Giới hạn hàm số liên tục

Chuyên đề: Giới hạn Hàm số liên tục: + Tài liệu gồm 2 phần: Giới hạn và Hàm số liên tục + Nêu rõ lí thuyết, phân chia dạng bài tập ứng với phương pháp cụ thể để quý thầy cô và các em học sinh tham khảo Gv: Phạm Văn Quang (DongDu_BMT)

A – GIỚI HẠN DÃY SỐ

I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN

1 Các định nghĩa.

Sau đây là một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa giới hạn:

Xét dãy số với

n càng lớn thì càng nhỏ dần tới 0

ta nói: khi thì

VD 01:

Định nghĩa giới hạn hữu hạn:

Được gọi là giới hạn hữu hạn của dãy số

VD 02:

2 Các định lý giới hạn.

Định lý 1:

VD 03 Tính các giới hạn:

+ +

+ + + +

VD 04 Tính các giới hạn sau:

d) e) f)

II/ GIỚI HẠN VÔ CỰC

1 Một số giới hạn vô cực cơ bản

i)

ii)

2 Các quy tắc tính giới hạn vô cực

Quy tắc 1:

VD 05 Tính các giới hạn sau:

+ + – –

VD 06 Tính các giới hạn sau:

HD: Tử tách bậc cao nhất của tử, mẫu tách bậc cao nhất của mẫu

VD 07 Tính các giới hạn sau:

HD: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất

VD 08 Tính các giới hạn sau:

LUYỆN TẬP (Các dạng bài tập)

1 Giới hạn dãy số dạng hữu tỉ.

a) Bậc tử < bậc mẫu (giới hạn = 0): Tách bậc cao nhất.

VD 09 Tính các giới hạn sau:

a) b) c)

b) Bậc tử = bậc mẫu (giới hạn = a/b): Tách bậc cao nhất.

VD 10 Tính các giới hạn sau:

c) Bậc tử > bậc mẫu (giới hạn = ):

VD 11 Tính các giới hạn sau:

2 Giới hạn dãy số chứa căn thức.

 Dạng liên hợp:

 Dạng vô định:

Tách bậc cao nhất

– Nhân lượng liên hợp rồi tách bậc cao nhất

VD 12 Tính các giới hạn sau:

3 Giới hạn dãy số chứa hàm lượng giác.

VD 13 Tính các giới hạn sau:

4 Giới hạn dãy số chứa hàm số mũ.

VD 14 Tính các giới hạn sau:

5 Một số giới hạn khác.

VD 15 Tính các giới hạn sau:

6 Tổng cấp số nhân lui vô hạn.

Định nghĩa:

với u1 là số hạng đầu tiên và q là công bội (|q|<1)

VD 16: a) Tìm tổng của cấp số nhân:

b) Biểu diễn các số 0,77777(7); 0,313131313131(31) dưới dạng phân số

c) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết u2 = và tổng là 15

B – GIỚI HẠN HÀM SỐ

I/ Các định lí giới hạn.

Một số giới hạn cơ bản:

,

+ + + +

VD 17 Tính các giới hạn sau:

+ +

VD 18 Tính các giới hạn sau:

II/ Giới hạn một bên

* Một vài khái niệm:

i) Nếu thì hàm số có giới hạn bên phải và bên trái tại xo và

ii) Ngược lại: thì hàm số có giới hạn tại điểm xo và

iii) Các định lí 1, định lí 2 vẫn đúng trong giới hạn 1 bên.

VD 20 Tính các giới hạn sau:

d) e) f)

VD 22 Tính các giới hạn sau:

III/ Quy tắc tìm giới hạn vô cực

1 Giới hạn cơ bản:

2 Các quy tắc tính giới hạn vô cực.

Quy tắc 1:

Dấu của L + + – –

VD 23 Tính các giới hạn sau:

Quy tắc 2:

VD 24 Tính các giới hạn sau:

IV/ Một vài giới hạn khác.

VD 25 Tính các giới hạn sau:

LUYỆN TẬP (Các dạng vô định)

1 Dạng : Tách nhân tử chung (hoặc nhân liên hợp rồi tách nhân tử)

VD 26 Tính các giới hạn sau:

2 Dạng : Chuyển về dạng

VD 27 Tính các giới hạn sau:

3 Dạng : Nhân liên hợp

VD 28 Tính các giới hạn sau:

BÀI TẬP (Bài tập tự rèn luyện).

