Chuyên đề: Tìm hệ số của đa thức

TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 1.. Biết giá trị của biểu thức chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x.. Biết rằng với mọi giá trị nguyên của x thì giá trị của đa thức đều chia hết cho 5..

TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 1 Biết A x yz, B xy z; C xyz và    2  2  2 x y z 1 Chứng tỏ rằng A B C    xyz.

Bài 2 Cho A 8x y ; B 5 3 2x y ; C 6 3 6 x y Chứng tỏ rằng : 7 3 Ax 2Bx C 0  

Bài 3 Rút gọn:

a, n n



1

10 66 10 b, n  n  – n  n



90 10 10 10

Bài 4 Cho f x ax2bx c 0 với mọi giá trị x CMR: a b c  0

Bài 5 Cho f x  ax2 bx c

với a,b,c là số nguyên Biết giá trị của biểu thức chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x CMR: a, b, c đều chia hết cho 3.

Bài 6 : Chứng minh rằng: P(x)ax3bx2cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi a, b, a b c6 2   và d là số nguyên

Bài 7 Cho đa thức f x    ax3bx2cx d

với a,b,c,d là các số nguyên Biết rằng với mọi giá trị nguyên của x thì giá trị của đa thức đều chia hết cho 5 Cmr: a, b, c, d đều chia hết cho 5

Bài 8 Đa thức f x ax2bx c

có a,b,c là các số nguyên và  a 0 Biết với mọi giá trị nguyên thì f(x) chia hết cho 7 Chứng minh a,b,c cũng chia hết cho 7

Bài 9 Hai đa thức ax 2 bx c và  a’x 2b’x c’ có giá trị bằng nhau với mọi giá trị của x. Chứng minh rằng a a',b b',c c'  

Bài 10 Cho đa thức f x = ax  2 bx c

thỏa mãn f 1  f 1

Chứng minh rằng

    

Bài 11.Cho hàm số f(x) thỏa mãn f x 2 f 2 x   3x

(1) với mọi số thực x Tính f 2  ?

Bài 12 Cho đa thức f x 

thỏa mãn f x x f x  x 1

Chứng minh rằng f x f x

Bài 13.Cho A x   ax2bx c.

Tìm a,b,c biết : 3a2b c 7; a b 4; A 2 10 .

Bài 14 Cho A x   ax3bx2cx d.

Tìm a,b,c,d biết A 0 1; A 1 0; A 2 5; A 3 32

TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 15.Biết A x yz, B xy z; C xyz và    2  2  2 x y z 1 Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz.

Bài 16.Cho A 8x y ; B 5 3 2x y ; C 6 3 6 x y Chứng tỏ rằng : 7 3 Ax 2Bx C 0  

Bài 17.Rút gọn:

a, 10 n+1 - 66.10 n b, 2 n+ 3 + 2 n +2 – 2 n + 1 + 2 n c, 90.10 k – 10 k+2 + 10 k+1

Bài 18.Cho f(x)=ax 2 +bx+c=0 với mọi giá trị x CMR: a=b=c=0

HD: vì f(x)=0 với mọi x =>f(0)=0 suy ra c=0; f(1)=0 suy ra a+b=0 (1) ; f(-1)=0 suy ra a-b=0(2) Từ (1) và (2) suy ra a=b=c=0.

Bài 19.Cho f(x)=ax 2 +bx+c với a,b,c là số nguyên Biết giá trị của biểu thức chia hết cho 3 với

mọi giá trị nguyên của x CMR: a, b, c đều chia hết cho 3

HD: vì f(x) chia hết cho 3 với mọi x nên f(0)⋮3 hay c⋮3, f(1)⋮ 3 và f(-1)⋮ 3 nên a+b ⋮ 3 và a-b⋮ 3, suy ra a⋮3 và b⋮3.

Bài 20.Cho hàm số f(x) thỏa mãn f x 2 f 2 x   3x

(1) với mọi số thực x Tính f 2  ? HD: Ta có:với x=2 thay vào (1) ta được: f(2) +2.f(0)=6 (3) Thay x=0 vào (1) ta được:

f(0)+2.f(2)=0(4)

Từ (3) và (4) =>f(2)=-2

Bài 21.: Chứng minh rằng: P(x)ax3bx2 cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

HD :

f(0) = d (1) ; f(1) = a + b + c + d (2) ; f(-1)=-a+b-c+d (3); f(2) = 8a +4 b + 2c + d (4) -Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x thì từ (1) => d nguyên.

Vì a+b+c+d nguyên và –a+b-c+d nguyên nên (a+b+c+d) +(-a+b-c+d) nguyên hay 2b+2d nguyên mà d nguyên suy ra 2b nguyên.

Vì f(2) =8a+4b+2c+d=(a+b+c+d)+(a+b+c)+2b+6a nguyên mà a + b + c; a + b + c + d ; 2b nguyên nên 6a

-Chiều ngược lại chứng minh tương tự

Bài 22.Cho đa thức f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d với a,b,c,d là các số nguyên Biết rằng với mọi giá trị nguyên của x thì giá trị của đa thức đều chia hết cho 5 Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5

HD: Tính f(0)⋮ 5 => d⋮ 5, f(1)⋮ 5 nên a+b+c ⋮ 5; f(-1)⋮ 5 nên –a+b-c ⋮ 5 => b ⋮ 5 và a+c ⋮ 5 (1) f(2) ⋮ 5 => 4(2a+b) ⋮ 5 nên 2a+b ⋮ 5 (2) Từ (1) (2) suy ra a ⋮ 5, c⋮ 5.

Bài 23.Đa thức f(x)=ax 2 +bx+c có a,b,c là các số nguyên và  a 0 Biết với mọi giá trị nguyên thì f(x) chia hết cho 7 Chứng minh a,b,c cũng chia hết cho 7

HD: Tính f(0); f(1); f(-1)

Bài 24.Cho A(x)= ax 2 +bx+c Tìm a,b,c biết : 3a+2b+c=7; a+b=4; A(2)=10.

HD: A(2)=4a+2b+c=10(1); 3a+2b+c=7 (2); a+b=4 (3) Lấy (1)-(2) theo vế ta được: a=3 thay vào (3) được b=1, thay a=3, b=1 vào (1) được c=-4.

Bài 25.Cho A(x)= ax 3 +bx 2 +cx+d Tìm a,b,c,d biết A(0)=1; A(1)=0; A(2)=5; A(3)=32

HD: A(0)=1 nên d=1; A(1)=0 nên a+b+c=-1; A(2)=5 nên 8a+4b+2c=4 ; A(3)=32 nên

27a+9b3c=31