ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: thẳng x3 quay xung quanh trục Ox.. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành xung quanh trục Ox.. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: qua

CHỦ ĐỀ 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn

[ ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a; = , x b= được xác định: ( )

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y= ( ), x h y= ( ) và hai

đường thẳng y c = , y d= được xác định: ( ) ( )

d c

y f x

y 0 H

( )

b a

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( )

b a

V =p�f x - g x dx

( ): ( ) ( ):

V  �f x dx

a

 ( )

y f x y

c y

O

d

x

( ): ( ) ( ):

V  �g y dy

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Những điểm cần lưu ý:

Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường y=f x y g x x a x b( ), = ( ), = , = là ( ) ( )

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường y=f x y g x( ), = ( ) là S f x( ) g x dx( )

b a

=� - Trong đó , a b là

nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình ( )f x =g x( ) (a� < � a b b)

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình ( ) f x =g x( ) tìm các giá trị ,a b

Bước 2 Tính S f x( ) g x dx( )

b a

[ ; ]a b trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < cho bởi công thức:)

A ( )

b a

S=�f x dx B ( )

b a

S=�f x dx C ( )

b a

S =p�f x dx D 2( )

b a

tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị củay=f x( ), trục hoành và hai

đường thẳng x a= , x b= được tính theo công thức

A ( )

b a

S =�f x dx B ( )

b a

S=-�f x dx C 2( )

b a

S =-�f x dx D 2( )

b a

S =�f x dx

trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= được tính theocông thức

liên tục trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= được tínhtheo công thức

hoành và hai đường thẳng x p= , 3

2

x= p

là

A 1 B 1

2

hoành và hai đường thẳng

+

=+ , trụchoành và đường thẳng x=2là

hoành và hai đường thẳng 0,

2

x x p

= = là

hoành và hai đường thẳng x= , 0 x= là 3

+

=+ , trụchoành và đường thẳng x= là 2

Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cos 2x , trục

hoành và hai đường thẳng 0,

e

-C 22

e

-D 12

điểm có hoành độ x= và trục tung bằng 2

A 1 e- 5 B 1 e+5 C 1 2e+ 5 D 1 2e- 5

II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

  

� �

� �

� �

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

thẳng x3 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y 1 x , y 0  quay xung quanhtrục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

phẳng x0;x và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tạiđiểm ( ;0;0)x bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là:

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

VẬN DỤNG

tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2

x y  (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật16bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông.Thể tích của vật thể là:

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y a.x , y bx (a,b 0)  � quay xungquanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

3

1 1

3 5

b V

3 5

b V a

Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 2

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

 C : y g x2   , hai đường thẳng x a , x b , a b Giả sử rằng  C và 1  C2

không có điểm chung trên  a, b và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khiquay  H quanh Ox là b     

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2

x y  (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật16

bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều.Thể tích của vật thể là:

.3

trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 88

5

.70

.3

.5

y= -x x là:

Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong:

diện tích của miền D

p

C 1715

p

D 4815

p

đường y x 2;8xy2 quay quanh trục Oy là:

A 21

15

p

B 2315

p

C 2415

p

D 48

5

p

giới hạn bởi trục Ox và Parabol ( ) y ax x (C   2 a là:0)

giới hạn bởi các đường: y x e x ,x 1,y0(0� � là:x 1)

-C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

[ ; ]a b trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < cho bởi công thức:)

A ( )

b a

S=�f x dx B ( )

b a

S=�f x dx C ( )

b a

S =p�f x dx D 2( )

b a

0 h(x) x

tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị củay=f x( ), trục hoành và hai

đường thẳng x a = , x b= được tính theo công thức

A ( )

b a

S =�f x dx B ( )

b a

S=-�f x dx C 2( )

b a

S =-�f x dx D 2( )

b a

S =�f x dx

Hướng dẫn giải Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( )

b

a

S =�f x dx

trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= được tính theocông thức

b a

S =�f x dx

liên tục trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= được tínhtheo công thức

