Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng K.. Điều ki
Trang 1Chủ đề 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ PHẦN 1
Biên soạn: Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương FB: https://www.facebook.com/tranhoaithanhvicko
CASIO TRẮC NGHIỆM https://tinyurl.com/casiotracnghiem
HỌC CASIO FREE TẠI: https://tinyurl.com/casiotracnghiem
Group: THỦ THUẬT CASIO THPT https://fb.com/groups/casiotracnghiem
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x( )xác định trên K, với K là một khoảng, nửa
khoảng hoặc một đoạn
Hàm số y f x( )đồng biến (tăng) trên K nếu
1 , 2 , 1 2 1 2
TỨC: x TĂNG thì y TĂNG; x GIẢM thì y GIẢM
Hàm số y f x( )nghịch biến (giảm) trên K nếu
1 , 2 , 1 2 1 2
TỨC: x GIẢM thì y TĂNG; x TĂNG thì y GIẢM
2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên
khoảng K
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x 0, x K
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x 0, x K
3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên
khoảng K
Nếu f x 0, x Kthì hàm số đồng biến trên khoảng K
Nếu f x 0, x Kthì hàm số nghịch biến trên khoảng K
Nếu f x 0, x Kthì hàm số không đổi trên khoảng K
Chú ý
Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số
( )
y f x liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số
Trang 2( )
y f x liên tục trên đoạn a b; và có đạo hàm f x 0, x K trên khoảng
a b; thì hàm số đồng biến trên đoạn a b;
Nếu f x 0, x K( hoặc f x 0, x K) và f x 0chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K)
B KỸ NĂNG CƠ BẢN
1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức P x( ) (LỚP 10)
Bước 1 Tìm nghiệm của biểu thức P x( ), hoặc giá trị của x làm biểu thức P x( )
không xác định
Bước 2 Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
Bước 3 Sử dụng máy tính tìm dấu của P x( ) trên từng khoảng của bảng xét
dấu
2 Xét tính đơn điệu của hàm số y f x( ) trên tập xác định
Bước 1 Tìm tập xác định D
Bước 2 Tính đạo hàm y f x ( )
Bước 3 Tìm nghiệm của f x ( ) hoặc những giá trị x làm cho f x ( ) không xác
định
Bước 4 Lập bảng biến thiên
Bước 5 Kết luận
Phương pháp casio giải các bài toán đơn điệu của hàm số
1.Hàm không chứa tham số
Cho y f x liên tục trên a b;
+) Nếu f ' x 0, x a b; suy ra f x đồng biến trên a b;
+) Nếu f ' x 0, x a b; suy ra f x Nghịch biến trên a b;
Phương pháp chung:
Đối với hàm đa thức bậc 3 và bậc 4
Bước 1: Tính y’ và giải BPT y’ > 0 hoặc y’ < 0
Trang 3Nhập wR1 để giải bất phương trình
Bước 2: Đối chiếu kết quả chọn đáp án
Phương pháp này cho kết quả nhanh nhất
Đối với các hàm khác:
Bước 1: Nhập ( )
x X
d
f x
dx Bước 2: Thử đáp án theo nguyên tắc:
+) Chọn số x0A và x0B C D; ; , nếu thỏa mãn, nhận đáp án A
+) Chọn số x0B và x0C D; ,nếu thỏa mãn, nhận đáp án B
+) Chọn số x0C và x0D,nếu thỏa mãn, nhận đáp án C
+) Nếu cả 3 lần thử đều không thỏa mãn BPT thì chọn D
Chú ý:
Ta cần tìm ra cách thử sao cho nhanh nhất, ít bước thử nhất, và tối đa là 3 lần thử
Ví dụ 1
Cho hàm số : y x3 3x2 9x1.Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
TỰ LUẬN:
TXĐ: D= R
3
x
x
Bảng biếng thiên
'
y
Vậy hàm số đồng biến trên ; 1 va 3; , nghịch biến trên 1;3
Trang 4CASIO: Hàm số y x3 3x2 9x1 đồng biến trên khoảng nào?
