Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Chủ đề 2 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT I..  Đạo hàm và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit... Kĩ năng  Biết tìm tập xác định của hàm số liên quan đến hàm số lũy thừa, h

Chủ đề 2 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

I KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT

I 1 Kiến thức

1 Lũy thừa

- Lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n là số nguyên dương, a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích

của n thừa số a : n { .

n

a a a a Với a�0 :a0 1; a n 1n

a

 

- Cho số thực b và số nguyên dương n ( n � Số a được gọi là căn bậc n của b nếu 2) n

a  b Khi n lẻ, chỉ có một căn bậc n của b��, kí hiệu là n b

Khi n chẵn, chỉ xét với b� ; với 0 b  có đúng hai căn bậc n trái dấu của b, căn có giá trị dương được 0

kí hiệu là n b

- Các tính chất của căn bậc n (giả sử các căn sau có nghĩa): n a b.n n ab;

n n n

b

b  , b� ;0

n m

 �

�

, le�

n n a khi n a

a khi n ; n k ank a

- Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a m n  n a với �γ m a 0,m �,n �,n 2.

- Tính chất lũy thừa với số mũ thực: Với a, b là những số thực dương ;  , là những số thực tùy ý:

a a  a  ; a a

a



 





 ;  a  a . ;  ab  a b ; a a



� � 

� �

Nếu a  thì a1  a � 

Nếu 0  thì a a 1  a � 

2 Hàm số lũy thừa

- Hàm số y x  với  �� được gọi là hàm số lũy thừa

- Đạo hàm của hàm số lũy thừa:  x '.x 1, với x0,��

- Đạo hàm của hàm hợp:  u '.u  1 'u

3 Lôgarit

Với ,a b và c là những số thực dương ; a� Ta có:1

Định nghĩa, tính chất Công thức tính lôgarit Công thức đổi cơ số b�1

loga b �a b loga b c loga bloga c. log log

log

a b

a

c c

b

log 1 0;

log 1

a

a a



b

b

b

a

loga b

a  ;b

 

loga a    loga b .loga b loga b 1.loga b



- Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số

10 Kí hiệu log b hay lg b

- Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số

ee�2,718, kí hiệu là ln b.

1 log n log

n

a

b  b.

4 Hàm số mũ, hàm số lôgarit

 Hàm số mũ: y a với x a và 0 a� Tập xác định � Tập giá trị 1 *



� tập các số thực dương Hàm

số đồng biến trên � khi a , nghịch biến trên � khi 01   a 1

 Hàm số lôgarit: yloga x với a , 0 a� Tập xác định 1 *



� Tập giá trị � Hàm số đồng biến trên

*



� khi a , nghịch biến trên 1 *



� khi 0  a 1

Hệ quả từ định nghĩa hàm số mũ và hàm số lôgarit (với a0 và a�1).

a) Nếu a1 thì a a � 

b) Nếu 0 a 1 thì a a � 

c) Cho 0 a b  , ta có: 0

0

a b khi

a b khi





�

�

d) Nếu a1 thì loga bloga c�b c 0.

e) Nếu 0 a 1 thì loga bloga c�0 b c.

f) Nếu a1 thì loga b0�b1

g) Nếu 0 a 1 thì loga b0�0 b 1.

h) a a � 

i) log a M loga N �M  N 0

 Đạo hàm và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit

Hàm sơ cấp Hàm hợp u u x   

( ) 'e x e x

( ) 'a x a x.lna

( ) 'e u e u u ' ( ) 'a u a u.ln 'a u

ln x '

x



ln

a x

x a



lnu ' u

u



ln

a

u u

u a



5 Phương trình và bất phương trình mũ

a) a f x  a g x 0a� �1 f x  g x 

f x

a

a b a� b � f x  b

b) f x  g x     

a a � f x g x (nếu a ) hoặc 1

a a � f x g x (nếu 0  ).a 1

c) f x    log

a

a b� f x  b (nếu a1,b ) hoặc0

f x

a

a b� f x  b (nếu 0 a 1, b ).0

6 Phương trình và bất phương trình lôgarit

a) loga f x  b 0  a 1b

f x a

 �

�

a

f x g x

�  �

�

�

.

