HÀM SỐ LOGARIT

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo?. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả l

 Bài 02

LOGARIT

1 Định nghĩa

Cho hai số dương a b, và a¹ Số a thỏa mãn đẳng thức 1 a a =b được gọi

là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b

loga b a a b a b, 0, a 1

a = Û = > ¹

2 Tính chất

Cho hai số dương , a b và a¹ , ta cĩ các tính chất sau:1

log 1 0a = ; loga a= ; 1 aloga b= ; b loga a a= a

3 Các quy tắc tính lơgarit

Cho ba số dương a b b và , , 1 2 a¹ , ta cĩ các quy tắc sau:1

2

loga b loga b loga b

a

n

4 Đổi cơ số

Cho ba số dương , , a b c và a¹ 1, c¹ 1, ta cĩ log log

log

c a

c

b b

a

=

Đặc biệt: loga log1

b

b

a

= , với b¹ 1; log 1loga

a a b b a

5 Logarit thập phân, logarit tự nhiên

Logarit thập phân: Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân,

10

log N N >0 thường được viết là lgN hay logN

viết là lnN

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho các mệnh đề sau:

(I) Cơ số của logarit phải là số nguyên dương

(II) Chỉ số thực dương mới cĩ logarit

(III) ln(A B+ )=lnA+lnB với mọi A>0, B> 0

(IV) log log loga b b c c a= , với mọi , , 1 a b cỴ ¡

Số mệnh đề đúng là:

Lời giải Cơ số của lơgarit phải là số dương khác 1 Do đĩ (I) sai.

Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK

Ta cĩ lnA+lnB=ln (A B) với mọi A>0, B> Do đĩ (III) sai.0

Ta cĩ log log loga b b c c a= với mọi 01 <a b c, , ¹ 1 Do đĩ (IV) sai

Vậy chỉ cĩ mệnh đề (II) đúng Chọn A.

nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

(I) Nếu =C AB với AB > thì 2ln0 C=lnA+lnB

(II) (a- 1 log) a x³ 0Û x³ 1

(III) Mloga N =Nloga M

(IV) 1

2

lim log

®+¥

● Với a> thì 1 (a- 1 log) a x³ 0Û loga x³ 0Û x³ 1

● Với 0< < thì a 1 (a- 1 log) a x³ 0Û loga x£ Û0 x³ Do đó (II) đúng.1

Lấy lôgarit cơ số a hai vế của Mloga N =Nloga M, ta có

Do đó (III) đúng

2

Vậy ta có các mệnh đề (II), (III) và (IV) đúng Chọn C.

Câu 3 Tính giá trị của biểu thức P=loga(a a a.3 ) với 0< ¹a 1

3

P = B 3

2

P = C 2

3

P = D P = 3

Lời giải Ta có

1

Chọn B

Câu 4 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho a là số thực dương và khác 1.

Tính giá trị biểu thức P=loga a

A P =- 2 B P = 0 C 1

2

P = D P = 2

a

1

1

f x x+

-÷

với 0< ¹x 1 Tính giá trị

biểu thức P=f( (2017 ) )

Lời giải Ta có

( )

2

log 2

1 log 2

3.

2

x x

x

x

x

+ ìïï

ïïí ïï

ïïî

1 1

2

f x = x + x+ - =éêëx+ ùúû- =x

Suy ra f(2017)=2017¾¾® (f(2017) )= (2017)=2017. Chọn C

thức P=(loga b+logb a+2 log) ( a b- logab b)logb a- 1

A P=log b a B P =1 C P = 0 D P=log a b

1 log

b

a

-+

2

b

t a

a

Câu 7 Cho ba điểm A b( ;loga b B c), ( ;2loga c , ) C b( ;3loga b với ) 0< ¹a 1,b> ,0 0

c> Biết B là trọng tâm của tam giác OAC với O là gốc tọa độ Tính

S= b c+

A S =9 B S =7 C S =11 D S =5.

Lời giải Vì B là trọng tâm của tam giác OAC nên

0 3

2log 3

a

b b c

c

ì + +

ïïï

ïïïî

b c

ì

0

27

9 4

c

b

b c

S b c

>

ìïï = ï

=

ïïïî

Chọn A.

