ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Từ lúc bắt đầu đến lúc tốc độ phát sinh lợi nhuận của dự án hai bằng tốc độ phát sinh lợinhuận dự án một thì lợi nhuận của dự án hai hơn dự án một bao nhiêu?. Tínhquãng đường vật di chuy

CHƯƠNG 3: (TIẾP THEO)

Bài 2: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a m s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô / 

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t  5t a (m/ s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằnggiây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét thì vậntốc ban đầu a là bao nhiêu?

Giải:

Chọn C

Bài 3:Trong quá trình lắp ráp tôn cho một mái

nhà, người công nhân đã vô tình cắt tấm tôn đi

theo như hình vẽ dưới đây Hỏi diện tích phần tôn

mà người công nhân đó cắt hỏng là bao nhiêu,

biết rằng họ đã khảo sát đường cắt hư có dạng

Ta có: phần tôn cắt hỏng được biểu diễn sau đây:

Theo kiến thức tích phân đã học, Ta có: Diện tích

( )

b a

Bài 4: Người ta sản xuất một chiếc cốc bằng cách xoay miền phẳng giữa y2x2 và y x 1x0

quanh trục Ox Hãy tìm thể tích vật liệu cần đủ để làm nên chiếc cốc này Biết đơn vị đo là cm

Phương trình hoành độ giao điểm:

Vì giả thiết x  nên ta chọn 0 x  1

Như vậy thể tích vật liệu được tính bởi:

( )

b a

Chọn A

Bài 6: Người ta tiến hành thí nghiệm kéo căng một chiếc lò xo bằng một lực 40N để kéo căng mộtchiếc lò xo có độ dài tự nhiên từ 10(cm) đến 15(cm) Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài15(cm) đến 18(cm)

Khi chiếc lò xo bị kéo thêm một đoạn x(m) so với độ dài tự nhiên thì chiếc lò xo tác dụng lạivới một lực ( )f x kx.

Khi kéo căng lò xo từ 10(cm) đến 15(cm) thì nó dãn ra một đoạn 5(cm)=0.05(m) Lúc này, Tacó:

Bài 7: Số lương đám vi trùng ở ngày thứ t xác định bởi N(t) với '  1000

chọn D

Bài 9: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạtđến vận tốc 6m/s Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều Một chất điểm B xuất phát từ cùng vịtrí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều Biết rằng B đuổi kịp Asau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A

Bài 10: Một ô tô xuất phát với vận tốc v t1( ) 2 t10 (m/ s)sau khi được một khoảng thời gian t thì1

bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v t2( ) 20 4 (m/ s)  t và đi thêm mộtkhoảng thời gian t nữa thì dừng lại Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét.2

Giải:

Ban đầu chạy với vận tốc v trong khoảng thời gian 1 t và khi phanh ô tô chuyển động sau1

khoảng thời gian t thì xe dừng lại, tại thời điểm phanh xe thì 2 v2( 0)t 20, cũng chính là vậntốc cuối của v , do đó 1 v t1 1( ) 2 t110 20  t1 5

Bài 13: Vi khuẩn HP (helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng F(m) Biếtnếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa.

Bài 14: Giả sử sau t năm dự án đầu tư thứ nhất sẽ phát sinh lợi nhuận với tốc độ P t1( ) t2 50 trăm

đô la/năm, trong khi đó dự án đầu tư thứ hai phát sinh lợi nhuận với tốc độ P t2( ) 200 5  t trăm đôla/năm Từ lúc bắt đầu đến lúc tốc độ phát sinh lợi nhuận của dự án hai bằng tốc độ phát sinh lợinhuận dự án một thì lợi nhuận của dự án hai hơn dự án một bao nhiêu?

Giải:

Đầu tiên ta phải hiểu rằng lợi nhuận là nguyên hàm của tốc độ phát sinh lợi nhuận

Khi dự án đầu tư thứ hai có tốc độ sinh lợi nhuận bằng dự án đầu tư thứ nhất:

Bài 15: Một vật chuyển động với vận tốc 10(m/s) thì tăng tốc với gia tốc a t  3t t 2(m/ s )2 Tínhquãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

Quãng đường một vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t to(s) đến thời điểm

1(s)

t t với vận tốc ( ) m/ sv t Được tính theo công thức

 1

0

t t

sv t dx

, ở đây vận tốc v(t) lànguyên hàm của gia tốc a(t)

Chọn B

Bài 16: Người ta tác dụng một lực có độ lớn F x   2x 1 vào một cục đá tảng Tính công sinh ra

từ lực này, biết vật này di chuyển một đoạn từ x  đến 1 x  5

Giải:

Trước khi giải bài toán này chúng ta cần lưu ý điều sau Trong vật lý, công thức được hình

thành khi một lực tác đông vào một vật và gây ra sự di chuyển, ví dụ như đẩy bàn, lái xe đạp,

… Nếu có một lực biến thiên, thay đổi ta dùng tích phân để tính công sinh ra lực này Ta sẽ dùng công thức sau:

Bài 18: Một đám vi trung ngày thứ t có số lượng là ( )N t Biết rằng  

4000'

Bài 20: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc cm2 /s

2010

1 2t Giải:

Bài 21:

Một thùng rượu có bán kính các đáy là

30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách

đều hai đáy là đường tròn có bán kính là

40cm, chiều cao thùng rượu là 1m Biết rằng

mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh

thùng rượu là các đường pararabol, hỏi thể

tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu?

Các đường xung quanh thùng rượu là các đường parabol Đặt thùng rượu nằm ngang và chọn

hệ trục có gốc tọa độ là tâm của đáy, trục hoành là trục đối xứng của thùng rượu

Gọi đường paragol có dạng y ax 2bx c

Theo bài ta có đường parabol này sẽ đi qua các điểm 0;0;3 , 1;0;4 , 1;0;3 

Bài 22: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18m/s thì người lái phanh Sau khi hãm phanh, ô tô chuyểnđộng chậm dần đều với vận tốc v t  36t18(m/ s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây

kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển thêm baonhiêu mét?

Khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đến lúc dừng hẳn của ô tô là 0,5s Trong khoảng thời gian

đó ô tô di chuyển đc quãng đường là:

Bài 23: Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian vf t( )(m/ s).

Quãng đường chất điểm chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t đến thời điểm 1 t là 2

2

1( )

t t

sf t dt

.Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm t1 đến thời điểm 1s t2 2s, biết rằng

Bài 24: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0 15 /m s thì tăng tốc với gia tốc

Bài 25: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29, 4 /m s Tính

quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho tới khi chạm đất, biết gia tốc trọng trường là

2

9,8 /m s

Giải:

Ta có: v29,4 9,8 t với t là thời gian (s)

Tại thời điểm viên đạn có độ cao lớn nhất thì: v 0 29,4 9,8 t    0 t 3

Chọn A.

Bài 26: Một chiếc xe hơi đang di chuyển với vận tốc 54km/h thì phát hiện phía trước có 1 chướngngại vật trên đường cách khoảng 20m, người lái xe quyết định hãm phanh, giả sử sau đó xe chuyểnđộng chậm dần đều với phương trình vận tốc 6 t15(m/ s) Khi xe dừng hẳn thì khoảng cách giữa

xe và chướng ngại vật là bao nhiêu?

A Xấp xỉ 5243,83 (trăm đô la) B Xấp xỉ 4243,83 (trăm đô la)

C Xấp xỉ 4143,83 (trăm đô la) D Xấp xỉ 4144,83 (trăm đô la)

 (giây) Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu chuyển động.

Hãy tìm phương trình vận tốc của vật:

Bài 30: Trong giờ thực hành môn Vật Lí Một nhóm sinh viên đã nghiên cứu về sự chuyển động củacác hạt Trong quá trình thình thực hành thì nhóm sinh viên này đã phát hiện một hạt proton dichuyển trong điện trường với biểu thức gia tốc (theo cm s ) là: / 2 a20 1 2  t2 Với t được tínhbằng giây Nhóm sinh viên đã tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi t=0 thì v30 /m s2 Hỏi biểuthức đúng là:

2 2

Tia lửa điện chịu tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a 9,8(m/ s )2

Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là:

Theo đề bài ta được khi t  0 s 0 K 0

Vậy biểu thức tọa độ của quãng đường là:

Do đó, quãng đường có biểu thức là: 0 2  

1

1 2

Bài 34: Trong mạch máy vi tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một hàm số theo thời gian t nhưsau: i 0.3 0.2 t Hỏi tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong 0.05(s) là bao nhiêu?

Bài 36: Trong mạch các máy tivi, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một biểu thức hàm số theothời gian t cho như sau: i0.5 0.1 t Hỏi điện tích đi qua một điểm trong mạch trong thời gian0.03(s) là bao nhiêu?

