CHỦ ĐỀ: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN

3 Cấp số cộng a Định nghĩa - Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi.. - Cấp số nhân là một

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN 2018 CHỦ ĐỀ: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

Tổ Toán, Trường THPT Yên Khánh A

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Phương pháp quy nạp toán học.

- Cho n0 là một số nguyên dương và ( )P n là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên n n≥ 0

Nếu: P n( )0 đúng.

Và: Nếu ( )P k đúng thì ( P k+1) cúng đúng với mọi số tự nhiên k n≥ 0

Khi đó mệnh đề ( )P n đúng với mọi số tự nhiên n n≥ 0

2) Dãy số

a) Dãy số tăng, giảm

- Dãy số ( )u n được gọi là dãy tăng nếu với mọi n∈¥ ta có u n <u n+1

- Dãy số ( )u n được gọi là dãy giảm nếu với mọi n∈¥ ta có u n >u n+1

- Dãy số tăng, giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.

b) Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn

- Dãy số ( )u n được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u n ≤M,∀ ∈n N*

- Dãy số ( )u n được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u n ≥m,∀ ∈n N*

- Dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi chung là bị chặn.

3) Cấp số cộng

a) Định nghĩa

- Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng

trước nó cộng với một số không đổi

- Số không đổi gọi là công sai

- Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng

trước nó nhân một số không đổi

- Số không đổi gọi là công bội

II PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD

Đề thi tham khảo THPT QG 2018_BGD

DÃY SỐ-CẤP SỐ

Câu 22 Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0, 4% /tháng Biết rằng nếu

không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được ngập vào vốn ban đầu để tínhlãi cho tháng tiếp theo Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gầnnhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suấtkhông thay đổi?

Câu 22.1 Một người có số tiền là 100 triệu đồng, muốn gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất

kép kì hạn 1 tháng là 0,36% Để được 110 triệu đồng thì người này phải mất bao nhiêu tháng gửi, biếtrằng lãi suất hàng tháng không thay đổi?

A 24 tháng B 25 tháng C 26 tháng. D 27 tháng.

Câu 22.2 Một người có số tiền 100 triệu đồng gửi tiết kiệm vào một ngân hàng trong vòng 13 tháng

thì lĩnh về được 105 triệu đồng Biết rằng người này gửi theo hình thức lãi kép với kì hạn 1 tháng Hỏilãi suất kép hàng tháng là bao nhiêu, biết rằng lãi suất hàng tháng không thay đổi

A 0,36% B 0,37% C 0,38% D 0,39%.

Câu 22.3 Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng với số tiền là 3 triệu đồng với lãi suất kép là

0,36% /tháng Hỏi sau 2 năm, người ấy có số tiền gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết rằng lãi suấthàng tháng không thay đổi?

A 75331222 đồng B 75332222 đồng C 7351222 đồng. D 7352222 đồng. Câu 22.4 Một người muốn có 50 triệu đồng sau một năm, bằng cách gửi quỹ tiết kiệm vào ngân hàng

hàng tháng theo hình thức lãi kép Vậy người đó phải gửi vào ngân hàng hàng tháng số tiền gần nhấtvới số tiền nào dưới đây, biết lãi suất hàng tháng là 0.35% và lãi suất hàng tháng không thay đổi?

A 4072811 đồng B 4100000 đồng C 4075000 đồng D 4200000 đồng Câu 22.5 Một người vay 50 triệu, trả góp theo tháng trong vòng 48 tháng, lãi suất kép là 1.15% mộttháng Hỏi hàng tháng người đó phải trả số tiền gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết rằng lãi suấthàng tháng không thay đổi?

A 1361313 đồng B 1370000 đồng C 1350000 đồng D 1371313 đồng Câu 22.6 Một người vay ngân hàng với số tiền là 20 triệu đồng, mỗi tháng trả góp cho ngân hàng

300000 đồng và phải chịu lãi kép của số tiền chưa trả là 0, 4% một tháng Hỏi sau bao lâu người ấy trảhết nợ, biết rằng lãi suất không đổi?

A 75 tháng B 76 tháng C 77 tháng D 78 tháng.

Câu 22.7 Một sinh viên đi học được gia đình gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là 100 triệu

đồng theo mức kì hạn một tháng với lãi suất kép là 0,35% /tháng Nếu mỗi tháng người sinh viên này rút ra một số tiến như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì thì hàng tháng anh ấy rút ra số tiền gần nhấtvới số tiền nào sau đây để sau 4 năm số tiền đó vừa hết, biết rằng lãi suất hàng tháng không đổi ?