S= a- b- c

bc

æ ö÷ ç

bc

æ ö÷ ç

=- ç ÷çè ø÷ D S =0

Lời giải Ta có S=2lna- (lnb+lnc)=lna2- ln( )bc =ln( )bc- ln( )bc = Chọn D.0

y

æ ö÷

ç ÷

= ç ÷ç ÷çè ø B M log36 x

y

æ ö÷

ç ÷

= ç ÷ç ÷çè ø C M =log9(x y- ) D M=log15(x y+ )

12

3

M

M M

y

ï =

Cách trắc nghiệm

● Cho x=12¾¾® = Khi đó y 3 M = 1

Thử x=12; y= vào các đáp án thì có các đáp án A, C, D đều thỏa Ta chưa3 kết luận được

● Cho x=122¾¾® =y 32 Khi đó M = 2

Thử x=144; y= vào các đáp án thì có các đáp án A thỏa.9

2

2

loga b =x, logb c= Tính giá trị của biểu thức y P=log c a

xy

2

P xy

2

xy

P =

Lời giải Nhận thấy các đáp án đều có tích xy nên ta sẽ tính tích này.

c

2

P= x

3

P =

1

Dò nghiệm phương trình, lưu vào A

Thế x= để tính A (log x 2 )

Đáp số chính xác là C Chọn C.

với aÎ ¡ Tính giá trị của P=log2x theo a

x

1

2

Tính giá trị của biểu thức A p

q

=

2

A= - B 1 5.

2

A=- - C 1 5.

2

A=- + D 1 5.

2

A= +

9

16

t t t

p

p q

ìï = ïï ï

ïï + = ïî

9t 12t p q 16.t

Chia hai vế của ( )* cho 16t, ta được

2

2

1 0

« çç ÷÷+çç ÷÷- = « çç ÷÷=

t

ç ÷

çè ø

t

p A q

ç

Câu 14 Cho , , a b c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4 a=25b=10c Tính

c c

T

a b

= +

2

T = B T = 10. C T =2 D 1

10

T =

Lời giải Giả sử

4 25 10

log

log

ì = ïï ïï

ïî

log 4 log 25

c c

T

2 2 2

3 7 11

T =a +b +c

A T =76+ 11 B T =31141 C T =2017 D T =469

Lời giải Ta có ( log 73 )log 7 3 ( log 117 )log 11 7 ( log 2511 )log 25 11

T = a +b + c

( )log 73 ( )log 117 ( ) 11

Áp dụng alogab= , ta được b

3

7

11 11

11

3 log 7

2 log 11

log 25

log 25

log 25

ìïï

ïï

íï ïï

ïî Vậy T =343 121 5 469.+ + = Chọn D.

Một học sinh tính

2

P

P= a+ a + + a

b

P= a a a a .

III) log 1 2 3 n

b

IV) P=n n( +1 log) b a.

Trong các bước trình bày, học sinh đã trình bày sai ở bước nào?

2

n

n n

Câu 17 Cho

2

M

nào sau đây là đúng?

loga

k k

M

x

+

loga

k k M

x

+

2loga

k k M

x

+

3loga

k k M

x

+

Lời giải Ta có

a

M

k

k k k

k

+

Chọn C

Câu 18 Tính

b

b

a

Chọn B.

I = æçççè ö÷÷÷ø= = - = - = -a b

Chọn D.

Câu 20 Tính P =ln 2cos1 ln 2cos2 ln 2cos3 ln 2cos89( 0) ( 0) ( 0) ( 0), biết rằng trong

tích đã cho có 89 thừa số có dạng ln 2cosa với ( 0) 1£ £a 89 và aÎ ¢

A P = 1 B P =- 1 C 289

89!

