ƯNG DỤNG TÍCH PHÂN

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khiquay hình H quanh trục Ox.. Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3...

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Dạng 1 Diện tích hình phẳng giới hạn

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:

1 y x 34x,x 3,x 1,y 0  2 y sin xcosx,x 0,x 2    ,y 0

Lời giải.

1 Ta có diện tích cần tính là:

1 3 D

và trục Ox có diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục Ox

Lời giải.

Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt �x4m 1 x  2m 0  1

có 4 nghiệm phân biệt

có 2 nghiệm là t 1, t m  , vì m 1 nên 4 nghiệm phân biệt của  1

theo thứ tự tăng là:  m, 1,1, m

Theo bài toán, ta có:

Vậy, m 5 thỏa bài toán

Ví dụ 4 Tìm các giá trị tham số m�� sao cho: y x 4m22 x 2m21

, có đồ thị  Cm

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi  Cm

với trục hoành phần phía trên Ox có diện tích bằng

Với m 0� thì phương trình   có 4 nghiệm phân biệt � �1; m21

Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi  Cm

với trục hoành phần phía trên trục hoành là:

Vậy, m � thỏa bài toán2

Ví dụ 5 Cho parabol  P :y 3x 2 và đường thẳng d qua M 1;5 

Ví dụ 7 Tìm các giá trị tham số m�� sao cho: y x 33x 2 và y m x 2    giới hạn hai hình phẳng có cùng diện

tích

Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm: x33x 2 m x 2     �x 2 hoặc x 1 � m, m 0� Điều kiện d và  C

giới hạn 2 hình phẳng : 0 m 9 �

Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng nhận được theo thứ tự từ trái sang phải d qua A khi m 1 ( tức là d quađiểm uốn )

Khi đó,S1S24.

Nếu: 0 m 1: S  1 4 S2

Nếu: 1 m 9: S  1 4 S2

Vậy, m 1 thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 8 Cho parabol  P : y  x2 2x, có đỉnh S và A là giao điểm khác O của  P

và trục hoành M là điểm di động trên SA , tiếp tuyến của  P

tại M cắt Ox, Oy tại E, F Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích 2 tam giác congMOE và MAF

.Vậy,

4

m

3



thỏa bài toán

Ví dụ 9 Tìm m để đồ thị  C :y x 42mx2m 2 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên

Yêu cầu bài toán � 2

có hai nghiệm t 0 phân biệt

Gọi t ,t (0 t1 2  1 t )2 là hai nghiệm của  2

Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là:

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi :

1 Đồ thị hàm số: y  x, trục hoành và đường thẳng y 2 x  .

2 Đồ thị hàm số: y e 1 x và yex1 x

Đề thi Đại học khối A, năm 2007

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :

4 y x 2, trục Ox và tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3.

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :

2 Cho hàm số y x 32x2m 1 x m 1     Trong trường hợp hàm số  1

đồng biến trong tập số thực �, tìm m để diệntích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  1

và hai trục Ox,Oy có diện tích bằng 1

Bài 5: Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P):y x 2và phía trên bởi đường thẳng đi qua A(1;4) có hệ số góc k Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất

2 1

4 2

:

S �(kx k 4 x )dx  

x2 3 2

(k 4k 16)6

Câu 2 Cho đồ thị hàm số y=f x( ) như hình vẽ bên.

Diện tích S của hình phẳng phần tô đậm trong hình

được tính theo công thức nào sau đây?

Câu 5 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm

số y x y= 3, = -2 x và trục hoành Ox (như hình vẽ) được

tính bởi công thức nào dưới đây?

0

1

d 2

Câu 7 Sơ đồ ở bên phải phác thảo của một khung cửa sổ Diện

tích S của cửa sổ được tính bởi công thức nào sau đây?

2

1 2

5

2 d2

2

1 2

1 2 5

-9

1 2

2

5 2 2

522

Câu 8 Cho hai hàm số f x( ) và g x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] với a b< Kí hiệu . S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các1

đường y=2f x y( ), =2g x x a( ), = và x b= ; S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường2

y = � � và các đường �f x� x = , 0 x = được xác định bởi công thức nào sau đây?1

1 0

4321

2

1

1 0

2

S=�f x ��- f x��x+�f x f x�� - ��x

Chọn C.

Câu 10 Cho hàm số f x( ) có đồ thị trên đoạn

[- 1;4] như hình vẽ bên Tính tích phân

1 1 1 5.2.1 2.1 2.1 1.1 1.1

S =

16

S =

C

81.12

và nhấn dấu Nếu màn hình xuất hiện số 0 thì đáp án đó đúng

Câu 14 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= 2- 3x và hai đường thẳng x=- 15, x=15

Đúng với kết quả tính tay.

