TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ 6PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Chuyên đề 2 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. 2. Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. 3. Phép cộng các phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp 4. Muốn trừ phân thức A B cho phân thức C D , ta cộng A B với phân thức đối của C D B D B D B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 7. Thực hiện phép tính 2 2 2 3 2 1 x 3 + . x 1 x +x x x Giải. 2 2 2 3 2 1 x 3 + . x 1 x +x x x 2 2 2 1 x 3 2x(x1)+x 3 = + = (x1)(x+1) x(x+1) x(x1)(x+1) x(x1)(x+1) 2 x +x2 (x1)(x+2) x+2 = = = . x(x1)(x+1) x(x1)(x+1) x(x+1) Ví dụ 8. Cho biểu thức A

Chuyên đề 2

PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức

2 Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được

3 Phép cộng các phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp

4 Muốn trừ phân thức A

B cho phân thức C

D, ta cộng A

B với phân thức đối của C

D

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 7 Thực hiện phép tính

2

Giải

2

(x-1)(x+1) x(x+1) x(x-1)(x+1) x(x-1)(x+1)

2

x(x-1)(x+1) x(x-1)(x+1) x(x+1)

Ví dụ 8 Cho biểu thức

- = + (- ).

a) Rút gọn P;

b) Tìm x Z để

2

2

2

2 2x-1 x +6x+2

x-1 x +x+1 1-x

2(x +x+1)+(2x-1)(x-1)+x +6x+2

=

(x-1)(x +x+1) 2x +2x+2+2x -2x-x+1+x +6x+2

=

(x-1)(x +x+1) 5x +5x+5 5(x +x+1) 5

(x-1)(x +x+1) (x-1)(x +x+1) x-1

b) P có giá trị nguyên <=> 5

1

x  có giá trị nguyên <=> (x - 1)Ư(5) = {± 1 ; ± 5}

Vậy khi x  {-4 ; 0 ; 2 ; 6} thì P có giá trị nguyên

Ví dụ 9 Cho n  Z Chứng minh rằng biểu thức

125n 25n 5n

A = + +

6 2 3 có giá trị nguyên

Giải

Ta có

125n +75n +10n 5n(25n +15n+2)

= 5n(5n+1)(5n+2)

6

Ta thấy tích 5n(5n + 1)(5n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho

6 Do đó A = 6.k = k

6 (k  Z)

Ví dụ 10 Rút gọn các biểu thức sau :

a) A = + + ;

(x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y)

b) B = + +

(x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y)

Giải

(x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y)

(z-y)+(x-z)+(y-x)

(x-y)(y-z)(z-x)

(x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y)

yz(z-y) + zx(x-z) + xy(y-x)

=

(x-y)(y-z)(z-x)

= yz(z-y) + zx(x-z) - xy[(z-y) + (x-z)]

(x-y)(y-z)(z-x) y(z-y)(z-x) + x(x-z)(z-y) (z-y)(z-x)(y-x)

(x-y)(y-z)(z-x) (x-y)(y-z)(z-x)

Lưu ý: Nên ghi hớ kết quả các bài toán ở ví dụ này để áp dụng vào giải một số bài

toán khác được nhanh chóng

Ví dụ 11 Cho a, b, c và x, y, z là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện a +b+ = 0c

và a +b+ = kc

x y z Tính tổng

x y z

S = + +

a b c

Giải

 Từ điều kiện a +b+ = 0c

x y z , suy ra ayz+bxz+cxy = 0

xyz

hayayzbxz+cxy0

 Từ điều kiện a +b+ = kc

x y z suy ra

2

hay

2

Nhưng cxy+ayz+bzx = 0 nên

2

x y z + + = k

a b c

Ví dụ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

10x -6x+2

x +1

Giải

Ta có

Ta có

2

2

(3x-1)

0

x +1  (dấu “=” xảy ra khi

1 3

x  ) nên P 1.

Do đó min P = 1 khi 1

3

x 

C BÀI TẬP

Cộng, trừ các phân thức không có điều kiện ràng buộc giữa các biến

1 Làm các phép tính:

a) - ; b) +

2 Tính bằng cách hợp lí:

x -xy y +xy 2xy

x -2xy+y x +2xy+y y -x

x -(x-1) x -(x -1) x (x-1) -1

(x +1) -x x (x+1) -1 x -(x+1)

3 Cho nZ, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a) A= - + ; b) = - - +

4 Tính tổng:

(y-z)(x +xz-y -yz) (z-x)(y +xy-z -xz)

1 +

(x-y)(z +yz-x -xy)

5 Tìm x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên:

a) A = ; b) B =

Cộng trừ các phân thức có điều kiện ràng buộc giữa các biến

6 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = 5a-b + 3b-2a

3a+7 2b-7 với

7 7

a ; b

3 2

  ; và 2a – b = 7

b) B = 8a+5b + 3a+b

5a-1 4b+1 với

  ; và 3a + 5b = -1

7 Tính tổng:

a) P = x - y + z

-xy+x+1 yz-y+1 xz+z-1

với xyz = 1 và các mẫu thức đều khác 0

b) Q = x + y + 2z

xy+x+2 yz+y+1 xz+2z+2

với xyz = 2 và các mẫu thức đều khác 0

8 Cho x, y, z đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện :

xy + yz + zx = 0

Tìm giá trị của tổng

A = + +

x +2yz y +2zx z +3xy

9 Cho x, y, z khác 1 và xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng

1-x 1-y 1-z (1-x )(1-y )(1-z )

10 Cho xyz 0 và x + y + z = 0 Tính:

y +z -x z +x -y x +y -z