hàm số lũy thừa- hàm số mũ, hàm số logarit

Nhận xét: Trong lời giải trên:  Ở câu a, chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để chuyểnphương trình về dạng tích..  Ở câu b, chúng ta đã sử dụng phương pháp biến đổi

CHƯƠNG 2 - HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

a với n nghuyên âm

Định nghĩa 2: ( Căn bậc n): Với n nguyên dương căn bậc n của số thực a là số thực b (nếu có) sao cho bn =

a

Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây:

 Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n, kí hiệu na

 Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau Căn có giá trị dương

kí hiệu là na (còn gọi là căn số học bậc n của a), căn có giá trị âm kí hiệu là và -na

Định nghĩa 3: ( Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a là số thực dương và r là một số hữu tỉ Giả sử r = m

� �

� �

� � =

n n

a

b .

Định lí 1: Cho m, n là những số nguyên Khi đó:

1 Với a > 1 thì am > an khi và chỉ khi m > n

2 Với 0 < a < 1 thì am > an khi và chỉ khi m < n

II LÔGARIT

Định nghĩa1: Cho 0 < a  1, b > 0, ta định nghĩa

 = logab  b = a,  = lgb  b = 10,  = lnb  b = e,

từ định nghĩa ta được:

loga1 = 0, logaa = ; logaab = b, với mọi b; a logab = b với b > 0

So sánh hai lôgarit cùng cơ số

Định lí 1: Cho các số dương b và c.

(1) Khi a > 1 thì logab > logac  b > c

Hệ quả: Khi a > 1 thì logab > 0  b > 1

(2) Khi 0 < a < 1 thì logab > logac  b < c

Hệ quả: Khi 0 < a < 1 thì logab > 0  b < 1

(3) logab = logac  b = c

Các quy tắc tính lôgarit

Định lí 2: Với a dương khác 1 và các số dương b, c, ta có:

(1) logab + logac = loga(bc),

Trường hợp chỉ có bc > 0 thì loga(xy) = logab + logac

(2) logab - logac = logab

c,

trường hợp chỉ có bc > 0 thì logab

c = logab - logac

(3) logab = logab,

Trường hợp b  � và  = 2k, k  Z thì logab = logab

Hệ quả: Với n nguyên dương thì

loga1

b = logab; loganb = 1

nlogab.

Đổi cơ số của lôgarit

Định lí 3: Với a, b dương khác 1 và số dương c, ta có:

logbc = a

a

log clog b hay logab.logbc = logac

b Với mọi x  �, ta có (ex)' = ex và (ax) = ax.lna

c Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x  J, ta có

(eu)' = u'.eu và (au) = u'.au.lna

 Luôn cắt trục Oy tại A(0; 1)

 Nằm ở phía trên trục hoành

 Nhận trục hoành làm tiệm cân ngang

IV HÀM SỐ LOGARIT

Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a (0 < a  1) có dạng y = logax

Đạo hàm của hàm số mũ: Ta ghi nhận các kết quả sau:

c Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x  J, ta có

(lnu)' = u'

u và (logau)' =

u'u.lna.

Xét hàm số y = logax, với 0 < a  1, ta có các tính chất sau:

1 Hàm số liên tục trên D = (0, + ) và tập giá trị I = �

2 Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mọi x

 Với a > 1 thì logax1 > logax2  x1 > x2, tức là hàm số đồng biến

 Với 0 < a < 1 thì logax1 > logax2  x1 < x2, tức là hàm số nghịch biến

3 Đồ thị của hàm số có 2 dạng và:

 Luôn cắt trục Oy tại A(1; 0)

 Nằm ở bên phải trục tung

 Nhận trục tung làm tiệm cân đứng

V HÀM SỐ LUỸ THỪA

Định nghĩa: Hàm số lũy thừa là hàm số xác định bởi công thức y = x, với  là hằng số tùy ý

Tập xác định là (0; +), trừ các trường hợp sau:

 Nếu  nguyên dương thì hàm số có tập xác định là �

 Nếu  nguyên âm hoặc  = 0 thì hàm số có tập xác định là �*

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: Ta ghi nhận các kết quả sau:

a Hàm số y = x có có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và:

(x)' = .x  1

b Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x) > 0 trên J thì:

(u)' = .u'.u  1, với mọi x  J

Chú ý: 1 Với n là số nguyên tùy ý, ta có (xn)' = n.xn  1 với mọi x  0; và nếu u = u(x) là hàm số có đạo

hàm và u(x)  0 trên J thì (un)' = n.u'.un  1, với mọi x  J

2 Ta có:

(nx)' = n1n 1

n x , với mọi x > 0 nếu n chẵn, với mọi x  0 nếu n lẻ

3 Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0 với mọi x thuộc Jkhi n chẵn, u(x)  0 với mọi x thuộc J khi n lẻ thì:

(nu)' = nu'n 1

n u

VI CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1 Phương trình mũ cơ bản có dạng ax = m, trong đó a > 0 và m là số đã cho

Khi đó:

 Nếu m  0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu m > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = logam

Ta có các kết quả:

af(x) = ag(x)  f(x) = g(x)

Với a > 1 thì af(x) > ag(x)  f(x) > g(x)

Với 0 < a < 1 thì af(x) > ag(x)  f(x) < g(x)

2 Phương trình lôgarit cơ bản có dạng logax = m, trong đó m là số đã cho

Ta phải có điều kiện x > 0 và 0 < a  1

Với mọi m phương trình luôn có nghiệm duy nhất x = am

Ta có các kết quả:

logaf(x) = logag(x)  f(x) = g(x) > 0

Với a > 1 thì logaf(x) > logag(x)  f(x) > g(x) > 0

Với 0 < a < 1 thì logaf(x) > logag(x)  0 < f(x) < g(x)

3 Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

a Phương pháp đưa về cùng cơ số

b Phương pháp đặt ẩn phụ

c Phương pháp lôgarit hóa: Ta có thể giải một phương trình có hai vế luôn dương bằng cách lấy

lôgarit hai vế theo cùng một cơ số thích hợp

d Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

e 1lim 1f(x)

ln f(x) 1lim 1

0

x x

f(x)limg(x)

e 1lim

 Ở câu b), chúng ta tách giới hạn ban đầu thành hai giới hạn cơ bản bằng việc thêmbớt 1

 Với quy tắc Lôpitan, ta có:

2 3x 2

x 0

e elim

2x 3x

x 0

e elimx

x 0

1 x 1lim ln

x 0

ln(x 1) ln(x 1)lim

e 1x

x

x 0

x.ln(x 1) ln(x 1)lim lim

xx

e 1limx

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1Khẳng định rằng hàm số xác định tại điểm x0, tính f(x0)

f(x) =

2 2x

e 1x

�



 =

2 2 2x

x 0

x.ln(x 1)xlim2(e 1)2x

Vậy, với a = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

D¹ng to¸n 4: Tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit và hàm số hợp của

2x

4x e2x e 1

2 e 1

  



2 2x 2x

2x

2x e2x e 1

e 1

  



 2x  2 2x 2x

2

x2x.ln x 1

x 1

  

 .

D¹ng to¸n 5: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ và lôgarit Các

bài toán liên quan

Ví dụ 3 Cho hàm số (Cm): y = xemx

1 Với m = 2:

a Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số (C).

b Biện luận theo a số nghiệm của phương trình xe-2x = a

c Tìm b để phương trình sinx.e-2sinx = b có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng [0;

(2) Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực xlim y = -, xlimy = 0

Kết luận:

 Hàm số đồng biến trên khoảng 1

;2

b Số nghiệm của phương trình xe-2x = a là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = a Ta có:

 Với a ≤ 0, phương trình có nghiệm duy nhất

sinx = t0 phương trình này có 2 nghiệm thuộc khoảng [0; ]