A ( ) ( )2

b a

S=�f x - g x dx B [ ( ) ( )]

b a

S =�f x - g x dx

C ( ) ( )

b a

S=�f x - g x dx D ( ) ( )2

b a

S =p�f x - g x dx

Hướng dẫn giải Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( ) ( )

Hướng dẫn giải

Ta có x3� trên đoạn [1;3] nên 0

3 4

204

hoành và hai đường thẳng x p= , 3

Ta có sinx�0 trên đoạn ;3

2

p p

hoành và hai đường thẳng

6tan tan ln(cos ) ln

3

p p

hoành và hai đường thẳng x= , 1 x= là 4

hoành và hai đường thẳng x= , 0 x= là 3

Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 1

2

x y x

+

=+ , trụchoành và đường thẳng x= là 2

hoành và hai đường thẳng 0,

+

=+ , trụchoành và đường thẳng x=2 là

A 3 2 ln 2+ B 3 ln 2- C 3 2 ln 2- D 3 ln 2+

Hướng dẫn giải

hoành và hai đường thẳng 0,

14

14

4

S x xdx +

và hai đường thẳng x=-2; x= Diện tích của (H) bằng3

e

-D 12

Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x2-1 , y= + x 5

điểm có hoành độ x= và trục tung bằng 2

Biến đổi về hàm số theo biến số y là x=-y2+2 ,y x=-y

Xét pt tung độ giao điểm (- y2+2 )y - -( )y = có nghiệm 0 y=0, y=3

Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

4.( ) 12

2 0

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

thẳng x3 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành

bằng:

A 3

Giao điểm của hai đường y x và 1 y là 0 A(1;0) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

3

1

V�(x 1)dx 2   

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V �a b xdx

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y 1 x , y 0  quay xung quanhtrục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Giao điểm của hai đường y 1x2và y là 0 B( 1;0) và A(1;0) Theo công

thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

1 2 1

phẳng x0;x và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tạiđiểm ( ;0;0)x bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là:

A V 2. B V . C V 4  D V 2 

Hướng dẫn giải

Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường x0;x; y s ni x Ox; quay trục Ox

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

tròn giới hạn bởi đường tròn x2y2  (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật16bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông.Thể tích của vật thể là:

A 32 B 64 C 16 D 4

Hướng dẫn giải

Giao điểm của hai đường y2 4xvà x4 là D(4; 4) và E(4;4) Phần phía trên

Ox của đường y2 4xcó phương trình y2 x Từ hình vẽ suy ra thể tích của

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Tọa độ giao điểm của hai đường ylnx và y 0 là điểm C(1;0) Vậy thể tích

y a.x , y bx (a,b 0)  � quay xungquanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

3

1 1

3 5

b V

3 5

b V a

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

B Tọa độ giao điểm của đường y3x với y x là O(0;0) Vậy thể tích

của khối tròn xoay cần tính là:

 C : y g x2   , hai đường thẳng x a , x b , a b Giả sử rằng  C và 1  C2

không có điểm chung trên  a, b và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khiquay  H quanh Ox là b     

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

3

4e 1.9



3

4e 1.9



3

2e 1.9



3

2e 1.9





Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của đường x e với y x lnx là điểm C(3;3) Tọa độ giao

điểm của đường y x lnx với y là 0 A(1;0) Vậy thể tích của khối tròn xoaycần tính là:

3 2

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2

x y  (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật16bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều.Thể tích của vật thể là:

A 256 3

.3

Giao điểm của thiết diện và Ox là H Đặt OH x suy ra cạnh của thiết diện

là 2 16 x 2 Diện tích thiết diện tại H là 3 2

trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Tọa độ giao điểm của đường y2x2 với y2 4x là các điểm O(0;0) và A(1;2)

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

diện tích của miền D

quay quanh Ox.

A 14

15

p

B 1615

p

C 1715

p

D 4815

p

đường y x 2;8xy2 quay quanh trục Oy là:

A 21

15

p

B 2315

p

C 2415

p

D 48

5

p

giới hạn bởi trục Ox và Parabol ( ) y ax x (C   2 a là:0)

giới hạn bởi các đường: y x e x ,x 1,y0(0� � là:x 1)