P = D P = 0

Lời giải Trong tích trên có ( 0) 1

2

ç

= ççè ø÷÷= = Vậy P = Chọn D.0

log

x

f x

x

ç

= ççè - ÷÷ø Tính tổng

S=fæççç ö÷÷÷+ æççç ö÷÷÷+fæççç ö÷÷÷+ + æççç ö÷÷÷+fæççç ö÷÷÷

2 1

x x

f x f x

ç

ç

Áp dụng tính chất trên, ta được

S=éêfæçç ö÷÷÷+ æçç ö÷÷÷ù éú ê+ fæçç ö÷÷÷+ æçç ö÷÷÷ùú+ +éêfæçç ö÷÷÷+ æçç ö÷÷÷ùú

1 1 1 1008

2

P= x + x + x

2

P = B P = 2 C 2.

2

P =- D P =3 2.

loga loga

A P=27log a b B P=15log a b C P=9log a b D P=6log a b

2

đúng?

a

a

+

=

Lời giải Ta có

2

log

a

+

Chọn D.

đặt log x a3 = và log y b3 = Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A

3 27

2

x a

b y

æ ö÷

3 27

2

x a

b y

æ ö÷

çè ø

C

3 27

2

y

3 27

2

y

çè ø

Lời giải Ta có

3

Chọn B.

4

5 log 2

log 120 2

b

2

b ab a

A

ab

ab

C 3 4

2

b ab a

A

ab

2

b ab a A

ab

4

3 5

1

4

log 2 5.3

2

3

b ab a

ab

Cách 2 Dùng CASIO:

Bấm máy log 5 và lưu vào biến A; Bấm máy 2 log 5 và lưu vào biến B.3

Giả sử với đáp án A, nếu đúng thì hiệu

4

5

log 120 2

2 2

b ab a ab

Nhập vào màn hình

4

5

log 120 2B AB A

2AB 2

dấu =

Màn hình xuất hiện số khác 0 Do đó đáp án A không thỏa mãn

Thử lần lượt và ta chọn được đáp án đúng là C

diễn log 45 theo a và b 6

A log 456 a 2ab

ab

+

2 6

ab

C log 456 a 2ab

ab b

+

=

2 6

ab b

-=

Lời giải Ta có log 45 log 9 log 5.6 = 6 + 6

1

a a a



6

log 5

a

b a

a

=

a b a ab b

+

dương thoả mãn log2x=5log2a+3log2b Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A x=3a+5b B x=5a+3b C x a= 5+b3 D x a b= 5 3

log x=5log a+3log b=log a +log b =log a b Û x a b=

Chọn D.

2

b= Tính

4

I = éë aùû+ b .

4

I = B I = 4 C I = 0 D 3

2

I =

3

2

1

2

b= ¾¾® =b =

4

Câu 30 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho a là số thực dương tùy ý khác

1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A log2a=log 2.a B 2

2

1

log

a

a

log 2a

Lời giải Chọn C.

Câu 31 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Với mọi số thực dương a và b

thỏa mãn a2+b2=8ab, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log( ) 1(log log )

2

a b+ = a+ b B log(a b+ = +) 1 loga+log b

C log( ) 1(1 log log )

2

2

a +b = abÛ a b+ = ab

2

thỏa mãn x2+9y2=6xy Tính 1212( 12)

M

x y

=

+

2

M = B 1

3

4

M = D M =1

x + y = xyÛ x- y = Û x= y Suy ra

( )

( )

( )

M

+

2

12

2

12

log 36

1

log 36

y

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

1

1

1 1

a ab= + b

Câu 34 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho a là số thực dương khác 1.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng với mọi số thực dương , x y

log

a a

a

x x

loga x loga x y

y=

x

Lời giải Chọn D.

đúng ?

A loga(x y+ )=loga x+loga y B log logb a a x=logb x

a

log log

log

a a

a

x x

y= y.

loga x loga y loga x

y

1

loga loga x

log loga x=log x¾¾® B đúng Chọn B.

Câu 36 Cho , a b là các số thực dương và a¹ Khẳng định nào sau đây1 đúng?

A loga(a2+ab)= +4 2log a b B loga(a2+ab)=4loga(a b+ )

C loga(a2+ab)= +2 2loga(a b+ ) D loga(a2+ab)= +1 4log a b

2

a

a +ab= éëa a b+ ùû= éëa a b+ ùû= éë a+ a b+ ùû

2loga a 2loga a b 2 2loga a b

lna - b =3ln a - b

b

æö÷

-ç ÷

2

b

æö÷

-ç ÷

çè ø

đúng?