A ; 1 va 3; B 1;3
C 3; D ; 1 1;3
Bước 1: Nhẩm: 2
y x x
Bước 2: Nhậpw R111 (Giải bất phương trình bậc hai)
Nhập: 3=p6=p9==
Kết quả hiện lên: x 1;3x Ta chọn đáp án A
Bình luận:
Ở ví dụ này ta sử dụng chức năng giải bất phương trình cho kết quả nhanh nhất
Ví dụ 2 Cho hàm số y x42x2 2 , Hàm số nghịch biến tại
A 1;0 va 1; B ; 1 va 0;1
C ;0 va 1; D ; 1 va 1;
CASIO
Bước 1: Nhẩm 3
y x x
Bước 2: Nhậpw R122 (Giải bất phương trình bậc ba)
Nhập 4=0=p4=0==
Kết quả : (x< -1; 0< x <1) => Ta chọn đáp án: B
Ví dụ 3 Cho hàm số
2
1
y
x
A 0;1 va 1;2 C R\ 1
B ;0 va 2; D 0;2 va 2;
CASIO 1: TXĐ :R\ 1
Bước 1:Tính y’: Nhập 2 2 2 2
1
x X
x
Trang 5Bước 2: Nhập lệnh:r: X? X 100
Kết quả: 9800 Ta có biểu thức ở tử số là: 2
2
2 2
2 '
1
y x
Bước 3: NhậpwR1121=p2=0=
Kết quả : 0 x 2Ta chọn A
CASIO 2: THỬ ĐÁP ÁN
Bước 1:Nhập 2 2 2
1
x X
Bước 2: Thử X =0,5 thuộc đáp án A => Kết quả < 0 (thỏa mãn nghịch biến)
Vậy loại B vì B không chứa 0,5
Thử X =1, kết quả lỗi MATH ERROR => loại D vì D chứa 1
Thử X = 3; kết quả > 0 (ko thỏa mãn nghịch biến) vậy loại C vì C chứa số 3
Ta chọn A
Ví dụ 4 Cho 3
2
y x x x đồng biến trên
A 0;1 B 1; C 0; D ;1
CASIO:
Bước 1: Tìm TXĐ: Nhập:w R123=0=p2 X 1
TXĐ: D 1;
3
x
x x
Ta chọn đáp án B
CASIO 2: THỬ ĐÁP ÁN
2
x X
d
Bước 2: Thử X =0,5 thuộc đáp án A => Kết quả MATH ERROR ( ko thỏa mãn)
Vậy loại A; C; D vì cả 3 đáp án đều chứa số 0,5 Ta chọn B
Trang 6Ví dụ 5 Cho 3 2
A ; 2 B 2; C ; D ;1
CASIO: TXĐ: D 2;
Tính nhanh tử số của y' 3 x2 4x 2 0, x D
Ta chọn đáp án B
CASIO 2: THỬ ĐÁP ÁN
x X
d
Bước 2: Thử X = -3 thuộc đáp án A => Kết quả MATH ERROR ( ko thỏa mãn)
Vậy loại A; C; D vì cả 3 đáp án đều chứa số -3 Ta chọn B
1
y x x nghịch biến trên
;
CASIO
Bước 1: Nhập 2
1
x X
d
Bước 2: Nhậpr X Kết quả trả về: Math ERROR (Lỗi tính toán) 2
Ta loại C, B
Bước 3: Nhậpr X 0 k q / 1 0 Loại đáp án D
Ta chọn đáp án A
Ví dụ 7 Cho hàm số
2
1 1
x y x
điều nào là sai
A Đồng biến trên ;0 B Hàm số nghịch biến trên 1;
Trang 7C Đồng biến trên 0;1 D Hàm số nghịch biến trên 2; 1
CASIO:
Bước 1:Nhập
2
1
1 x X
dx x
Bước 2:
Nhậpr X=-0,1 Kết quả > 0 Ta loại A
X=1,1 Kết quả < 0 Ta loại B
X=0,1 kết quả >0 Ta loại C
X=-1,5 kết quả >0, suy ra D sai
Ta chọn đáp án D
Ví dụ 8 Cho 2 2
1
x y
Hàm số đồng biến trên:
A ;1 5 1 5; B 1 5;1 5
C ;2 7 2 7; D 2 7;2 7
CASIO
Bước 1: Nhập 2 2
1 x X
Bước 2: Nhậpr X= -10, kết quả <0 loại A, C
X=1 5 0.01 kết quả <0 loại B => Ta chọn D
Ví dụ 9 Cho hàm y x 2cos x hàm số nghịch biến tại
A 0;
6
5
;
5
;
6
CASIO
Bước 1: Nhập 2cos
x X
d
Trang 8Bước 2: Nhậpr -> X=0.01 kết quả > 0 loại A, loại D
6
6
kết quả >0 loại C
Ta chọn đáp án B
Bình luận:
Ở các ví dụ trên ta dựa vào lý thuyết của hàm đồng biến nghịch biến và sử dụng chức năng tính đạo hàm của máy tính để thử các đáp án
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Cho hàm số
1 1
x y
x Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 1;
B Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 1;
C Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1;
D Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;
y x x x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số luôn nghịch biến trên
B Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1;
C Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1;
D Hàm số luôn đồng biến trên
4 10
y x x và các khoảng sau:
(I): ; 2; (II): 2; 0; (III): 0; 2;
Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A Chỉ (I) B (I) và (II) C (II) và (III) D (I) và (III)
4 2
x y
x
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số luôn nghịch biến trên
Trang 9B Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định
C Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2và 2;
D Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2;
Câu 5 Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ?
