ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH

Thể tích củavật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trọc Ox là: V =π∫ xe dx= πe .Chọn A.. Cho Qquay xung quanh trục Oy, ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng: Bài 54:

CHƯƠNG 3 (Tiếp theo)

ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Chủ đề 3 : (tiếp theo)

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH

Bài 49: Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép

quay xung quanh trục Ox của hình giới hạn bởi trục

Giải:

Ta có:

2 2

1 cos 2 sin 2sin

Bài 50: Cho đường cong có phương trình, trong đó g y( )

là hàm số liên tục trê đoạn [ ]e d;

Xét hìnhgiới hạn bởi đường cong x g y= ( )

=

−

Khi đó, diện tích hình K là:

A π.

B

.2

π

C

.3

π

D

.4πGiải:

Bài 52: Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường

2

1;

x= y=xe

Thể tích củavật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trọc Ox là:

V =π∫ xe dx= πe

Chọn A

Bài 53: Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đường parabol

2

y= − x + x+

Cho Qquay xung quanh trục Oy, ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng:

Bài 54: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình giới hạn bởi

đường hypebol

2

x y

2 4

Bài 55: cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường

, sin4

y=π y= x

Thể tíchcủa vật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục Ox là:

Bài 56: Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường

cos ,

4

y= x x=π

Thể tíchcủa vaath thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục Ox là:

Bài 57: Cho đường cong có phương trình

và x=0

quay xung quanh trục Oy thì thể

tích V của vật thể tròn xoay sinh ra được

Diện tích miền C

1(dvdt)2

=

Vậy diện tích miền D là

76 (đvdt)

π

C

53

π

9.4πGiải:

V =π y dy =π

∫

(đvtt)32

S = π

C

4 33

Bài 61: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường

S =

Giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng Ta có:

2 0

∫

Chọn D

Bài 62: thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường

Áp dụng CT tính thể tích khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox Ta có:

2

2

2 2 1

V =π x e ÷dx=πe

∫

Chọn D

Bài 63: Gọi M là hình phẳng tạo bởi trục hoành và các đường

ln , 1, 2, 0

y= x x= x= y=

Khi chohình M quay xung quanh trục Ox Ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Áp dụng công thức tính thể tích khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox ta có:

Bài 64: Gọi M là hình được sinh ra bởi phép

quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi

Ta có:

( )

4

4 2 2 2

V =π∫ ydy= πy = π

Chọn B

x

=+

Thểtích khối tròn xoay sinh ra khi M

y

x

=+

1

x y

Bài 66: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

π C 4

π

25635

π Giải:

RI

2 2 0

4

R I T

D

2 0

2

RI T

Giải:

Bài 68: Đường cong trong hình vẽ bên có phương trình

Hình:

Khi cho hình H quay xung quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Bài 69: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=x x= y

quay quanhtrục Ox là:

π

313

π

310

V =π∫ x dx−π∫ x dx

Chọn D

Bài 70: Tính (bằng cm2) diện tích phần giới hạn bởi parabol có phương trình

2

y=x

và đường thẳng1

Phương trình hoành độ giao điểm

413

−

Chọn C

Bài 71: Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường biểu diễn của các hàm số

Bài 72: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

+ −

C 5e D 8e Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

3 2

Bài 73: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

1, 0, 1

Áp dụng CT tính thể tích khi quay hình phẳng quanh trục Ox, Ta có:

2 1

11

a

dx V

Bài 74: Diện tích phần mặt phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng

3 9

1 7ln

3 3

1 16ln

4 9

Giải:

m−

.Giải:

x

Bài 76: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường

π +

516

π +

516

π − Giải:

Tính tích phân

1 2

11

dx x

14 Giải:

0

42

(Chú ý: muốn đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt thì trong tinhd huống này parabol

phải có phần chứa đỉnh nằm trên đường thẳng)

chia (H) thành hai phần có diện tích 1

Bài 79: Ở hình bên, ta có đường parabol

Bài 80: Ông An có một mảnh vườn hình elip

có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé

bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên một dải

đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục

đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng

hoa là 100.000 đồng/m2 Hỏi ông An cần bao

nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (số

tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Giải:

Chọn Hệ trục tọa độ Oxy, gốc tọa độ là tâm của elip

Khi đó elip này có phương trình:

2

5 1641

64 25

5 164

x y

x y

tương ứng là tung độ các điểm M và N thuộc đồ thị x g y= ( )

Độ dài đường cong

Bài 82: Đường cong được cho bởi phương trình x g y= ( )

tương ứng là tung độ các điểm M và N thuộc đồ thị x g y= ( )

Độ dài đường cong

Bài 83: Đường cong được cho bởi phương trình x g y= ( )

tương ứng là hoành độ các điểm M và N thuộc đồ thị y g x= ( )

Độ dài đường cong

1 4x dx+

∫

.Giải:

Cung cần tính là phần của đường cong nằm trong góc vuông thứ nhất Ta có:

3 2

2

y= x

nên

1 2

Bài 84: Tính độ dài đường cong

3 2

4 2

13

32

143 Giải:

Bài 85: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ) ( )

3 4

3 4

cot tan tan cot

π π

Do đó diện tích cần tìm là:

Hoành độ giao điểm của 2 parabol đã cho là nghiệm của phương trình:

x − x+ = x + x+

, cho ta

12

x= −

Parabol ( )P y x: = 2−2x+2

có tọa độ cực tiểu là ( )1;1

vàParabol ( )P y x: = 2+4x+5

có tọa độ cực tiểu là (−2;1)

Diện tích cần tìm là:

1

1 2

1 2

Bài 88:

Tính diện tích giới hạn bởi các

đường

y= x − x+ y=

trongmặt phẳng tọa độ Oxy Ta có kết

y= y=

Diện tích cần tìm là: S =

x y

x

=+

, trục hoành Ox và các đườngthẳng

Gọi S là diện tích cần tính, Ta có:

1 4 1

41

u

=+

Chú ý có thể sử dung MTCT để tìm nhanh kết quả

π−

Giải:

Đường tròn này cắt trục hoành tại điểm A(2 2;0)

và cắt parabol

y = x

ở điểm C, B đốixứng nhau qua Ox, với B( )2;2

Gọi S là diện tích tam giác cong OAB Ta có:

= +

Diện tích phần còn (OABC) là 2S =

423

Bài 91: Cho parabol (P) có tiêu điểm

32;

y= −

Diệntích hình giới hạn bởi (P) và trục Ox là:

Gọi S là diện tích cần tìm, Ta có:

3

2 0

Bài 94: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip:

A

3

2 3

19

3∫ −x dx

3

2 0

29

3∫ −x dx

D

3

2 3

Dựa vào tính chất đối xứng của elip và đường tròn thì phải có:

Bài 96: Trong hai khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

Chọn C