Vậy, điều kiện là đường thẳng y = b cắt đồ thị (C) phần [0; 1] tại đúng một điểm:

a Hàm số đồng biến trên � khi:

y' ≥ 0 với mọi x�  mx + 1 ≥ 0 với mọi x�  m = 0

b Hàm số có cực trị khi:

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  m  0

c Hàm số có cực tiểu khi (1) có nghiệm duy nhất và qua đó y' đổi dấu từ  sang +, tức m > 0

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 6

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Với phương trình af(x) = bg(x) ta cần chọn phần tử trung gian c để biến đổi phươngtrình về dạng:

(c)f(x) = (c)g(x)  cf(x) = cg(x)  f(x) = g(x),

 Với phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 ta sử dụng kết quả “Nếu a, b, c, d nguyên

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 4

Nhận xét: Trong lời giải trên ở câu a), chúng ta đã sử dụng kết quả trong chú ý ở cuối dạng 1 để tránh

phải kiểm tra điều kiện x3  4x2 + 2x + 6 > 0

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 0, x = log32

b Phương trình được biến đổi về dạng:

2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = 2  log3[1 + log2(1 + 3log2x)] = 1

 1 + log2(1 + 3log2x) = 3  log2(1 + 3log2x) = 2  1 + 3log2x = 4

 log2x = 1  x = 2

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Ở câu a), chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để chuyểnphương trình về dạng tích Và từ đó, nhận được hai phương trình mũ dạng 2

 Ở câu b), chúng ta đã sử dụng phương pháp biến đổi dần để loại bỏ được lôgarit.Cách thực hiện này giúp chúng ta tránh được phải đặt điểu kiện có nghĩa chophương trình

D¹ng to¸n 2: Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ và lôgarit

Phương pháp

Phương pháp dùng ẩn phụ là việc sử dụng một (hoặc nhiều) ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu

thành một phương trình hoặc hệ phương trình với một (hoặc nhiều) ẩn phụ

1 Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau đối với phương trình mũ:

khi đó đặt t = ax, điều kiện t > 0, suy ra bx = 1

� �

� �

� � + 3 = 0Đặt t =

x

ab

� �

� �

� �, điều kiện t > 0, ta được 1t2 + 2t + 3 = 0

Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử a2f, b2f, (a.b)f , ta thực hiện theo các

� �

� �

� �, điều kiện hẹp t > 0.

Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t > 0 cho trường hợp đặt t = af(x) vì:

 Nếu đặt t = ax thì t > 0 là điều kiện đúng

 Nếu đặt t = 2x 1 2  thì t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t 

2 Điều này đặc biệt quan trong cho lớp các bài toán có chứa tham số

2 Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau đối với phương trình lôgarit:

a

log x = tk, logxa = 1

t với 0 < x  1

Tuy nhiên, trong nhiều bài toán có chứa alog x b , ta thường đặt ẩn phụ dần với t = logbx

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

Khi đó phương trình tương đương với:

x 12

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2

Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với hai dạng đặt ẩn phụ cơ bản

3 9233

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 2 hoặc x = log32  1

b Viết lại phương trình dưới dạng:

� �

� �

� � = 1  x = 0

Vậy, phương trình có nghiệm x = 0

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

2log3x + 1 = 0  9log3x  10log3x + 1 = 0

Đặt t = log3x, ta biến đổi phương trình về dạng:

x 3log x 1

3x 33x 3

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 30,8 hoặc x = 33

Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với dạng đặt ẩn phụ cơ bản của

 Với câu b), chúng ta cần sử dụng công thức đổi cơ số để làm xuất hiện ẩn phụ

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

log x log 4xlog 2x log 8x . b 3

1log 4xlog x 3

3log x log x log x

3 12 2.8  33log x 2 (3.2 )2 log x 2 2.23log x 2 (**)

Đặt t = log3x, ta biến đổi phương trình về dạng:

� �

� �

� �  t = 0  log3x = 0  x = 1

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 1

Nhận xét: Với câu b) các em học sinh có thể giảm bớt một lần đặt ẩn phụ bằng cách chia hai vế của

phương trình (*) cho 23log x 2

Ví dụ 5 Giải phương trình lg2x - lgx.log2(4x) + 2log2x = 0

 = (2 + log2x)2 - 8log2x = (2 - log2x)2

suy ra phương trình có nghiệm:

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 100 và x = 1

Chú ý: Một mở rộng khá tự nhiên của phương pháp đặt ẩn phụ kiểu này là chúng ta có thể sử dụng

ngay các hằng số hoặc các tham số trong phương trình để làm ẩn phụ, phương pháp này có

tên gọi là "Phương pháp hằng số biến thiên".

D¹ng to¸n 3: Phương pháp lôgarit hóa giải phương trình mũ và lôgarit

Phương pháp

Ta có thể giải một phương trình có hai vế luôn dương bằng cách lấy lôgarit hai vế theo cùng một cơ sốthích hợp

Cụ thể:

af(x) = bg(x)  logaaf(x) = logabg(x)  f(x) = g(x).loga b

hoặc logbaf(x) = logbbg(x)  f(x).logba = g(x)

hoặc logcaf(x) = logcbg(x)  f(x).logca = g(x).logcb

Chú ý: Phương pháp logarit hoá tỏ ra rất hiệu lực khi hai vế phương trình có dạng tích các luỹ thừa.

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

a 23 x 32 x b 5x.8xx1 = 500

 Giải

a Ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được:

2 log 23

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 2 3

3log 32

� �

� �

� � =

lg3lg2  x = 3 2

b Điều kiện x  0 Tới đây, ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 5 hai vế của phương trình, ta được:

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 3, x = log52

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

log 5 2�  �

� �

� � = 0 log25x - 3 +

x 3 x 2

log 2 = 0  (x - 3)log25 +

x 3x

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 3, x = log52

Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với phương pháp lôgarit hóa Và

ở đó:

 Với câu a) đã trình bày các cách lấy lôgarit hóa hai vế của một phương trình

 Với câu b) các em học sinh sẽ nhận thấy tính linh hoạt trong việc sử dụng các phépbiến đổi đại số trước khi thực hiện phép lôgarit hóa hai vế của một phương trình đểgiảm thiểu tính phức tạp

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

Lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế của phương trình, ta được:

log5(x6.5 log 5 x ) = log555  log5x6 + log5 x

log 5

5 = 5

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 51 hoặc x = 65

D¹ng to¸n 4: Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số để giải phương trình mũ và

lôgarit

Phương pháp

Ta sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x) = k có không quá một

nghiệm trong khoảng (a, b)

Phương pháp áp dụng: ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1Chuyển phương trình về dạng f(x) = k

Bước 2Xét hàm số y = f(x)

Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu ( giả sử đồng biến)

Bước 3Nhận xét:

 Với x = x0  f(x) = f(x0) = k, do đó x = x0 là nghiệm

 Với x > x0  f(x) > f(x0)  f(x) > k, do đó phương trình vô nghiệm

 Với x < x0  f(x) < f(x0)  f(x) < k, do đó phương trình vô nghiệm

Bước 4Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Tính chất 2 Nếu hàm f tăng trong khoảng (a; b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng

(a; b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b) (do đó nếu tồn tại x0(a;b): f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

a 2x + 3x = 5 b log2(x + 2) + log3(x + 3) = 2

 Giải

a Nhận xét rằng:

 Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

 Vế phải của phương trình là một hàm hằng

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình vì 21 + 31 = 5, đúng

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Điều kiện x ≥ 2 Nhận xét rằng:

 Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

 Vế phải của phương trình là một hàm hằng

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của phương trình vì log22 + log33 = 2, đúng

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

b 3x = 4  x b log3x = 4  x

 Giải

a Nhận xét rằng:

 Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

 Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình vì:

31 = 4  1  3 = 3, đúng

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Nhận xét rằng:

 Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

 Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 3 là nghiệm của phương trình vì:

log33 = 4  3  1 = 1, đúng

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 3 Giải phương trình 31  x  log2x  1 = 0

 Vế trái của phương trình là một hàm nghịch biến

 Vế phải của phương trình là một hàm đồng biến

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình vì:

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Chú ý: 1 Đối với phương trình logarit có một dạng rất đặc biệt, đó là:

Khi đó, phương trình được chuyển thành hệ:

Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:

f(x) = f(y)  x = y

Khi đó (2) có dạng:

sax + b - dx - e = 0 (4)Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm của (4)

2 Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu vềdạng thoả mãn điều kiện (*)

Ví dụ 4 Giải phương trình:

6x = 3log 6 (5x + 1) + 2x + 1

Xét hàm số f(t) = 6t + 3t là hàm đơn điệu trên R.

Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:

Dùng phương pháp hàm số để xác định nghiệm của (4)

Ví dụ sau sẽ minh hoạ cụ thể dạng phương trình kiểu này

Ví dụ 5 Giải phương trình log2[3log2(3x - 1) - 1] = x

 Giải

Điều kiện

2 13

Cộng theo vế hai phương trình của (I), ta được:

log2(3y - 1) + y = log2(3x - 1) + x (3)

Xét hàm số f(t) = log2(3t - 1) + t, ta có:

 Miền xác định D = (

1 3

2 13

 ; + )

 Đạo hàm:

f'(t) = (3t 1)ln 23 + 1 > 0, t  D

Suy ra hàm số đồng biến trên D

Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:

2 13

log x

142y3

 Với x = 1 suy ra y = 1-3 = 1

 Với x = 2  y = 1

8 Vậy, hệ phương trình có hai cặp nghiệm (1; 1) và (2; 1

2 x y 1

y3

Vậy, hệ phương trình có một cặp nghiệm (1; 3)

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Ở câu a), chúng ta sử dụng ngay phép thế y = x3 vào phương trình thứ nhất của hệ

để nhận được một phương trình mũ dạng:

[u(x)]f(x) = [u(x)]g(x)  ��u(x) 1f (x) g(x)

� .

 Ở câu b), để tường minh chúng ta có thể trình bày theo cách:

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là (2; 18) hoặc (18; 2)

b Biến đổi hệ phương trình về dạng:

161

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là x = y = 1

2.

Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Ở câu a), bằng việc sử dụng công thức biến đổi tổng của hai logarit cùng cơ số(trong đó 1 = log44) chúng ta nhận được dạng Viét cho hai ẩn x, y

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp thế như sau:

Rút y = 20  x từ phương trình thứ nhất của hệ thay vào phương trình thứ hai, tađược:

log4x + log4(20  x) = 1 + log49  log4[x(20  x)] = log436

 Ở câu b), chúng ta đã sử dụng phép mũ hoá để nhận được tích của hai toán tử 42x và

42y, từ đó sử dụng hệ quả của định lí Viét Đây chính là sự khác biệt mà các em họcsinh cần lưu ý cho hai dạng hệ phương trình ở a) và b)

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp thế như sau:

Rút y = 1  x từ phương trình thứ nhất của hệ thay vào phương trình thứ hai, tađược:

log x log 7.log y 1 log 2

3 log y (1 3log x)log 5

1lgy lg3

log x log y 1 log 2

3 log y log 5 3log 5.log x

y 32y

12x

xy

Vậy, hệ phương trình có một nghiệm

Ví dụ 2 Giải các hệ phương trình sau:

a

lg x lg y 1x

lg 1y

ln(xy) ln x 1ln(xy) ln y 1

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (10; 10).

Chú ý: Với các em học sinh đã có kinh nghiệm trong việc giải toán thì:

 Ở câu a), chúng ta có thể trình bày (với điều kiện x > 0, y > 0) theo cách: