ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 1.. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 1.. Xác định m 1 để đồ thị  Cm cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hì

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Tính diện tích hình phẳng:

Định lí 1 Cho hàm số y f x   liên tục, không âm trên � �� �.a;b

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị hàm số y f x  , trục hoành và hai đường

thẳng: x a,x b  là: b  

a

S�f x dx

Bài toán 1: Cho hàm số y f x   liên tục trên� �� � Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm sốa;b

 

y f x ; trục Ox: (y 0 ) và hai đường thẳng x a;x b  là: b  

a

S�f x dx

Bài toán 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị:

 C : y f x1   , C :y g x2    và hai đường

đường thẳng x a,x b  Được xác định bởi

a

S�f x g x dx.

Chú ý:

1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

* Giải phương trình: f x   g x tìm nghiệm x ,x , ,x1 2 n� a;b

x1x2  xn.

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị  C : y f x1   ,

 C :y g x2    Khi đó, ta có công thức tính như sau: xn    

x1

S �f x g x dx

Trong đó: x ,x1 n tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình: f x   g x

2 Tính thể tích khối tròn xoay:

a Tính thể tích của vật thể

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Định lí 2 Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng  P

và  Q

vuông góc với trục Ox lần lượt tại x a,x b a b     Một mặt

phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x a x b � � 

cắt C theo một thiết diện có diện tích

 

S x

Giả sử S x 

là hàm liên tục trên � �� � Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi haia;b

mp  P

và  Q

được tính theo công thức:

 

b a

V�S x dx

b Tính thể tích vậy tròn xoay

Bài toán 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường

 

y f x ;y 0;x a;x b    quanh trục Ox

Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng xlà một hình tròn có bán

kính R f x 

nên diện tích thiết diện bằng

  2 2 

S x  R  f x Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

2

V�S x dx �f x dx

Chú ý:

Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y f x ,y g x ,      x a, x b  (Với f x g x   �0 x �� �� �) thìa;b thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức:

   

b

a

Bài toán 2 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường

 

x g y , y a, y b, Oy   quanh trục Oy được tính theo công thức: b 2 

a

V �g y dy

Chú ý: Trong trường hợp ta không tìm được x theo y thì ta có thể giải bài toán theo cách sau

Chứng minh hàm số y f(x) liên tục và đơn điệu trên [c;d] với c min g(a),g(b) ,d max g(a),g(b)      Khi đó

phương trình y f(x) có duy nhất nghiệm x g(y) .

Thực hiện phép đổi biến x g(y),dy f'(x)dx  ta có:

d 2 c

V �x f'(x)dx

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Phương pháp:

DẠNG 1 Diện tích hình phẳng giới hạn

Cho hàm số y f x   liên tục trên� �� � Khi đĩ diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số a;b y f x  ;

trục Ox: (y 0 ) và hai đường thẳng x a;x b  là: b  

a

S�f x dx

   

cơng thức này chỉ đúng khi f x 

khơng đổi dấu trên khoảng  a;b

Nếu: f x �0 , x a ; b � �� �� thì b   b  

Nếu f x �0 , x a ; b � �� �� thì b   b  

f x dx  f x dx

Chú ý: Nếu phương trình f x  0 cĩ k nghiệm phân biệt x ,x , ,x1 2 ktrên  a;b

thì trên mỗi khoảng

a;x , x ;x x ;b1  1 2  k 

biểu thức f x 

khơng đổi dấu.

Khi đĩ tích phân

 

b a

S�f x dx

được tính như sau:

S�f x dx �f x dx  �f(x)dx   �f x dx

Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 

y f x và y g x  và hai đường thẳng x a,x b a b    :

   

b

a

S�f x g x dx

1 các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:

1 y x 34x,x 3,x 1,y 0  2 y sin xcosx,x 0,x 2    ,y 0

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:

1

1

e

và trục Ox 2 y x(e x1),x 1,x 2 và trục Ox

Ví dụ 3 Cho hàm số y x 4m 1 x  2m cĩ đồ thị  Cm

Xác định m 1 để đồ thị  Cm

cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  Cm

và trục Ox cĩ diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục Ox

Ví dụ 4 Tìm các giá trị tham số m�� sao cho: y x 4m22 x 2m21

, cĩ đồ thị  Cm

cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  Cm

với trục hồnh phần phía trên Ox cĩ diện tích bằng

96

15

Ví dụ 5.Cho parabol  P : y 3x 2 và đường thẳng d qua M 1;5 

cĩ hệ số gĩc là k Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi

 P

và d cĩ diện tích nhỏ nhất

Ví dụ 6 Tìm mđể  Cm : y x m 1 x 2   2 2

cĩ 3 điểm cực trị Khi đĩ gọi   là tiếp tuyến của  Cm

tại điểm cực tiểu, tìm mđể diện tích miền phẳng giới hạn bởi  Cm

và   bằng 15.4

Ví dụ 7 Tìm các giá trị tham số m�� sao cho: y x 33x 2 và y m x 2    giới hạn hai hình phẳng cĩ cùng diện

tích

Ví dụ 8 Cho parabol  P : y  x2 2x, cĩ đỉnh S và A là giao điểm khác O của  P

và trục hồnh M là điểm di động trên SA , tiếp tuyến của  P

tại M cắt Ox, Oy tại E, F Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích 2 tam giác cong MOE và MAF

Ví dụ 9 Tìm m để đồ thị  C :y x 42mx2m 2 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên

Ox giới hạn bởi  C

và Ox bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi  C

và Ox

1i Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi :

1 Đồ thị hàm số: y  x, trục hồnh và đường thẳng y 2 x 

2 Đồ thị hàm số: y e 1 x và yex1 x

Đề thi Đại học khối A, năm 2007

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :

1 y 5x x 2 và 9 y x 39x

2  3 

1

y





và x 1, x 2, trục Ox

3

 

2

xln x 2

y

4 x





4 y x 2, trục Ox và tiếp tuyến tại điểm M cĩ hồnh độ bằng 3.

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :

1 y  x2 4x 3, x 0, x 3   và Ox

2 y x 311x 6, y 6x  2, x 0, x 2 

3

2

y x 4 x 3 và trục hồnh.

4

2

y x 4x 3

và y x 3  .

5 y xlnx,x e  và Ox

6 y x 23x 2 và y x 1 

7

lnx

x 1,x e,y 0,y

2 x

8 x 0,x   ,y cosx,y sinx

9 y x 33x,y  x 5,x 2

10

11 y (e 1)x;y (1 e )x    x

12 y x ;y x(2 tan x)  2 và x4.

Bài 4:

1 Tìm m thuộc khoảng

5 0;

6

� �

� �

và các đường x 0, x 2, y 0 cĩ diện tích bằng 4.

2 Cho hàm số y x 32x2m 1 x m 1     Trong trường hợp hàm số  1

đồng biến trong tập số thực �, tìm m để diện

tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  1

và hai trục Ox,Oy cĩ diện tích bằng 1

Bài 5: Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P):y x 2và phía trên bởi đường thẳng đi qua A(1;4) cĩ hệ số gĩc k Tìm k để (H) cĩ diện tích nhỏ nhất

1ii Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Câu 1 Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên [a b; ] Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong y= f x( ), trục hồnh và các

đường thẳng x a x b a b= , = ( < ) được xác định bởi cơng thức nào sau đây?

A

( )d

b

a

S=�f x x

B

( )d

a b

S=�f x x

C

( ) d

a b

S=�f x x

D

( ) d

b a

S=�f x x

Câu 2 Cho đồ thị hàm số y=f x( ) như hình vẽ bên Diện tích S

của hình phẳng phần tơ đậm trong hình được tính theo cơng thức

nào sau đây?

A

( )

3

2

d

S f x x

B

S f x x f x x

C

S f x x f x x

D

S f x x f x x

Câu 3 Cho hai hàm số y=f x y1( ), =f x2( ) liên tục trên [ ; ] Diện tích hình phẳng S giới hạn các bởi đường cong

y=f x y=f x và các đường thẳng x a= , x b a b= ( < ) được xác định bởi cơng thức nào sau đây?

A

( ) ( )

b

a

S=�f x - f x x

B

( ) ( )

b a

S=���f x - f x x��

C

( ) ( )

b

a

S=���f x- f x��x

D

( ) ( )

b a

S=�f x +f x x

Câu 4 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ

thị hàm số y= 2 , x y= -4 x và trục hoành Ox

(như hình vẽ) được tính bởi công thức nào dưới đây?

A

S=� x x+� - x x

B

S=� x x+� - x x

0

S=� x- +x x

0

S=� - x- x x

Câu 5 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm

số y x y= 3, = -2 x và trục hoành Ox (như hình vẽ) được

tính bởi công thức nào dưới đây?