A 2266866 đồng B 2267000 đồng C 2270000 đồng D 2268000 đồng Câu 22.8 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là 20 triệu đồng theo mức kì hạn một

tháng với lãi suất kép là 0,36% /tháng Nếu mỗi tháng người ấy rút ra một số tiền là 300000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi thì sau bao lâu số tiền gửi vừa hết, biết rằng lãi suất không đổi?

A 76 tháng B 77 tháng C 78 tháng D 79 tháng.

Câu 22.9 Theo Báo cáo của Chính phủ dân số Việt Nam tính đến tháng 12 năm 2005 là 83,12 triệu

người, nếu tỉ lệ tăng trung bình hàng năm là 1,33% Hỏi dân số Việt nam vào tháng 12 năm 2010 sẽ làbao nhiêu?

A 88796480 người B P= −2 C P=5 D P= −11

Câu 22.10 Dân số của một xã hiện nay là 10.000 người Người ta dự đoán sau hai năm nữa dân số xã

đó là 10404 người Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã đó tăng bao nhiêu % ?

- Xét tính tăng giảm của dãy số

- Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của dãy số

3-4 Cấp số cộng - Chứng minh dãy số là cấp số cộng.-Tính chất của cấp số cộng.

5-6 Cấp số nhân - Chứng minh dãy số là cấp số nhân.

- Tính chất của cấp số nhân

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 CÂU HỎI TNKQ DÃY SỐ

Câu 1: NB Cho dãy số (un) với ( ) 1 2

= − Khi đó u6 bằng

A 3

32

12

−

Lời giải Chọn D.

( )7 6

−

Lời giải Chọn C.

3 5 7 9 11.

Lời giải Chọn D.

Thay lần lượt n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6 vào u n ta tính được 6 số hạng đầu của dãy

số

Câu 5: TH Để xét tính tăng, giảm của dãy số ( )u n với 1

2

n n

= +  ÷  một học sinh làm như sau:Bước 1:

1 1

112

n n

u n

+

= + +  ÷  Bước 2:

 ÷

  Nên dãy số ( )u n là dãy số giảm.

Suy luận trên sai ở bước nào?

A Không có bước nào sai B Bước 2.

Lời giải Chọn D.

Suy luận sai ở bước 3

Suy luận đúng là:

* 1

=+ .

n u

Sử dụng phương án loại trừ: A, B, D bị chặn Nên chọn đáp án C

Câu 7: TH Cho dãy số (u )n với un =3n−1 Tổng 50 số hạng đầu là

Lời giải Chọn C.

n u

1 1

n n

n u

2 1

2 2

Dự đoán u n = −(n 1)2+1 và chứng minh được theo quy nạp toán học.

Câu 11: VDC Cho dãy số -18, -34, -48, -60, -70,….Số hạng nhỏ nhất của dãy số là

Lời giải Chọn D.

Nên u n đạt giá trị nhỏ nhất bằng -90 tại u9 và u10.

Câu 12: VDC Cho dãy số ( )u n xác định bởi công thức

Lời giải Chọn A.

(k 1) k k k1 1= k k 1( 1k 1 k) = 1k − k1 1

11

1

n u

n

⇒ = −

910

u

2 CÂU HỎI TNKQ CẤP SỐ CỘNG

Câu 13: NB Cho 3 số thực dương phân biệt , ,a b c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Chọn

mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

Ba số , ,a b c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên c b b a− = − ⇔2b a c= +

Ba số 2 ;2 ;2a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên 2b−2a=2c−2b⇔2b a c= + .

Ba số c b a theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ; ; b c a b− = − ⇔2b a c= +

=  ÷

Lời giải Chọn B.

Câu 16: TH Cho cấp số cộng ( )u n có công sai khác 0 Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A u15− =u3 u16−u2 B u15− =u5 u12−u2

C u5+ = +u9 u2 u12 D u15 + =u3 u16 +u2

Lời giải Chọn A.

Ta thấy u15− = +u3 u1 14d−(u1+3 ) 11 ;d = d u16− = +u2 u1 15d−(u1+d) 14 = d Do dó chọn A

Câu 17: TH Để ba số: 3, x2 , -x tạo thành một cấp số cộng, ta phải chọn một số nguyên x là

A

132

x x

x x

Để ba số: 3, x2 , -x tạo thành một cấp số cộng, ta có: 2 2

13

2

2

x x

n

n n u

n

+ +

=+

C 1 1 1

n u

n

=+

Lời giải Chọn B.

+ + Suy ra dãy không bị chặn trên ⇒ không bị chặn

Câu 20: VD Một đa giác có chu vi bằng 255cm Biết rằng số đo các cạnh của đa giác lập thành cấp

số cộng với công sai 3 và cạnh lớn nhất dài 50cm Số cạnh của đa giác bằng

Lời giải Chọn A.

Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là u1 và số cạnh là n Do đó u1=53 3− n

Ta có pt 3n2−103n+510 0= ⇒ =n 6

Câu 21: VD Cho cấp số cộng thỏa mãn 10

12

170252

S S

Câu 22: VD Một em bé chơi trò chơi xếp gỗ (như hình vẽ) Biết rằng mỗi thanh gỗ có kích cỡ và

hình dạng giống hệt nhau và có chiều cao là 3cm Em bé đó xếp 10 tầng Tổng độ cao 10tầng đó bằng

Lời giải Chọn D.

Trong trò chơi của em bé, độ cao của mỗi tầng là 1 số hạng của 1 cấp số cộng có 10 số hạng

Câu 23: VDC Cho một dãy số ( )u n viết dưới dạng khai triển là: 1;8;22;43; Hiệu của hai số hạng

liên tiếp của dãy số ( )u n lập thành một cấp số cộng: 7;14;21; ;7(n−1);7n Số 35351 là sốhạng thứ mấy của dãy số ( )u n .

Lời giải Chọn A.

3 CÂU HỎI TNKQ CẤP SỐ NHÂN

Câu 24: NB Cho S n là tổng của n (n≥1;n∈¥ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng)

đầu u1và công bội , (q q≠1) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

1

1(1 )1

n n

n n

n n

n n

Câu 25: NB Cho cấp số nhân với 1 1; 7 32

3; x; 8 là cấp số nhân ⇔ x2 =24

Câu 27: NB Cho ( )u n là cấp số nhân Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau

A u u3 16 = −u8 B u u7 15 =u13 C u u4 32 =u182 D u u8 15=u n2

Lời giải

13

n

S = − + n.

Lời giải Chọn A.

11

12

Câu 32: VD Cho hình vuông đơn vị, ngoại tiếp hình vuông là một đường tròn, rồi lại ngoại tiếp

đường tròn là một hình vuông và cứ như thế Tổng độ dài chu vi C n, Sn lần lượt của n hình

Nếu a là cạnh hình vuông thì đường kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông là a 2

Nếu 2R là đường kính đường tròn thì cạnh hình vuông ngoại tiếp đường tròn là 2R

Vậy các hình vuông liên tiếp có độ dài cạnh là: 1; 2; 2; lập thành một cấp số nhân, côngbội 2 Và đường kính các đường tròn liên tiếp có độ dài là: 2;2;2 2; cũng lập thànhmột cấp số nhân, công bội 2

Vậy tổng độ dài chu vi của n hình vuông là: ( )2 1 ( )2 1

−

Câu 33: VD Cho cấp số nhân tăng a a a a1, , ,2 3 4 Biết rằng tổng hai số hạng đầu bằng 3, tổng hai số

hạng cuối là 12, tích hai số hạng cuối là

Lời giải Chọn A.

S = − +n. B 10 1

10

9

n n

S = − −n. C 10 1

9

n n

S = − −n. D 10n 1 9

n

Lời giải Chọn B.

−

Câu 35: VDC Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân biết tổng ba số hạng đầu bằng 164

9 đồng thờitheo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng

43

−

Lời giải Chọn D.

2 2

3

22

Ôn thi THPT quốc gia năm 2017- 2018

Thời gian làm bài 45 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ SỐ 1 Câu 1: Trong các dãy số sau dãy số nào thỏa mãn: u1=1,u2 =3,u n =4u n−1−3u n−2,n≥3

 

 ÷

1.6.2

A 2 5

2

n

n u

2 12

n

n u n

+

=+ .

Câu 6: Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi sau: 1

Câu 7: Cho dãy số ( )u n viết dưới dạng khai triển là: 4;7;10;18;16; và dãy số ( )v n viết dưới dạng

khai triển là: 1;6;11;16; 21; Biết rằng ( )u n và ( )v n đều là cấp số cộng Trong 10 số hạng đầu

tiên của mỗi cấp số đó có (k k∈¥ số hạng chung Vậy ) kbằng:

2(a ) :

2(u ) :

Câu 13: Một cấp số cộng có 5 số hạng Biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 7 Số

hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng lần lượt bằng:

Câu 14: Tổng của 2017 số nguyên dương lẻ đầu tiên bằng

Câu 15: Cho ∆ABCvuông tại B Biết rằng 3 cạnh của tam giác có độ dài lập thành một cấp số cộng

và chu vi của tam giác bằng 24 Khi đó độ dài cạnh AClà:

A 3 hoặc-4 B 10 C 5 D 8hoặc 6

Câu 16: Trong một trò chơi xếp hình, người ta xếp các hình tam giác đều bằng nhau theo cách như

hình vẽ dưới đây Hàng dưới cùng được ghép bởi 41 tam giác, hàng trên cùng có 1 tam giác