C

31

Quãng đường một vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t t s0( ) đến thời điểm

sv t dt

Chọn A

Bài 38: Một nhà sản xuất tấm lợp kim loại bằng tôn có chiều rộng 28inch và cao 2inch, bề mặt tấmlợp được dàn bằng máy theo phương trình máy tính lập trình trước mà tập hợp các điểm trên bề mặttấm lợp đều thuộc đồ thị của hàm số sin 7

b

x dx

7

x dx



C

2 28

0

x dx

0

x dx

Bài 39: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25m/s Gia tốctrọng trường là 9,8 m s Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất là:/ 2

A

3125

.98

B

3125

.49

C

125.49

D

6250

.49

Bài 40: Một xô nước bị rỉ có trong lượng 5N được nâng lên không trung 20(m) với tốc độ cố định.Biết lực nâng xô nước là x với x là khoảng từ xô nước tới mặt đất Hỏi công sinh ra khi ta bỏ quatrong lượng xô nước bằng?

b a

Bài 41: Một nhà nghiên cứu ước tính rằng sau t giờ kể từ 0h đêm, nhiệt độ của thành phố Hồ ChíMinh được cho bởi hàm   40 2 102

Bài 42: Bến xe Quyết Thắng quyết định sẽ đầu tư một khu trung tâm thương mại Quyết Thắng Marttại trung tâm Thị trấn Vạn Giã huyện Vạn Ninh, tỉnh Khánh Hòa Giả sử như sau n năm đầu tư, lợinhuận phát sinh trong lần đầu tư đầu tiên với tốc độ là P n1  2n2 trăm đô la/năm, tiếp sau đó là5

dự án đầu tư lần hai thì phát sinh lợi nhuận có tốc độ P n2  20n170 trăm đô la/năm Tính lợinhuận vượt thực tế cho khoảng thời gian trên, biết sau thời gian n năm thì tốc độ lợi nhuận của lầnđầu tư hai gấp 10 lần tốc độ lợi nhuận lần đầu tiên

Lợi nhuận vượt trong khoảng thời gian trên 0  sẽ được xác định bằng tích phân sau:n 3

Bài 43: Một hạt electron có điện tích âm là 1,6.10 C19 Người ta tiến hành tách hai electron từ 1pm đến 4 pm Hỏi công sinh ra là bao nhiêu?

b a

12 12

12 12

Bài 44: Nhiệt độ T (tính theo 0C ) ghi nhận trong một ngày thỏa mãn đường cong sau đây:

T t dt

với a=-12;b=12

Chọn C

Bài 45: Qua theo dõi diễn biến sản xuất lúa gạo ở huyện V từ đầu năm đến nay, tổng sản lượng lúa

của huyện V đang ở vụ Hè-Thu được mô tả bởi T x H( ) 175 x2275 (tấn) và chỉ bằng 75% so vớichỉ tiêu của vụ Đông-Xuân T x D  100x2400x900 (tấn) tính sản lượng thực tế trong thời giansản xuất, biết x là số tháng sản xuất 1 x 12

Bài 47: Công ty Acos một dự án đầu tư, sau thời gian t (năm) kể từ khi bắt đầu dự án cho lợi nhuận

 

K t và tốc độ sinh lợi nhuận là K t'  100t3t2

(triệu đồng/năm) Tính lợi nhuận công ty Athu về từ dự án này ở năm thứ 10

Bài 48: Nhịp trung tâm của cầu Cổng Vàng tại San Francisco của Mỹ là 1280 (m) Chiều cao của tòatháp là 152(m) tính từ mặt đường Hỏi cáp treo chính giữa hai tòa tháp có chiều dài là bao nhiêu?Biết rằng một cáp treo tự do có hình dạng dây chuyền Dạng tổng quát của dây chuyền này là tổngcủa hai hàm số mũ

Đạo hàm hàm số trên ta được:

Bài 49: Nếu lực là một giá trị biến thiên (như nén lò xo) và được xác định bởi hàm ( )F x thì công

sinh ra theo trục Ox từ a tới b là

( )

b a

AF x dx

(đơn vị là Jun (J)) Một con lắc lò xo đang ở trạng thái

tự nhiên thì dài 1m và ki bị nén bởi một lực thì nó chỉ còn 0,65cm, biết độ cứng lò xo là k 16N/m.Hãy tìm công sinh ra lúc này Cho biết nếu lực F dùng để kéo căng lò xo đi một khoảng x đơn vị so

với trạng thái ban đầu của lò xo thì F có dạng F kx, với k là độ cứng lò xo

Bài 50: Người ta đặt vào đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều 0