A

3

S=�x x+�x- x

B

2

3 0

2 d

S=�x + -x x

C

1 3 0

2

S= +�x x

D

1

3 0

S=�x - - x x

Câu 6 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x= 3- x y, =2x và các đường x=-1, x= được xác định1 bởi công thức nào sau đây?

A

1

3 1

-B

1

3 1

-C

-D

-O -1

4 3 2 1

2

-1

y

x

Câu 7 Sơ đồ ở bên phải phác thảo của một khung cửa sổ Diện

tích S của cửa sổ được tính bởi công thức nào sau đây?

A

1

2

2 1

2

5

2

�

�

�

B

1 2

2 1

2

5

2

-

C

1

2

2 1

2

2 d

1 2

2 1 2

-

x y

1 2 5

-9

1 2

2

5 2 2

2

2

Câu 8 Cho hai hàm số f x( ) và g x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] với a b< Kí hiệu . S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các1

đường y=2f x y( ), =2g x x a( ), =

và x b= ; S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường2

( ) 2, ( ) 2,

y=f x - y=g x- x a=

và x= Mệnh đề nào sau đây là đúng?b

A S1=S2 B S1=2 S2 C S1=2S2- 2 D S1=2S2+ 2

Câu 9 Cho hàm số f x( )

xác định và đồng biến trên đoạn [ ]0;1

và

1 1 2

f��� =�������

Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của các

hàm số y1= f x( ) , y2= � � và các đường �f x( )�2 x = , 0 x = được xác định bởi công thức nào sau đây?1

A

S=�f x ��- f x��x+�f x f x�� - ��x

B

( ) ( ( ) )

1

2 0

d

S= ��f x - f x ��x

�

C

1

1 2

1 0

2

S=�f x ��- f x��x+�f x f x�� - ��x

D

( )

1

2 0

d

S= ��f x - f x x��

�

Câu 10 Cho hàm số f x( )

có đồ thị trên đoạn [- 1;4]

như hình vẽ bên Tính tích phân

( )

4

1

d

I f x x

A

5

2

I =

B

11 2

I =

C I =5. D I =3.

Câu 11 Kí hiệu S S lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường1, 2

y=x + y= x=- x= Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

1 2

S = S

2 1

6

S

S = .

Câu 12 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y x= 2+2 và y=3x.

A S = 2 B.S = 3 C

1 2

S =

1 6

S =

Câu 13 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3- x và đồ thị hàm số

2

y x x=

-A

37.

12

S =

B

9. 4

S =

C

81. 12

S =

D S =13.

Câu 14 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= 2- 3x và hai đường thẳng x=- 15, x=15

Câu 15 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x 1+x2, trục hoành và đường thẳng x =1

A

1.

3

S =

B

2 2 1 3

S=

-C

2 2 1 3

D S =2 2 1 ( - )

Câu 16 Kí hiệu S S S lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn vị), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng đơn1, , 2 3

vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=2 1- x2, y=2 1( - x) Tính tỉ số

2

S S S

+

A

2

1. 3

S S

S

+

=

B

2

1. 4

S S S

+

=

C

2

1. 2

S S S

+

=

D

2

1. 5

S S S

+

=

Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x và x- 2y=0 bằng với diện tích hình nào sau đây?

A Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2

B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3

C Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3

D Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng

4

2 3

3

Câu 18 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )2

2 1

y x

= + , trục hoành và hai đường thẳng x = , 0 x = 4

A

8.

5

S

=-B

8. 5

S =

C

2. 25

S =

D

4. 25

S =

Câu 19 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x xln , trục hoành và đường thẳng x= e

A.

4

e

S= +

6

e

S= +

8

e

S= +

2

e

S= +

Câu 20 Biết rằng diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnx, trục hoành và hai đường thẳng

1 ,

x x e e

được dưới dạng

1

1

S a

e

�

= ��- ��

� Mệnh đề nào sau đây là sai?

A a2- 3a+ = B 2 0 a2- -a 2 0.= C a2+3a- 4 0.= D 2a2- 3a- 2 0.=

Câu 21 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y e= x+x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1

A

1.

2

S e= +

B

1. 2

S= -e

C S= +e 1. D S= -e 1.

Câu 22 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y e= x+x, x y- + = và 1 0 x =ln5.