A 3

a

a

b b

1

a

a

b b

æ ö÷

C 3

a

b

1

a

b

Lời giải Ta có

1

log

a

a a

a

b

a a

b

æ ö÷

çè ø

Chọn C.

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?

ïï

đây là đúng?

0;1 1;

a b

ìï Î ïí

ïî B a bÎ; (0;1) hoặc a bÎ; (1;+¥ )

1;

0;1

a

b

ïí

ï Î

ïî hoặc a bÎ; (1;+¥ ). D a bÎ; (0;1) hoặc bÎ (1;+¥ )

a b> ¬¾® a b> a ¾¾ ¾® << < b

a b> ¬¾® a b> a ¾¾® >> b

Từ hai trường hợp trên, ta được 0 , 1

a b

a b

é < <

ê

ê > >

Biết rằng loga(x y+ )> và 0 logb( )xy < Mệnh đề nào sau đây là đúng?0

a

b

ì >

ïï

íï < <

1 1

a b

ì >

ïï

íï >

1

a b

ì < <

ïï

íï >

a b

ì < <

ïï

íï < <

2

x y x y xy

x y

íï >

Kết hợp với log (x y+ )> ¾¾0 ® > a 1

● Ta có ,2 02 , (0;1) 0 1

1

x y

x y

ì >

íï + =

Kết hợp với logb( )xy < ¾¾0 ® > Chọn B.b 1

x= ¾¾® =y

Khi đó

2 3

4

x y

xy

ïï

ïí

ïï

ï < = <

ïïî

( )

a b

x y xy

ïí

1 1

a b

ì >

ïï

íï >

a b = Khẳng định nào sau đây là đúng?

m x =n m xvới x> , ta được0

( log )

a b = c a a b= c b

Suy ra logc b= Û1 b c= Chọn C.

2

9log x+4 logy =12log logx y Mệnh đề nào sau đây là đúng?

9log x+4 logy =12log logx y

3logx 2.3log 2logx y 2logy 0

số cộng

A x = 1 B x =2 C x =log 5.2 D x =log 3.2

Vì ln2, ln 2( x- 1 ,ln 2) ( x+ theo thứ tự đó lập thành CSC nên ta có3)

-2

2

x

x

é =-ê

ê = ê

Câu 45 Trong các giá trị của a được cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới

log a>log a ?

4

a=- B 5

4

5

3

a=

1

0

a

a

é >

ê

Đối chiếu với điều kiện ta được: a> 1

Do đó trong các số đã cho chỉ có 5

4 là thỏa mãn Chọn B.

Cách trắc nghiệm: Thay lần lượt bốn đáp án và bấm máy tính.

3

x

y= ÷æöçç ÷çè ø÷ và nằm hoàn toàn phía

9

y = Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A x < 2 B x <- 2 C x >- 2 D x > 2

Lời giải Hoành độ các điểm trên đồ thị hàm số 1

3

y= ÷æöçç ÷çè ø÷ và nằm hoàn toàn

9

y = thỏa mãn

2

2

x

ç ÷< « ç ÷<ç ÷Û >

Câu 47 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Một người gửi 50 triệu đồng vào

một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra

gửi

Ta có công thức lãi kép: T =M(1+r)n là số tiền nhận được sau n năm.

Theo đề bài, ta có T >100Û 50 1 6%( + )n>100Û 1,06n> ¾¾2 ® >n 11

Do kỳ hạn là 1 năm nên phải đúng hạn mới được nhận

Vậy người này cần ít nhất 12 năm Chọn B.

Câu 48 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đầu năm 2016, ông A thành lập

một công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm

2016 là 1 tỷ đồng Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm nào

dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân

viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

Lời giải Ta xem đây như bài toán lãi suất gởi ngân hàng được phát biểu ngắn gọn

như sau: ''Đầu năm 2016, ông A gởi vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất hàng năm là 15% Hỏi đến năm nào là năm đầu tiên ông A nhận được số tiền lớn hơn 2 tỷ đồng Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo ''

Gọi M là số tiền gửi ban đầu, r =15%/năm là lãi suất, n là số năm gửi.

