Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)

Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN DUY TÂN

Thái Nguyên - Năm 2017

Mục lục

1.1 Đa thức chia đường tròn 4

1.2 Một số tính chất 5

1.2.1 Đa thức chia đường tròn có hệ số nguyên 5

1.2.2 Công thức nghịch đảo M¨obius và công thức truy hồi tuyến tính đa thức chia đường tròn 9

1.3 Mọi số nguyên đều là hệ số của đa thức chia đường tròn 14 Chương 2 Hệ số của đa thức chia đường tròn Φpq(x) 17 2.1 Một định lý của Lam - Leung 17

2.2 Kết quả chính 21

Chương 3 Hệ số của đa thức chia đường tròn Φpqr(x) 26 3.1 Chặn trên cho hệ số của đa thức Φpqr(x) 26

3.1.1 Số Fk 28

3.1.2 Chứng minh Định lý 3.1.1 31

3.1.3 Chứng minh Định lý 3.1.2 35

3.2 Một vài hệ quả 36

3.3 Tính chất nhảy đơn vị (jump one) của hệ số 38

Lời nói đầu

Ta đã biết rằng với mỗi số nguyên dương n, có đúng n căn bậc n củađơn vị: ξk = cos2kπ

n + i sin

2kπ

n , k = 0, 1, , n − 1 Chú ý rằng ξk là cănnguyên thủy bậc n của đơn vị nếu và chỉ nếu gcd(k, n) = 1 Vì thế cóđúng ϕ(n) căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, trong đó ϕ là hàm Euler.Gọi ξkϕ1, , ξkϕ(n) là các căn nguyên thủy bậc n đơn vị Khi đó đa thứcchia đường tròn thứ n, kí hiệu là Φn(x), là đa thức bậc ϕ(n) được chobởi công thức Φn(x) = (x − ξk) · · · (x − ξkϕ(n)) Mục đích của luận vănnày là tìm hiểu một số tính chất của hệ số của đa thức chia đường tròn.Luận văn gồm 3 chương Chương 1 định nghĩa đa thức chia đườngtròn Trong chương này một số tính chất của đa thức chia đường tròn có

hệ số nguyên được chứng minh Chúng tôi chứng tỏ rằng Φn(x) có các

hệ số đều nguyên Hơn nữa, công thức nghịch đảo Mobius và công thứctruy hồi tính đa thức chia đường tròn cũng được trình bày Chương 2 cónội dung nói về hệ số của đa thức chia đường tròn Φpq(x) trong đó p, q

là hai số nguyên tố khác nhau Chương này sẽ chứng minh một định lýcủa Lam - Leung và xác định hệ số của đa thức chia đường tròn dạng

Φpq(x), các hệ quả về xác định hệ số trung tâm của nó và khẳng địnhcác đa thức Φn(x) với n < 100 đều có hệ số thuộc {−1, 0, 1} Chương 3trình bày hệ số của đa thức chia đường tròn tam phân Φpqr(x) bao gồmkết quả của Bzdega về chặn trên trên cho cho hệ số của đa thức Φpqr(x),một số hệ quả của kết quả trên và một định lý của Suzuki về khẳng địnhmọi số nguyên đều là hệ số trong một đa thức chia đường tròn nào đó.Nội dung của luận văn được viết chủ yếu dựa theo bài báo "The coef-

ficients of cyclotomic polynomials" của tác giả B Brookfield (2016), bài

báo "Bounds on ternary cyclotomic coefficients" của B Bzdega (2010)

và bài báo có nhan đề "On the coefficients of cyclotomic polynomial"

được trình bày trong hội nghị tên "Cyclotomic fields and related topics”

diễn ra ở Pune năm 2009

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học

Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy

Tân Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người

hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành

nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của em

trong suốt quá trình làm luận văn

Em cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích

cho công tác và nghiên cứu của bản thân Em xin bày tỏ lòng cảm ơn

sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học

Toán K9B2 (khóa 2015 - 2017), Nhà trường và các phòng chức năng

của trường; Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại

trường Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9B2

(khóa 2015 - 2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong

quá trình học tập, nghiên cứu

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,

lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo

điều kiện tốt nhất cho em khi học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Chương 1

Đa thức chia đường tròn

Định nghĩa 1.1.1 Cho n là số nguyên dương, đa thức chia đường tròn

thứ n là đa thức

Φn(x) = Y

1≤j≤n (j,n)=1

(x − ζnj) =

ϕ(n)Xk=0

an(k)xk

với ζn = e2πin = cos 2πn
+ sin 2π

n
là căn bậc n của đơn vị

2 , w2 =

−1

2 − i

√3

2 có bậc 3 nên

Φ3(x) = x − −1

2 + i

√32

!!

x − −1

2 − i

√32

dạng chuẩn Vì thế, đa thức phía bên phải có dạng chuẩn Do đó, hai

đa thức ở hai vế đều có dạng chuẩn Chú ý rằng một đa thức có nghiệm

bội nếu và chỉ nếu đa thức đó và đạo hàm của nó phải có nghiệm chung

Vì thế xn− 1 không có nghiệm bội (các nghiệm của xn − 1 đều khác 0

trong khi đó đạo hàm của nó là nxn−1 chỉ có duy nhất nghiệm bằng 0)