( ) 3 10 1
g x x x x
( )
( ) 10 cos
k x x x x
Câu 6 Hỏi hàm số
2
3 5 1
x x y
x
nghịch biến trên các khoảng nào ?
A ( ; 4)và (2; ) B 4; 2
C ; 1 và 1; D 4; 1 và 1; 2
Câu 7 Hỏi hàm số
3 2
3
x
y x x nghịch biến trên khoảng nào?
A (5; ) B 2;3 C ;1 D 1;5
5
y x x x đồng biến trên khoảng nào?
A ( ; 0) B C (0; 2) D (2; )
yax bx cxd Hỏi hàm số luôn đồng biến trên khi nào?
0; 3 0
0, 0 0; 3 0
0; 3 0
0 0; 3 0
a b c
3 9 15
yx x x Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1
B Hàm số đồng biến trên
C Hàm số đồng biến trên 9; 5
D Hàm số đồng biến trên khoảng 5;
Trang 10Câu 11 Cho hàm số y 3x2 x3 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2
B Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 ; 2;3
C Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 ; 2;3
D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3
Câu 12 Cho hàm số sin , 2 0;
2
x
nào?
A 0;7 11 ;
12 và 12
7 11
;
12 12
C. 0;7 7 ;11
12 và 12 12
12 12 và 12
cos
y x x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Hàm số luôn đồng biến trên
B Hàm số đồng biến trên ;
4 k
;
4 k
C Hàm số nghịch biến trên ;
4 k
;
4 k
D Hàm số luôn nghịch biến trên
Câu 14 Cho các hàm số sau:
3 2 1
3
y x x x ; (II) : 1
1
x y x
;
2
(III) :y x 4
3 (IV) :yx 4x sinx; 4 2
(V) :yx x 2
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
Trang 11Câu 15 Cho các hàm số sau:
3 2 (I) :y x 3x 3x 1; (II) :y sinx 2x;
3
(III) :y x 2; (IV) : 2
1
x y
x
Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?
A (I), (II) B (I), (II) và (III)
C (I), (II) và (IV) D (II), (III)
D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
D A D B C D D B A B B A A C A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 Chọn D
(1 )
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1)và (1; )
Câu 2 Chọn A
' 3 6 3 3( 1) 0 ,
y x x x x
Câu 3 Chọn D
' 4 8 4 (2 )
2
x y
x
Trên các khoảng ; 2 và 0; 2, y ' 0nên hàm số đồng biến
Câu 4 Chọn B
( 4 2 )
x
Câu 5 Chọn C
'( ) 4 4 1 (2 1) 0,
f x x x x x
Câu 6 Chọn D
Trang 12TXĐ: D \ 1
2 2
2 8 '
( 1)
x x y
x
Giải
4
x
x
'
y không xác định khi x 1 Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 4; 1 và 1; 2
Câu 7 Chọn D
5
x
y x x
x
Trên khoảng 1;5 , 'y 0 nên hàm số nghịch biến
Câu 8 Chọn B
' 3 12 12 3 ( 2) 0 ,
y x x x x x x
Câu 9 Chọn A
2
2
0, 0
0; 3 0
Câu 10 Chọn B
' 3 6 9 3( 1)( 3)
trên
Câu 11 Chọn B
HSXĐ: 3x2x3 0 x 3 suy ra D ( ;3]
2
2 3
6 3 '
2 3
x x y
x x
, x ;3
Giải ' 0 0
2
x y
x
y' không xác định khi
0 3
x x
Bảng biến thiên:
Trang 13Hàm số nghịch biến ( ;0) và (2;3) Hàm số đồng biến (0; 2)
Câu 12 Chọn A
TXĐ: D ' 1 sin 2
2
y x Giải ' 0 sin 2 1 12
7 2
12
,k
Vì x 0; nên có 2 giá trị 7
12
x
và 11
12
x
thỏa mãn điều kiện
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến 0;7
12
và
11
;
12
Câu 13 Chọn A
TXĐ: D ; y 1 sin 2x 0 x suy ra hàm số luôn đồng biến trên
Câu 14 Chọn C
1 ( 1)
x
2
4
4
x
x
3 4 cos 0,
4 2 2 (2 1)
Câu 15 Chọn A
' ( 3 3 1) ' 3 6 3 3( 1) 0,
Trang 14(II):y' (sinx 2 ) 'x cosx 2 0, x ;
3
3
x
x
;