Chuyên đề 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác. 2. Các phương pháp thường dùng : Đặt nhân tử chung Dùng hằng đẳng thức Nhóm các hạng tử Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặc biệt khác (xem chuyên đề nâng cao 1). KIẾN THỨC BỔ SUNG 1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức 2 2 3 3 2 2 n n n1 n2 n2 n1 a b = a b a + b a b = a b a + ab + b là : A B = A B A + A B + ... + AB + ... +B . 2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức 3 3 2 2 a + b = a + b a ab + b là : n n n1 n2 n3 2 n2 n1 A + B = A + B A A B + A B ... AB + B
Trang 1Chuyên đề 3
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác.
2. Các phương pháp thường dùng :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm các hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặc biệt khác (xem chuyên đề nâng cao 1).
KIẾN THỨC BỔ SUNG
1 Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức
a - b = a - b a + b
a - b = a - b a + ab + b là :
A - B = A - B A + A B + + AB + +B
2 Dạng tổng quát của hằng đẳng thức
a + b = a + b a - ab + b là :
Trang 2
A + B = A + B A - A B + A B - - AB + B với n lẻ.
3 Áp dụng vào tính chất chia hết
A - B A - B với n N và A B.
A + B A - Bvới n lẻ và A -B.
A - B A - B với k N và A ±B.
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 14. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lí:
A = x - 3 - 8x + 3 3 - x + x x - 3 tại x = 103
Giải. Ta có A = x - 3 2 - 8x + 3 3 - x + x x - 3
= x - 3 2 + 8x + 3 x - 3 + x x - 3
= x - 3 x - 3 + 8x + 3 + x = 10x x - 3
Với x = 103 thì A = 10.103.(103 - 3) = 103000.
Nhận xét : Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng. Một trong các ứng
dụng đó là tính giá trị của biểu thức. Phương pháp phân tích trong ví dụ này là phương pháp đặt nhân tử chung.
Ví dụ 15. Phân tích đa thức thành nhân tử
B = x + 9 2 - 36x
Trang 3Ta có 2 2 2 2
B = x + 9 2 - 36x = x + 9 2 - 6x
= x + 9 - 6x x + 9 + 6x = x - 3 x + 3
Ví dụ 16. Tìm các cặp số nguyên tố (x ; y) sao cho 2 2
x - 1 = 2y
Giải.
Ta có x - 1 = 2y 2 2
Suy ra x - 12 là số chẵn, do đó x2 là số lẻ và x là số lẻ.
Từ đề bài, suy ra 2
x - 1 x + 1 = 2y
Vì x là số lẻ nên x - 1 và x + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Do đó tích (x - 1)(x + 1) 4, suy ra 2 y 4.2
Vậy y 22 và y là số chẩn, suy ra y = 2.
Nhận xét: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong ví dụ 15 và 16 là
phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử còn giúp ta vận dụng được các tính chất chia hết từ đó tìm được các số thoả mãn điều kiện cho trước.
Ví dụ 17. Phân tích đa thức thành nhân tử
Thay y = 2 vào đề bài ta được x2 - 1 = 8 <=> x2 = 9 mà x là số nguyên tố nên x =
3. Vậy cặp số nguyên tố cần tìm là x = 3 ; y = 2.
Trang 4 2
C = ax - ay - bx + by + y - x
Giải.
Ta có C = ax - ay - bx + by + y - x 2
= a x - y - b x - y + x - y 2 = x - y a - b + x - y
Cảnh báo : Viết y - x2 = - x - y 2 là sai vì y - x 2 = x - y 2
Ví dụ 18. Cho x, y, z là các số hữu tỉ thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng số m = (x + 1)(y + 1)(z + 1) là bình phương của một số hữu tỉ.
Giải
x + 1 = x + xy + yz + zx = x x + y + z x + y = x + y x + z
y + 1 = y + xy + yz + zx = y y + x + z y + x = y + z y + x
z + 1 = z + xy + yz + zx = y x + z + z z + x = z + x z + y
Do đó m = x + y x + zy + zy + xz + xz + y = x + yy + zz + x2.
Vì x, y, z là các số hữu tỉ nên x + y, y + z và z + x là những số hữu tỉ, tích của chúng là số hữu tỉ. Do đó m là bình phương của một số hữu tỉ.
Ví dụ 19. Phân tích đa thức thành nhân tử
M = 5x - 10 x - 1 - 3x - 6 x - 2x + 1
Trang 5
= 5 x - 2 x - lx + 1 - 3 x - 2 x - l2
= x - 2 x - l 5 x + 1 - 3 x - 1 = x - 2 x - l 2x + 8
= 2 x - 2 x - l x + 4
Ví dụ 20. Phân tích đa thức thành nhân tử
N = 5x + 3x y - 20x y - 12xy4 3 2 2 3
Giải. 4 3 2 2 3 3 2
N = 5x + 3x y - 20x y - 12xy = x 5x + 3y - 4xy 5x + 3y
2 2
= x 5x + 3y x - 4y = x 5x + 3y x - 2y x + 2y
Ví dụ 21. Phân tích đa thức thành nhân tử P = 6x - 150y + 60y – 6 2 2
Giải. P = 6x - 150y + 60y - 6 2 2
= 6 x - 25y + l0y - 1 = 6 x - 25y - l0y[ + 1
= 6 x - 5y - l = 6 x - 5y + l x + 5y - 1
Nhận xét: Khi phải phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân
tử được triệt để ta thường dùng phương pháp đặt nhân tử chung trước (nếu có thể), các phương pháp khác sau. Mỗi phương pháp có thể dùng nhiều lần.
C BÀI TẬP
Trang 6• Phương pháp đặt nhân tử chung
1 Phân tích đa thức thành nhân tử
2
a 8x + y - 12x y ;
b a - b - b - a a - 3b ;
c a a - b a + b - b - a a - 5ab
)
)
2 Chứng minh rằng :
a 792 - 79.29 50 ; b 2165 + 4.613 ) ) 4 0
3 Tìm một số biết rằng bình phương của nó bằng 4 lần lập phương của số ấy.
4. Phân tích đa thức thành nhân tử
a x - 9 x - 7 + 1 ; b x - y ; c x + x - l) ) ) + 4x + 4x.
5 Phân tích đa thức thành nhân tử
a x + 2y - 3 ) - 4 x + 2y - 3 + 4 ; b x - y ) - 1 - 3 x - y x - y - 1
6 Tìm các cặp số nguyên (x ; y) sao cho x + 102 = y 2 2
7 Phân tích đa thức thành nhân tử
a x + 2x - 3x ) - 6 ; b 2a c - 2abc + bd -) 2 2 acd ;
2
c 12x - 3xy - 8xz ) + 2yz
8. Cho x + y + z = 0, chứng minh rằng : x + x z + y z - xyz + y = 0 3 2 2 3
Trang 79 Phân tích đa thức thành nhân tử :
a x) x + l 2 - 49x ; 2 2
b x - 9) + 12x x - 3
c x - z) x + z - y 2x - y
10 Phân tích đa thức thành nhân tử :
a a + b + c - a - b - c
b 4ab a - b - 6 a3 + a b - ab - b + 9 a
)
.