1 0

0

a

f x g x

a

f x g x



�

�� � 

�

.

 

1 0 log

b a

b

a

f x a

f x b

a

f x a



�

�� � 

 � �� 

�

.

 

1

log

0

b a

b

a

f x a

f x b

a

f x a



�

 � �� 

�

.

I 2 Kĩ năng

 Biết tìm tập xác định của hàm số liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, biết rút gọn các biểu thức có chứa lũy thừa và lôgarit

 Biết tìm đạo hàm, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit; biết vẽ nhận biết dáng điệu đồ thị, đường tiệm cận của chúng

 Biết sử dụng tính chất về các hàm số mũ, lôgarit để giải phương trình

 Biết sử dụng các tính chất về bất đẳng thức của hàm số mũ, hàm số lôgarit để giải các bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit

II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Cho a là một số dương, viết biểu thức P a 533 a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

A P a 15. B P a 1415. C P a 145 . D P a 13.

2 Cho a là một số dương, viết biểu thức P a 23:5a2 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

A P a 157 . B

16 15

4 15

13 15

P a .

3 Viết biểu thức P x x x.3 6 5 x dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.0

A P a 115 . B

4 3

5 3

7 6

P a .

4 Rút gọn biểu thức

3 1

2 3

3 1

1

Q a

a





 

Q a  D Q a 4

5 Cho a > 0, đơn giản biểu thức

Q











1

Q

a



1

Q a

6 Rút gọn biểu thức

1

x x



��  �����  ���.

A M  x B M 1

x

 C M   x D M  x

7 Cho a > 0; b > 0; a b� , đơn giản biểu thức sau:

a b a b N





A N 3 a B N  3b C N 31

ab

8 Với ,a b là các số thực dương Rút gọn biểu thức

3

a b b a P





A P 6ab B P 3ab C P 6a6b D P 6 1 6



9 Rút gọn biểu thức  2 2  3 2 2 2 2

1

P



 với a là số dương.

A P a 2 B P a 2  1 C P a 2  1 D P a 2 2  1

10 Rút gọn biểu thức  

 

3 3

3

1

2 : 4 3

9 1

5 25 0,7

2

Q







� �

� �



� �

� �

A 1

8

5

13

13

Q

11 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A log 125 35  B log 32 42  C 3

1

1

125  

1 log 16.log 27.log 32.log

9

A P40 B P20 C P  20 D P  40

loga 2loga 3loga 4loga

A Q4 loga b. B Q12loga b. C Q10loga b. D Q 2loga b.

14 Tính 3 10  

1

a

a a  �

3

3 .

15 Tính

7 12

loga a a a

a

A 149

46

142

8

3.

16 Cho alog 52 Tính log 1250 theo a 4

A 2 1 4a   B 1 4

2

a



2

a

 D 2 1 4a  

17 Cho aln 2 Hãy biểu diễn 1 ln1 1ln 1

16 8 8 16 theo a

A 5

16

a

16

a

8

a

16

a

18 Tính: log 7.log 8.log 5 2 125 7

A 1

19 Tính: log 3 2

20 Cho alog 52 ; blog 32 Tính giá trị của biểu thức Plog 6753 theo a và b.

A. P 2a 3

b

b

b

b

21 Tìm tập xác định của hàm số  2  4

y x  

A. 3 3;

2 2

3 3

;

2 2

C ; 3 3;

� � � �� ��

� � � �� ��

22 Tính đạo hàm của hàm số  1

y x  x

A. ' 3 42 1

x y

x x





3

'

x y

x x





C

3

'

x y

x x





3

1 '

y

x x



23 Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên toàn tập xác định của nó?