Với mỗi ước d của n, các nghiệm của Φd(x) đều là nghiệm của xd− 1 và

do đó nó không có nghiệm bội Giả sử d và d0 là hai ước khác nhau của

n Khi đó mỗi nghiệm của Φd(x) có cấp là d, trong khi đó, mỗi nghiệm

của Φd0(x) có cấp là d0 Vì thế, các nghiệm của đa thức Q

d|n

Φd(x) đều lànghiệm đơn Giả sử ξ là nghiệm của xn − 1 Gọi d là cấp của ξ Khi đó

ξd = 1, d là số nguyên dương bé nhất có tính chất này Vì thế ξ là căn

nguyên thủy bậc d của đơn vị Suy ra ξ là nghiệm của đa thức Φd(x)

Ngược lại, cho d là ước của n và ξ là nghiệm của Φd(x) Khi đó ξd = 1

Suy ra ζn = 1 tức là ξ là nghiệm của đa thức xn − 1

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit:

www.foxitsoftware.com/shopping

1)(x − 1) Để tính Φ10(x), ta sử dụng x10− 1 = Φ10(x)Φ5(x)Φ2(x)Φ1(x).Chia x10− 1 cho Φ5(x)Φ2(x)Φ1(x) = (x4+ x3+ x2+ x + 1)(x + 1)(x − 1) =

Do đó Φn(x) là thương của xn− 1 ∈ Z[x] chia cho đa thức dạng chuẩng(x) ∈ Z[x], nên Φn(x) cũng thuộc Z[x]

Chứng minh Bởi vì Φn(x) là ước của xn− 1, ta thấy rằng Φn(xm) là ướccủa xmn − 1 Và nếu d ∈ D, thì d là ước của lcm(m, d) = mn và do đótheo Tính chất 1.2.1, vế phải của phương trình cũng là ước của xmn− 1

Một số ω ∈ C là không điểm của Φn(xm) khi và chỉ khi ord ωm = n, khi

và chỉ khi lcm(m, ord ω) = mn, khi và chỉ khi ord ω ∈ D, khi và chỉ khi

ω là không điểm của Q

k với k ∈ N sao cho k | m và gcd(n, k) = 1 Nếu

p là một ước nguyên tố của k, thì, bởi vì k | m, p là ước của m, và do

đó, theo giả thiết p là ước của n Nhưng p là ước của gcd(n, k), mâuthuẫn với gcd(n, k) = 1 Do đó k ∈ N không có ước nguyên tố, k = 1 và

d = mn, D = {mn} và Φn(xm) = Φmn(x)

Ví dụ, vì 400 = 40 · 10 và mọi ước nguyên tố của 40 đều là ước của

10, ta có

Φ400(x) = Φ10(x40) = x160 − x120 + x80− x40+ 1

Hệ quả 1.2.5 Gọi n là tích của các số nguyên tố mà là ước của m ∈ N.Khi đó Φm(x) = Φn(xm/n) Nói riêng Φm(x) và Φn(x) có cùng hệ số.Chứng minh Vì mọi số nguyên tố mà là ước của m/n đều là ước của n,nên theo Tính chất 1.2.4 ta ó Φm(x) = Φn(xmn) và Φm(x) và Φn(x) cócùng hệ số

Tính chất 1.2.6 Nếu n ∈ N lẻ, thì Φ2n(x) = Φn(−x)

Chứng minh Từ Tính chất 1.2.3, ta tìm được Φn(x2) = Φ2n(x)Φn(x).Thay x bằng −x trong phương trình này được

Φ2n(x)Φn(x) = Φ2n(−x)Φn(−x) (1.1)

Vì Φn(x2) là ước của x2n− 1, nó chỉ các không điểm đơn Để chứng minhkhẳng định đúng ta chỉ cần chứng minh không điểm của cả hai vế (1.1)giống nhau

Nếu Φn(ω) = 0, thì ord ω = n, nên nói riêng ωn = 1 Vì n lẻ, (−ω)n =

−1 và do đó −ω không có bậc n Điều này có nghĩa rằng −ω phải làmột không điểm của Φ2n(x) và có bậc 2n

Tương tự, nếu Φ2n(ω) = 0, thì ωn 6= 1 và (ωn)2 = 1 và nên ωn = −1.Kết quả là, (−ω)n = 1 và do dó −ω không có bậc 2n Điều này có nghĩa

−ω có bậc n và là không điểm của Φn(x)

Đa thức chia đường tròn có tính chất là hệ số của chúng giống nhaukhi đọc lùi hay đọc tiến Những đa thức như vậy được gọi là đa thứcthuận nghịch Đặc biệt, nếu f (x) là đa thức bậc m, thì xmf (1/x) đượcgọi là ngược của f, và f là đa thức thuận nghịch nếu nó bằng ngược của

nó, tức là nếu

f (x) = xmf 1

Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full