A S = +5 ln4 B S = -5 ln4 C S = +4 ln5 D S = -4 ln5

Câu 23 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y= +(e 1)x và y= +(1 e x x)

A

2

2

e

S= +

e

S =

2 2

e

S=

2 4

e

S=

-

Câu 24 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y= e x+ , trục hoành và hai đường thẳng 1 x =ln3, x =ln8.

A

2

2 ln

3

S = +

3

2 ln 2

S = +

3

3 ln 2

S = +

3

2 ln 2

S =

-

Câu 25 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình thang cong ( )H

giới hạn bởi các đường y e y= x, =0, x=0, x=ln4. Đường thẳng

x= k (0< <k ln4) chia ( )H thành hai phần có diện tích là S và 1 S2

như hình vẽ bên Tìm k để S1=2S2.

A

2

ln4

3

k =

B k =ln2.

C

8

ln

3

k =

D k =ln3.

O

x

y

1

S

2

S

k ln4

Câu 26 Kí hiệu ( )H

là hình phẳng giới hạn bởi các đường y e= x, 0

y= , x = và 0 x = Đường thẳng 1 x=k 0( < <k 1) chia ( )H

thành hai phần có diện tích tương ứng S S như hình vẽ bên, biết1, 2

S > Mệnh đề nào sau đây là đúng?S

A

3 2

k e

e > +

B

2 2

k e

e > +

C

1. 2

k e

e > +

D

1. 2

k e

e >

-Câu 27 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường

y x y= = x= x= Đường thẳng

0 16

y k= < <k chia hình ( )H thành hai phần có

diện tích S S (hình vẽ) Tìm k để 1, 2 S1=S2.

A k = 3 B k = 4

C k =5. D k = 8

Câu 28 Xét hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )2

3

y= x+

, trục hoành và đường thẳng x = Gọi 0. A(0;9), B b( ;0) (- < <3 b 0).

Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia ( )H thành hai phần

có diện tích bằng nhau

A b=- 2 B.

1 2

3 2

b=-

Câu 29 Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên � và hàm số

( ) ( )2

y=g x =x f x

có đồ thị trên đoạn [ ]1;2

như hình vẽ bên Biết phần diện tích miền được tô màu là

5 2

S =

, tính giá trị của tích phân ( )

4

1

d

I =�f x x

A

5.

2

I =

B

5. 4

I =

C I =10. D I =5.

Câu 30 Một khung cửa có hình dạng như hình vẽ, phần phía trên là một

parabol Biết a=2,5m, b=0,5m, c=2m Biết số tiền một mét vuông cửa

là 1 triệu đồng Số tiền cần để mua cửa là:

A

14

3 triệu đồng B

13

7 triệu đồng

C.

3

17 triệu đồng. D.

17

3 triệu đồng.

Câu 31 Biết rằng đường parabol ( )P y: 2=2x chia đường tròn

( )C x: 2+y2=8 thành hai phần lần lượt có diện tích là S S (hình vẽ1, 2

bên) Khi đó 2 1

b

S S a

c p

- =

với , , a b c nguyên dương và

b

c là phân số

tối giản Tính S= + +a b c.

A S =13. B S =14.

C S =15. D S =16.

Câu 32 Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, có chiều dài 5m,

bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta

rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy Tính thể tích gần

đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn

A 11,781m 3 B 12,637m 3

C 114,923 m 3 D 8,307 m 3

Câu 33 Cho một viên gạch men có dạng hình vuông

OABC như hình vẽ Sau khi tọa độ hóa, ta có

(0;0 , 0;1 , 1;1 , 1;0) ( ) ( ) ( )

và hai đường cong trong hình lần lượt là đồ thị hàm số y x= 3 và

y= x Tính tỷ số diện tích của phần tô đậm so với

diện tích phần còn lại của hình vuông

A

1

5

4

C

4

Câu 34 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Ông An có một mảnh vườn hình

Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m Ông muốn

trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối

xứng (như hình vẽ)

Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ m Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm2 tròn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng.

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Phương pháp:

Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y f x ;y 0;x a;x b      quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành

độ bằng xlà một hình tròn có bán kính R f x 

nên diện tích thiết diện bằng

  2 2 

S x  R  f x Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

   

2

V�S x dx �f x dx

DẠNG 2 Thể tích hình phẳng giới hạn