Số tam giac cần thiết để hoàn thiện công việc này là:

729. C

53;

5, 211

6, 211

5, 311

Câu 24: Ba số a, b, c với b>0 lập thành một cấp số cộng tăng Giả sử 3 số a2, b2, c2 lập thành cấp số

nhân, khi đó công bội của cấp số nhân đó là

A 3 2 2− B 3+ 2 C 3− 2 D 3 2 2+

Câu 25: Cho ba số , , (a b c a b c> > ) lập thành một cấp số nhân biết 19

216

a b c abc

Ta có

1

2

2 3

4

134.3 3.1 34.3 3.3 3

 

 ÷

1.6.2

3 3

1 3(1 2 50) 350.49

2 1

2 12

n

n u n

+

=+ .

Lời giải Chọn A.

+ + nên dãy số bị chặn trên.

Câu 6: VD Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi sau: 1

1 1

2 2

3 3

10.1 1 10 110.11 9.1 1 10.10 2 10 2 10 3

10n n

Câu 7: VDC Cho dãy số ( )u n viết dưới dạng khai triển là: 4;7;10;18;16; và dãy số ( )v n viết dưới

dạng khai triển là: 1;6;11;16; 21; Biết rằng ( )u n và ( )v n đều là cấp số cộng Trong 10 số hạng đầu tiêncủa mỗi cấp số đó có (k k∈¥ số hạng chung Vậy ) kbằng

Lời giải Chọn B.

0 1 1 2

u = − + và chứng minh được theo quy nạp toán học

Câu 9: NB Cho 3 số , ,x y z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Chọn mệnh đề đúng trong cácmệnh đề sau?

A y=2(x z+ ) B 2y x z= + C 2

Lời giải Chọn B.

Đây là tính chất của cấp số cộng

Câu 10: NB Cho dãy số ( )u n là một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai lần lượt là u d1; Biết

rằng u2017được biểu diễn qua u d1; Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức dưới đây?

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Câu 11: NB Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

1

3(b ) :

2(a ) :

2(u ) :

Với mọi n, ta có: u n+1− = − =u n 2 d (không đổi) nên (un) là cấp số cộng

Câu 12: TH Cho dãy số ( )u n với u n = −9 5n Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số ( )u n bằng

Lời giải Chọn A.

( )u n là một cấp số cộng với u1=4;d = −5 Do đó: 100 [2 1 ( 1) ] 24350.

2

n

Câu 13: TH Một cấp số cộng có 5 số hạng Biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 7.

Số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng lần lượt bằng

A − −1; 2 B 1; 2 C −1; 2 D 1; 2.−

Lời giải Chọn B.

2017 số nguyên dương lẻ đầu tiên là 1 cấp số cộng có u1=1;d =2

Câu 15: VD Cho Cho ∆ABCvuông tại B Biết rằng 3 cạnh của tam giác có độ dài lập thành một cấp

số cộng và chu vi của tam giác bằng 24 Khi đó độ dài cạnh AClà

A 3 hoặc-4 B 10 C 5 D 8hoặc 6

Lời giải Chọn B.

Đặt AB a r BC a AC a r= − ; = ; = + Theo bài ra ta có hệ phương trình

Câu 16: VD Trong một trò chơi xếp hình, người ta xếp các hình tam giác đều bằng nhau theo cách

như hình vẽ dưới đây Hàng dưới cùng được ghép bởi 41 tam giác, hàng trên cùng có 1 tam giác Sốtam giac cần thiết để hoàn thiện công việc này là

Lời giải Chọn B.

Với cách xếp như trên, số hình tam giác ở mỗi hàng là một số hạng của cấp số cộng Ta có

Hàm số xác định khi và chỉ khi cos cos 1 2 *( )

729. C

53;

3 6

Câu 21: TH Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân ( )u n biết: u3+ + =u2 u5 10 và

6 4 3 20

u + + =u u

A 1

1, 22

5, 211

Gọi số hạng đầu và công bội của cấp số nhân ( )u n lần lượt là: u q1; Ta có hệ:

n n

n

Câu 24: VD Ba số a, b, c với b>0 lập thành một cấp số cộng tăng Giả sử 3 số a2, b2, c2 lập thành cấp

số nhân, khi đó công bội của cấp số nhân đó là

A 3 2 2− B 3+ 2 C 3− 2 D 3 2 2+

Lời giải Chọn D.

Gọi công sai của cấp số cộng là d > ⇒ = − 0 a b d c b d b; = + ; > 0

+ + =



 Giá trị củabiểu thức P=2a+ +3b c là

Lời giải Chọn C.

3

9

6 ( )19

4

436

6 ( )9