A. y x  6 B y x 2 C y 5 x D y x 23.

24 Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên toàn tập xác định của nó?

A. y 2x B y 7 2x C y 3 2x D y 3 2x

25 Cho 0   Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:a 1

A x 1

a

  khi x 0

C x1  khi x2 a x1 a x2 D 1 2

a a � x x

26 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x

y trên đoạn 1; 2

2

27 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2

3

x

y � � � �

� � trên đoạn 2;3

A 27

8

9

4

9.

28 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

6 2 2 6

C 76 3 7 3 6 D

29 Tìm tập xác định của hàm số  2 

1 3

y  x  x .

A � �;0 3;�  B  0;3 C � �;0 3;� D   0;3

30 Hàm số 3  

2

y x nghịch biến trên khoảng nào?

A  � � ;  B. � 3;  C. �; 3 D. � 3; 

31 Trong các hàm số sau đây hàm nào nghịch biến trên tập xác định của nó?

A 5

3

log

C

2

log

3 2

log

y  x.

32 Cho a0,a� Khẳng định nào sau đây là đúng?1

A Tập giá trị của hàm số y a là �.x

B Tập giá trị của hàm số yloga x là �

C Tập xác định của hàm số y a là khoảng x 0;� 

D Tập xác định của hàm số yloga x là �

33 Tìm tập xác định của hàm số y lgx 2 lgx2

C � ��5;  D  �; 5� �� �� 5;�

34 Tìm giá trị của x để đồ thị hàm số ylog3x nằm phía trên đường thẳng y 2

35 Cho hàm số f x  lnx x2 Tính 1 f ' 0  .

A y lnx

B y lnx 1

C yln x

D yln x 1

37 Tìm nghiệm của phương trình 32x 12.3x 1  1 0

A x 1 B x 0 C x 2 D x  1

38 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số y và 3x 1

3

y

A 1;1

3

� �

� �

1 1;

3

�  �

1 1;

3

1 1;

3

39 Tìm tập nghiệm của phương trình

A 8

5

� �

� �

4 5

� �

� �

40 Tìm nghiệm của phương trình

2

A x1 ; x 5 B x 1 ; x5

41 Tìm số nghiệm của phương trình 2 3.2 22 8 0

x x



42 Tìm nghiệm của phương trình

A  � � ;  B  � 3;  C  �; 3 D  � 3; 