 Đối với CASIO Ta tính

15 2

Không đúng với kết quả tính tay

Lý do nào hai loại máy tính này cho ta hai kết quả khác nhau? Giải thích: Máy CASIO ''thường không đúng'' cho tích phân trịtuyệt đối với hai cận chứa 3 đoạn đổi dấu trở lên

Câu 15 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x 1+x2, trục hoành và đường thẳng x =1

S=

-C

2 2 1.3

Câu 16 Kí hiệu S S S lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn vị), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng đơn1, , 2 3

vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=2 1- x2, y=2 1( - x) Tính tỉ số

1 3

2

S S S

S S S

S S S

S S S

Tính S Phương trình hoành độ giao điểm: 3 ( )

x x

Chọn D.

Câu 18 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )2

21

y x

=+ , trục hoành và hai đường thẳng x = , 0 x = 4

S =

C

2.25

S =

D

4.25

S =

Lời giải Diện tích hình phẳng cần tính: ( )

4 CASIO

2 0

2 d 8

51

2 18

e

2 12

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn A.

Câu 20 Biết rằng diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnx, trục hoành và hai đường thẳng

1,

S= +e

B

1.2

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn B.

Câu 22 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y e= x+x, x y- + = và 1 0 x =ln5.

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn D.

Câu 23 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường y= +(e 1)x và y= +(1 e x x)

e

S=

24

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn C.

Câu 24 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y= e x+ , trục hoành và hai đường thẳng 1 x =ln3, x =ln8.

S = +

C

3

3 ln2

S = +

D

3

2 ln2

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn B.

Câu 25 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình

thang cong ( )H giới hạn bởi các đường

S =�e x e= = - e

Theo giả thiết S1=2S2�e k- =1 2 4( - e k)� =k ln3 Chọn D.

Câu 26 Kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

x

y e= , y = , 0 x = và 0 x = Đường thẳng1

x=k < <k chia ( )H thành hai phần có diện tích

tương ứng S S như hình vẽ bên, biết 1, 2 S1> Mệnh đềS2

nào sau đây là đúng?

A

3.2

k e

e > +

B

2.2

k e

e > +

C

1.2

k e

e > +

D

1.2

Câu 28 Xét hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số

A b=- 2 B

12

b=-

32

có đồ thị trên đoạn [ ]1;2 như hình vẽ

bên Biết phần diện tích miền được tô màu là

52

Câu 30 Một khung cửa có hình dạng như hình vẽ, phần phía

trên là một parabol Biết a=2,5m, b=0,5m, c=2m Biết

số tiền một mét vuông cửa là 1 triệu đồng Số tiền cần để mua

S= Bh

với B là chiều dài của đáy, h là chiều cao).

Suy ra diện tích khung cửa

2

1 2

14m3

S S= +S =

Khi đó số tiền cần phải trả:

1413

triệu

143

=

triệu đồng Chọn A.

Câu 31 Biết rằng đường parabol ( )P y: 2=2x

chia đườngtròn ( )C x: 2+y2=8

thành hai phần lần lượt có diện tích

là S S (hình vẽ bên) Khi đó 1, 2 2 1

b

c p

với, ,

2

2 88

Câu 32 Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, có

chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm

ngang của mặt trụ Người ta rút dầu trong bồn tương ứng với

0,5m của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của

khối dầu còn lại trong bồn

A 11,781m 3 B 12,637m 3

C 114,923 m 3 D 8,307 m 3

Lời giải Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là: V1=p r h2 =p.1 5 5 m 2 = p 3

Bây giờ ta tính phần dầu bị rút ra bằng 2 cách:

2 1 d 5 3,07m

V = � =S h � - x x� �

.Vậy thể tích của khối dầu còn lại trong bồn: V = -V1 V2�12,637m 3 Chọn B.

Cách 2 (Áp dụng diện tích cung tròn khi biết góc ở tâm trừ đi diện tích

tam giác tạo bởi tâm và 2 đầu mút dây cung)

Câu 33 Cho một viên gạch men có dạng hình vuông

OABC như hình vẽ Sau khi tọa độ hóa, ta có

(0;0 , 0;1 , 1;1 , 1;0) ( ) ( ) ( )

O A B C và hai đường cong

trong hình lần lượt là đồ thị hàm số y x= 3 và

3

y= x Tính tỷ số diện tích của phần tô đậm so với

diện tích phần còn lại của hình vuông

Câu 34 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Ông An có một

mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài

trục bé bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng

8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ)

Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ m Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm2tròn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng.

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Giả sử elip có phương trình

Vậy phương trình của elip là

( ) ( )

2

2 2

56481

Ví dụ 3 Cho parabol  P : y x 2m Gọi  d

là tiếp tuyến với  P

qua O có hệ số góc k 0 Xác định m để khi cho quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi  P ,  d

Mà V 6 �m� mà m 06 � suy ra m 6

Vậy, m 6 thỏa mãn bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y xlnx, y 0, x e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khiquay hình H quanh trục Ox

Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường:

3 y xe ,y 0,x 0,x 2 x    và quay quanh trục Ox

4 y x 24,y 2x 4,x 0,x 2    và quay quanh trục Ox

Bài 4: Tính thể tich của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x 24x 3

và Ox

ĐÁP ÁN CÁC BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1:

Phương trình hoành độ giao điểm: xlnx 0 �x 1 .