1 Tính các giới hạn sau:

2 Tính các giới hạn sau:

m) n) o)

3.Tính các giới hạn sau:

C – HÀM SỐ LIÊN TỤC

ĐN: Nếu thì liên tục tại điểm xo, ngược lại gọi là gián đoạn tại xo

liên tục tại mọi điểm thuộc tập J thì nó liên tục trên J

liên tục trên liên tục trên và

VD: Xét tính liên tục của hàm tại điểm

Cm liên tục trên

Xét tính liên tục của hàm số

Cm

 Chú ý:

i) Tổng, hiệu, tích, thương (giá trị mẫu tại xo phải khác 0) của 2 hàm liên tục tại điểm xo là những hàm liên tục tại xo

ii) liên tục tại xo, liên tục tại thì hàm liên tục tại xo

iii) Hàm đa thức và liên tục trên tập xác định của chúng

iv) Đồ thị của hàm liên tục là một đường liền nét

VD: Xét tính liên tục của hàm

Xét tính liên tục của hàm

Theo dõi hình để thấy tính liên tục của các hàm số:

 Định lí (về giá trị trung gian của hàm số liên tục):

f liên tục trên và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho

VD: Cm có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 1

Xét tính liên tục của hàm số

Chứng minh có ít nhất 1 nghiệm thuộc

Tìm a để liên tục trên

Chứng minh có ít nhất 1 nghiệm

D – LUYỆN TẬP

Đây là các bài tập tự làm, thầy chỉ hướng dẫn giải một số bài cho các em, yêu cầu các em phải tự làm hoàn thành để thầy kiểm tra sau khi dạy xong phần giới hạn

Không còn nhiều thời gian nữa, các kì thi đã đến gần, tương lai của các em phụ thuộc vào chính nỗ lực của bản thân các em Nếu các em không chăm chỉ thì thầy cũng đành pó tay thui! Hãy cố gắng lên

1 Tìm các giới hạn sau:

2 Tìm các giới hạn sau:

3 Tìm các giới hạn sau:

4 Tìm các giới hạn sau:

5 Tính:

6 Tính tổng: và

7 Trong các hình vuông cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên

tiếp để được 1 hình vuông, tiếp tục nối như thế với hình vuông mới để được

hình vuông tiếp theo và cứ tiếp tục quá trình trên mãi Tính tổng của các

hình vuông được tạo thành (hình vẽ)

4 Biểu diễn số 0,2525252(25); 0,50111(1); 17,2354141(41) dưới dạng phân số

8 Tổng CSN lùi vô hạn là , tổng 3 số hạng đầu là Tìm số hạng đầu và công bội của CSN trên

9 Tìm các giới hạn sau:

10 Tính

11 Tìm các giới hạn sau:

12 Cho hàm số:

Tính giới hạn của hàm số tại -2 và tại 1

Tính giới hạn của hàm số khi

Tìm a để hàm số có giới hạn tại 1

Tìm a để hàm số có giới hạn tại 1

Tìm a để hàm số có giới hạn tại 0

13 Chứng minh rằng:

Liên tục trên R

Liên tục tại x = 1

Liên tục khi trên đoạn

Liên tục khi a = 2 trên R

14 Cho hàm số:

Tìm a để hàm số liên tục tại 2

Tìm a để hàm số liên tục tại 4

Tìm a để hàm số liên tục tại 2

Tìm a để hàm số liên tục tại 0

Xét tính liên tục của hàm số tại 0 và tại 1

Xét tính liên tục của hàm số tại 0 và tại 4

15 Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:

16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

17 Chứng minh phương trình:

luôn có nghiệm luôn có nghiệm

có ít nhất 2 nghiệm

có ít nhất 2 nghiệm trong

có ít nhất 1 nghiệm với mọi m

có nghiệm trong khoảng

có đúng 1 nghiệm trong khoảng

có đúng 1 nghiệm trong khoảng

E – ÔN TẬP

1

2

3 Biểu diễn số 0,565656(56); 0,571222(2) dưới dạng phân số 4.Cho CSN với

a) Tìm công bội q

b) Tổng của CSN trên là , tìm (số hạng đầu tiên của CSN)

5