43 Tìm nghiệm của phương trình   2 2

1

x

A x1;x  1 B x1;x 0 C x 1;x 0 D x2;x  2

44 Tìm nghiệm của phương trình 3 8.32 15 0

x

A

3

2

log 25

x

x



�

� 

2 3

x x



�

� 

2 log 5

x x



�

� 

3 3

log 5 log 25

x x



�

� 

45 Tìm nghiệm của phương trình 2 2 3

2

2

x x

A x �1 log 32 B x �2 log 32

C x 1 log 32 B x 1 log 32

46 Với giá trị nào của m , phương trình 4x 12x 2  có hai nghiệm phân biệt?m 0

A m 1 B m� 0 C m� 1 D 0  m 1

47 Tìm tập nghiệm của phương trình log 53 x 2 log3  2x 5

A 3

7

� �

� �

7 3

� �

� �

7

� �

� �

48 Tìm x , biết log2x2log2a3log2b

A 3 2

x a b C 2 2

x a b D 3 3

x a b

49 Tìm tập nghiệm của phương trình lg x 1 lg x 3 lgx 7

A  1; 4 B 1; 4 C 4;1 D   4; 1

50 Tìm tập nghiệm của phương trình log2xlog4xlog8 x 11

A  2 B  32 C  64 D  36

51 Tìm nghiệm của phương trình log log3 2x  1

A x 8 B x 6 C x 2 D x 9

52 Tìm tập nghiệm của phương trình log 3 xlog3xlog9x 5

A  8 B  3 C  6 D  9

53 Tìm tập nghiệm của phương trình  9

1 log log log

2

x

A log 2 9  B  2 C  9 D  9

2

54 Tìm tập nghiệm của phương trình

1

1 2log x3 2log x 

A 1;8 2  B 1 ;1

8 2

8 2

55 Tìm x, biết  2

log 2x3 2log x 4

A 1

4

2

x C x 1 D x 2

56 Tìm tung độ giao điểm của đồ thị hàm số 1

2

log

y x và đồ thị hàm số 4

2

x

y

A y 1 B y 2 C y 4 D y 0

57 Tìm m để phương trình 2

log x2log x m  có nghiệm 0 x 2

A m 1 B m3 C m3 D m�3

58 Tìm tập nghiệm của bất phương trình3x 23x 1 � 28

A 1;�  B � ;1 C  � � ;  D 1;1

59 Tìm tập nghiệm của bất phương trình 1

2x � 4

A  �; 1 �3;�  B  �; 1 �3;� 

C 1;3 D 1;3

60 Tìm tập nghiệm của bất phương trình 4x3.2x  2 0

A 1;0 B  0;1 C  0;1 D � �;0 1;� 

61 Tìm tập nghiệm của bất phương trình     3

2

5 1 x 5 1 x2x � 0

2

;log  2 1

C 5 1  5 1 

log  2 1 ;log  2 1

2

log  2 1 ;

62 Tìm m để bất phương trình 9 x2.3x    nghiệm đúng với mọi x.3 m 0

A m 2 B m 3 C 2  m 3 D m 2

63 Tìm nghiệm của bất phương trình:  2 

1 2

log x  3x 2 � 1

A x�0;1 � 2;3. B x� �  ;1 C x�0; 2. D x� 1;2 .

64 Tìm tập nghiệm của bất phương trình log0,2xlog5x 2 log 30,2

A 3;3 B 3;�  C  � � ;  D � ;3

65 Tìm nghiệm của bất phương trình log 32 x  2 0

A x 1 B log 23   x 1 C x�log 23 . D x� 1

66 Tìm tập nghiệm của bất phương trình  2 

2



A 7; 27

5



5



27

; 5



��

67 Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2 1 log  2xlog4xlog8x 0

A ; 31

2 2

1

;1

2 2

2 2

68 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình log2x m   luôn đúng với 1 0 x 4

A m2 B 2 m 3 C m�3 D m3

III GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN

Gợi ý – Hướng dẫn giải

9 Đặt 2

t a

2

log 3

a P

b

40 Cách 1: Thay giá trị của x vào và kết luận nghiệm.

5

x

x

 

�

Có hai nghiệm là x  và 1 x 5

44 Biến đổi phương trình thành 2.33x2 3x 2x 4.2 32x x3.23x

� � � �  � � 

� � � � �� � � � � �� � .

2

x

t� �� � t 

� � Ta có phương trình

 

�

�

 

�

2

3 2

1

t

t loa� i

Khi 3

2

t thì x 1

45 Ta có 2 2  � 2 2  � 2  

2

x x Vậy phương trình có nghiệm x 1 log 32 và x 1 log 32

46 Đặt t2x0, chuyển phương trình về dạng 4t2  4t m 0�m 4t24t Tìm m để đường thẳng

y m cắt đồ thị y 4t2 tại hai điểm phân biệt với 4t t  0

57 Đặt tlog2x, tìm điều kiện để phương trình t2   có nghiệm 2t m 0 t 1

61 Chuyển bất phương trình về dạng 5 1 5 1 2 2 0

2

x

t�  � t

66 Điều kiện x� 7; 5 �1;� Giải bất phương trình, tìm được  27

5

x 

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm 7; 27

5

x����  ���

67 Điều kiện: x0 Đặt tlog2x

Đáp án