I �x lnxdx

Đặt:

3 2

dxdu

x

dv x dx

v3

Bài 2:

1 Phương trình hoành độ giao điểm là x 1

Khi quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi y x, trục Ox và x 1 thì thể tích khối tròn sinh ra là:

Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi x2 2 y 1, Oy, y 1, y 0 sinh ra khối tròn xoay có thể tích là

Câu 37 Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh

trục hoành Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công

thức nào trong các công thức sau đây?

Câu 39 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 1 x = , biết3

rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1� �x 3) thì được thiết diện là một

Lời giải Diện tích thiết diện (hình chữ nhật) là S x( )=3 3x x2- 2.

Câu 40 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 0 x = , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy2

ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0� �x 2) thì được thiết diện là một phần tư hình tròn bán kính 2 x2

16.5

D V=8 pLời giải Diện tích thiết diện (

Câu 41 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 0 x p= , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy

ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x p� � )

thì được thiết diện là một tam giác đều cạnh là 2 sin x

Câu 42 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y=2x x- 2 và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành

khi quay D quanh trục hoành

C

12 .15

D

4 .15

V =

D V =2.

Lời giải Thể tích cần tính 1( 2 )2 1( 2 ) CASIO

Câu 44 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y=lnx, trục hoành và đường thẳng x e= . Tính thể tích V của khối tròn

xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

A V=p(e+1 ) B V =p(e- 1 ) C V= e. D V =p(e- 2 )

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: lnx= � = 0 x 1

Thể tích cần tính

CASIO 2

1

ln d 2,25654

e

V =p� x x ;

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn D.

Câu 45 Kí hiệu V V lần lượt là thể tích của khối cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox1, 2

hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y=-2x+ và đường cong 2 y=2 1- x2. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 46 Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối

tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn

bởi các đường y= x+1 (đồ thị như hình vẽ) và trục

Ox quay quanh trục Ox Biết đáy lọ và miệng lọ có

V = p

C V=7 dm p 3 D V =17 dm p 3

Lời giải Từ giả thiết, suy ra bán kính hai đáy lần lượt là 1dm và 2dm.

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn D.

Câu 49 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= 2 cos+ x, trục hoành và cácđường thẳng x 0,x 2

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn C.

Câu 50 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= 2 sin+ x, trục hoành và cácđường thẳng x=0,x p= Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Đối chiếu kết quả với bốn đáp án đã cho Chọn B.

Câu 51 Ký hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y= sinx- cosx m+ , y = , 0 x = và 0 x 2

p

= với m là tham sốthực lớn hơn 2 Tìm m sao cho thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục hoành bằng

2

3.2

x

y =

và y = Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi x

quay D quanh trục hoành

C

128 .15

D

131 .15

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm

.44

Câu 53 Hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y x= 2+1, trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 2+1 tại điểm

(1;2) Khi quay hình ( )H quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích V bằng:

C

8.15

D V=p.Lời giải Tiếp tuyến của đồ thị y x= 2+1 tại điểm (1;2) có

Câu 54 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đồ thị hàm số y= -4 x2 và y= +2 x2 Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo

thành khi quay D quanh trục hoành

Câu 55 Thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình

phẳng giới hạn bởi các đường y= -1 x2 và y x= 2- 1

quay quanh trục Ox được xác định bởi công thức nào

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 1- x2=x2- � = �1 x 1

Vì đồ thị hàm số y= -1 x2 đối xứng với đồ thị hàm số y x= 2- 1 qua trục hoành nên thể tích khối tròn xoay cần tính bằng thểtích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= -1 x y2, =0,x=- 1,x=1 quay quanh trục Ox

Vậy công thức tính thể tích là

1

2 2

x x x

Câu 57 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số

,

y=- x đường thẳng y=- x+ và trục hoành Khối tròn2

xoay tạo ra khi ( )H quay quanh Ox có thể tích V được xác định

bằng công thức nào sau đây ?

C

676

D

403

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 4- x= � =0 x 4

 Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi 1 14 đường tròn có bán kính R = (như hình vẽ), trục hoành2

và đường thẳng x = xung quanh trục Ox0

��� thể tích tạo thành là nửa khối cầu bán kính R = 2.

V =V +V = p

Chọn D.

Câu 59* Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y=- x+2, y x= +2, x=1. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi

quay hình phẳng ( )H quanh trục hoành.

V = p

C V=9p D

556

Lời giải Đây thuộc bài toán khó, ta phải vẽ hình phát họa mới kiểm soát được.

Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y=- x+2 qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y= x+2. Khi đó thể tích V cần tính

được tạo thành khi cho hình phẳng (H')

giới hạn bởi các đường y= x+2, y= +x 2, trục Ox và đường thẳng x = quay1

● Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng là tam giác ABC được giới hạn bởi các đường 1 y x= + trục hoành và2,đường thẳng x = quanh trục hoành1

1

2 1