Ta có công thức lãi kép: T =M(1+r)n là số tiền nhận được sau n năm.

Theo đề bài, ta có T > Û2 1 1 15%( + )n> Û2 1,15n> ¾¾2 ® >n 4

Do kỳ hạn là 1 năm nên phải đúng 5 năm sau mới nhận được Lúc đấy là năm

2016 5 2021+ = Chọn B.

Câu 49 Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2tỷ để mua nhà Hỏi

anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn

Lời giải Giả sử anh Nam bắt đầu gửi M đồng từ đầu kì 1 với lãi suất là r

● Cuối kì 1 có số tiền là: T1 +=M(1+ r)

● Đầu kì 2 có số tiền là: T2=M(1+ +r) M

( )

r

( )3 ( ) ( )3

● Cuối kì 3 có số tiền là: ( )3 ( ) ( )4 ( )

…………

n

M

r

+

Suy ra

n n

T r M

+ +

=

Áp dụng công thức với

2000000000 6

8% 0,08

n

T n r

+

ïïï = íï

ïî

, ta được M =252435900 Chọn D.

Câu 50 Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô Camry.

Hỏi rằng ông A phải gửi ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau) là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là 0.5% và tiền lãi sinh ra hằng tháng được nhập vào tiền vốn

tháng, số tiền gởi đều đặn mỗi tháng

● Cuối tháng thứ nhất, người đó có số tiền là: T1= +a ar =a(1+r)

● Đầu tháng thứ hai, người đó có số tiền là: a(1+ + =r) a aéë(1+ +r) 1ùû

r r

= êë + - úû+ êë + - úû ( )2 ( )

M

● Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là: T n a(1 r)n 1 1( r)

r

= êë + - úû +

n n

T r a

=

1.000.000.000 0,5%

14.261.494,06

Vậy mỗi tháng ông A phải gửi tiết kiệm 14 triệu 261 ngàn 500 đồng vào ngân

hàng, liên tục trong 5 năm Chọn C.

Câu 51 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng

100 triệu đồng, với lãi suất 12% /năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn

nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau

và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền

m mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu?

Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Việt hoàn nợ

100 1,01

3

3 3

1,01

m=

- (triệu đồng).

3

3 3

120 1,12

m=

- (triệu đồng).

Lời giải Ở đây, ta phải quy ước số tiền lãi thay đổi theo từng tháng Nếu

không, học sinh sẽ tính tổng số tiền vay là 100 triệu đồng, lãi cần trả là 0,12

3 0,03

Khi đó, số tiền cần trả là 100 1 0,03( ) 100 1,03

Tuy nhiên nếu lãi suất thay đổi theo tháng thì vấn đề phức tạp hơn (và có lẽ đây cũng là cách hiểu mà đề đang hướng đến, vì cách hiểu này phù hợp với thực tế)

Lãi hàng tháng mà ông phải trả là 0,12 0,01

tổng số nợ tháng sau sẽ bằng số nợ tháng trước nhân với 1,01

Thán

g

Tiề

n

trả

2 m (100 1,01´ - m)´1,01- m éë(100 1,01´ - m)´1,01- mùû´0,01

3 m éë(100 1,01´ - m)´1,01- mùû´1,01- m 0(theo giả thiết thì đến đây

hết nợ)

Do ta có phương trình:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3

1,01 1 1 1,01 1,01

B

Câu 52 Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền 100000000 đồng.

Người đó dự định sau đúng 5 năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một

tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau Hỏi, theo cách đó, số tiền a mà

ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là 1,2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ

A

59 5

60

1,2

100

100

a

=

60 5

60

1,2

100

100

a

=

(đồng)

C

60 6

60

1,2

100 1,2

100

a

=

59 6

60

1,2

100 1,2

100

a

=

(đồng)

tổng số tiền vay còn lại sau mỗi tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng

● Sau khi hết tháng thứ hai (n=2) thì còn lại: T2=éëm r( + -1) a rùû( + -1) a