 

41  + 39  + 82.39

41  - 39  

3 Tìm x biết: 

a) (5x - 1)  - (5x - 4)(5x + 4) = 7; 

2 2 2

b) (4x - 1)  - (2x + 3)  + 5(x + 2)  + 3(x - 2)(x + 2) = 500. 

A = (x +x+1)(x -x+1)(x -x +1). 

Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến. 

5 Tìm x biết: 

a   x + 4 x  - 4x + 16  - x x - 5 x + 5  =  ) 264 ; 

b   x - 2  -  x - 2 x  + 2x + 4  + 6 x - 2 x + 2   ) = 60. 

6 Tìm giá trị của biểu thức : 

a  A = x  - 15x  + 75x )  - 124 tại x = 35; 

b  B = x  + 18x  + 108 ) x + 16 tại x = -2; y = 1

2. 

7 Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện a = b + c. Chứng minh rằng : 

3 3

3 3

 = 

a +c a+c 

8. Thu gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau : 

b) (a+b+c)  + (-a+b+c)  + (a-b+c)  + (a+b-c)  với  2 2 2

a +b +c  = 10. 

9 Chứng minh đẳng thức : 

(x+y)  + x  + y  = 2(x +xy+y )  

a) (a+b+c) 2  + (a++b-c) 2  - 2(a+b) 2 

 5  6  4

a x + 1 ;         b x + 1 ;       c x  ) ) ) - 1