2sin

2sin

U I

C

0 0 cos 4

U I

D

0 0 cos 5

RI t

C

2

0 2

RI t

D

2

0 3

RI t

22

Bài 52: Một nhà nghiên cứu khoa học đã tiến hành thực nghiệm như sau Ông ước tính rằng sau thờigian t giờ kể từ lúc 0h đêm, nhiệt độ của một thành phố nào đó cho bởi hàm

Vì 6 giờ sáng và 4 giờ chiều lần lượt tương ứng với t =6 và t = 4

Như vậy nhiệt độ trung bình của thành phố giữa 6 giờ sáng và 4 giờ chiều chính là giá trjtrung bình của hàm nhiệt đô C(t) với 6 t 16 Theo công thức tính giá trị trung bình ta có:

16 16

Vậy sau 10 năm thì việc sinh lợi của máy không còn nữa

Như vậy tiền lãi thực trên khoảng thời gian 0 t 10 là P 10  P 0

Bài 54: Một người bán tạp hóa nhận một kiện hàng gồm 10.000 kg gạo và số gạo sẽ bán hết trongvòng 5 tháng, với tốc độ 2000 kg/tháng Nếu chi phí lưu trữ của 1 cent/kg/tháng, thì người đó phảitrả bao nhiêu chi phí lưu trữ trong vòng 5 tháng.

Giải:

Gọi S(t) là tổng chi phí lưu trữ (đô la) sau t tháng Vì gạo được bán với tốc độ không đổi

2000kg/tháng, số kg gạo được lưu trữ sau t tháng là 10000 2000t

Vì chi phí lưu trữ là 1 cent/kg/ tháng, nên tốc độ thay đổi chi phí theo thời gian:

Do đó tổng chi phí trong 5 tháng tới là:

A P866,7  B P886,7  C P868,7  D P888,7 

Giải:

Gọi P q là tổng lợi nhuận của sản phẩm khi sản xuất q sản phẩm. 

Ta có: Tốc độ thay đổi doanh thu là:

Vậy để lợi nhuận công ty lớn nhất thì công ty phải sản xuất 866,7 (đvsp) và khi đó lợi nhuậnlớn nhất là P866,7 .

Chọn A

Bài 56: Một vật có khối lượng m, vận tốc ban đầu v , di chuyển chịu lực cản có độ lớn 0 F C kv, v là

vận tốc của vật, hằng số k 1kg s/ Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t

1

.2

k t m

k t m

k t m



Giải:

Bài toán đang xét vật chuyển động dưới tác dụng của một lực, đó là F C

+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động

+ Theo định luật II Niu-Tơn:

0

v v

k t m

mdv dt

Bài 57: Một lực 1200N nén lò xo từ chiều dài tự nhiên từ 18(cm) xuống còn 16(cm) Hỏi công sinh

ra là bao nhiêu nếu ta tiếp tục nén lò xo từ 16(cm) xuống 14(cm)

Giải:

Ta có hằng số lò xo (theo đơn vị cm): F kx

Vậy 1200k 2  k600(N/ cm)

Vậy trong trường hợp này, ta có: F 600x

Vậy công sinh ra xác định bởi:

Công =

4

4 2 2 2

600xdx300x 3600N



.Chọn A

Bài 58: số lượng vi khuẩn HP (Helicobacter Pylori) có trong dạ dày của một người bệnh sau thời

gian t (ngày) là f t , trong đó   f 21000t Một người bị đau dạ dày do vi khuẩn HP gây ra Khi đi3khám lần thứ nhất, bằng cách xét nghiệm biết được người này có 2550 con vi khuẩn HP trong dạ dàynhưng lúc này cơ thể chưa phát bệnh Biết rằng nếu trong dạ dày người bện có trên 50000 con vikhuẩn thì người bệnh sẽ ở tình trạng nguy hiểm Hỏi nếu sau 15 ngày đó mới đi khám lại thì trong dạdày của bệnh nhân này có bao nhiêu con vi khuẩn và bệnh nhân có đang trong tình trạng nguy hiểmkhông? Nếu có thì số lượng vi khuẩn đã vượt quá ngưỡng an toàn là khoảng bao nhiêu con?

Số lượng vi khuẩn vượt: 50532,72-50000=532,72~ 533 con

Kết luận: người này đang ở tình trạng nguy hiểm cần nhập viện gấp để điều trị

Chọn D

Bài 59: Một vật thể đang di chuyển xuống trên một mặt phẳng nghiêng có phương trình biểu diễnmột lực tỉ lệ là

120

Bài 60: Công suất điện p tạo ra từ một điện trở nào đó xác định bởi

Bài 61: Một vật chuyển động với vận tốc  

trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)

Bài 62: Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là

  3 2 5(m/ s)

v t  t  Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: