khóc - khoảng cách- vị trí tương đối

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng.. a Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M o có vectơ chỉ phương u : b Khoảng cách giữa ha

2 Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương u=(a;b;c)và u'=(a;'b;'c')là φ

n=

2 2 2 2 2

),cos(

sin

c b a C B A

Cc Bb Aa u

n

+++

+

++

0 0 0

C B A

D Cz By Ax d(M,(P))

++

+++

=

b) Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến

mặt phẳng kia

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng.

a) Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M o có vectơ chỉ phương u :

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường

thẳng này đến đường thẳng kia

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương ' u

là:

III Vị trí tương đối.

1 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:

' ,

' , 0

Nếu d I P( ,( ) ) >R thì mp ( )P và mặt cầu ( )S không có điểm chung.

Nếu d I P( ,( ) ) =R thì mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( )S tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp

diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm



Trong đó bán kính đường tròn r= R2−d I P( , ( ))2 và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm

I mặt cầu ( )S lên mặt phẳng ( )P

5 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu ( )S có tâm I , bán kính R và đường thẳng ∆

Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và ( )S ta tính d I( ,∆) rồi so sánh với bán kính R

å d I( ,∆ >) R: ∆ không cắt ( )S

å d I( ,∆ =) R: ∆ tiếp xúc với ( )S

Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng ∆

å d I( ,∆ <) R: ∆ cắt ( )S tại hai điểm phân biệt A, B và 2 2

17

5.3

VD 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình ( )α :x y z+ − + =1 0

và ( )β :x y z− + − =5 0 Gọi ϕ là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( )α và ( )β Tính cosϕ

A 1

1

1

4.5

Hướng dẫn giải.

Chọn B

( )α có VTPT là nur1=(1;1; 1− )

( )β có VTPT là nuur2 = −(1; 1;1)

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , khoảng cách từ điểm M(− −2; 4;3) đến mặt phẳng

( )P : 2x y− +2z− =3 0 là :

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng.

( )α : 2x+3y z− + =2 0,( )β : 2x+3y z− + =16 0 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( )α và

( )β là:

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng.

( )α : 2x−2y z+ + =2 0,( )β : 4x−4y+2z+ =5 0 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( )α và

Câu 7:

Tính khoảng cách từ điểm B x y z đến mặt phẳng ( 0; ;0 0) ( )P z: + =1 0 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

.2

5

Câu 11:

Tính khoảng cách từ điểm A m(1; ;2) đến mặt phẳng( )P x: + =1 0 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 27:

Cho mặt phẳng ( )P : 3x+ 4y+ 5z+ =2 0 và đường thẳng d là giao

tuyến của hai mặt phẳng ( )α :x− 2y+ =1 0;( )β :x−2z− =3 0 Gọi ϕ là góc giữa đường

thẳng d và mặt phẳng( )P Tính ϕ

Câu 28:

Cho mặt phẳng ( )α : 3x− 2y+ 2z− =5 0 ĐiểmA(1; –2; 2) Có bao

nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng ( )α một góc 45 °

Cho mặt phẳng ( )P :3x+ 4y+ 5z+ = 8 0 Đường thẳng d là giao tuyến

của hai mặt phẳng ( )α :x− 2y+ = 1 0;( )β :x− 2z− = 3 0 Góc giữa d và ( )P là:

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )α cắt các trục

, ,

Ox Oy Oz lần lượt tại 3 điểm A(−2;0;0), B(0;3;0), C(0;0; 3− ) Khi đó khoảng cách từ

trọng tâm G của tam giác OBC đến mặt phẳng (ABC) là

A 2 17

17

10 17

.17

Trong không gian Oxyz cho điểm

M thuộc trục Ox cách đều hai mặt

phẳng ( )P x y: + −2z− =3 0 và (Oyz Khi tọa độ điểm ) M là

Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 1− ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( )α có

phương trình 2− +x 2y z− + =3 0 Tính bán kính của mặt cầu (S)

phẳng ( )α : 3x+4z+ =12 0 Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A Mặt phẳng ( )α đi qua tâm mặt cầu ( )S

B Mặt phẳng ( )α tiếp xúc mặt cầu ( )S

C Mặt phẳng ( )α cắt mặt cầu ( )S theo một đường tròn.

D Mặt phẳng ( )α không cắt mặt cầu ( )S

Câu 46:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

( )P1 : 2x my− + − + =3z 6 m 0 và ( ) (P2 : m+3)x−2y+(5m+1)z− =10 0 vuông góc với nhau

Giá trị của m gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho tam giác

ABC, với A(1; 2;3 ,) (B − −1; 1;1 ,) (C 3; 4; 2− ) Tính cosin

góc giữa OG và mặt phẳng Oxy ( G là trọng tâm của tam giác ABC)

m m

m m

A.I(1; 2; 4− ) B. I(1; 2;4) C. I(−1;0; 2− ) D. I(6;9;1)

Câu 64:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2;3; 1− ) sao

cho mặt cầu cắt đường thẳng ( )d có phương trình: ( )

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 2;3− ) Phương trình mặt cầu

tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng.

( )α : 2x+3y z− + =2 0,( )β : 2x+3y z− + =16 0 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( )α và

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng.

( )α : 2x−2y z+ + =2 0,( )β : 4x−4y+2z+ =5 0 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( )α và

12

Hướng dẫn giải.

Chọn D

Vì 2.1+ −( ) ( ) ( )1 4+ −2 1− = ⇒0 d//( )α Điểm M(1; 2;0)∈d

.2

Câu 10:

Tính khoảng cách từ điểm E(1;1;3) đến đường thẳng

2: 4 3

5

Gọi u u ur uur1; 2 lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

Câu 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng

Ta có uuurAB= −( 1;1;0), uuurAC= −( 1;0;1 , ) CDuuur=(1;1;0) uuur uuurAB CD,  = (0;0; 2− )

0 0 2,

uuur uuur uuur uuur Suy ra (AB CD, ) = °90

uuur ruuur uuur r

uuur rAB u

AB BCD AB u

AB u Suy ra

3cos(AB,(BCD))

3

=

Câu 27:

Cho mặt phẳng ( )P : 3x+ 4y+ 5z+ =2 0 và đường thẳng d là giao

tuyến của hai mặt phẳng ( )α :x− 2y+ =1 0;( )β :x−2z− =3 0 Gọi ϕ là góc giữa đường

thẳng d và mặt phẳng( )P Tính ϕ

Cho mặt phẳng ( )α : 3x− 2y+ 2z− =5 0 ĐiểmA(1; –2; 2) Có bao

nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng ( )α một góc 45 °

Phương trình trên có vô số nghiệm

Suy ra có vô số vectơ β( )

uur

n a b c; ; là véc tơ pháp tuyến của ( )β Suy ra có vô số mặt phẳng

( )β thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây đi qua

Cho mặt phẳng ( )P :3x+ 4y+ 5z+ = 8 0 Đường thẳng d là giao tuyến

của hai mặt phẳng ( )α :x− 2y+ = 1 0;( )β :x− 2z− = 3 0 Góc giữa d và ( )P là:

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )α cắt các trục

, ,

Ox Oy Oz lần lượt tại 3 điểm A(−2;0;0), B(0;3;0), C(0;0; 3− ) Khi đó khoảng cách từ

trọng tâm G của tam giác OBC đến mặt phẳng (ABC) là

A 2 17

17

10 17

.17

Câu 36:

Trong không gian Oxyz cho điểm

M thuộc trục Ox cách đều hai mặt

phẳng ( )P x y: + −2z− =3 0 và (Oyz Khi tọa độ điểm ) M là

Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 1− ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( )α có

phương trình 2− +x 2y z− + =3 0 Tính bán kính của mặt cầu (S)

Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) 2 2 ( )2

S x +y + −z = và mặt

phẳng ( )α : 3x+4z+ =12 0 Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A Mặt phẳng ( )α đi qua tâm mặt cầu ( )S

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

( )P1 : 2x my− + − + =3z 6 m 0 và ( ) (P2 : m+3)x−2y+(5m+1)z− =10 0 vuông góc với nhau

Giá trị của m gần nhất với giá trị nào sau đây?

A −0,5 B −0, 4 C −0,7 D −0,6

Hướng dẫn giải.

Chọn A

Hai mặt phẳng ( )P và 1 ( )P (có hai véc tơ chỉ phương lần lượt là 2 n nur uur1, 2

) vuông góc với nhaukhi và chỉ khi n nur uur1 2 =0, suy ra 9

Giao điểm của d và mặt phẳng ( )P là H(−2;1; 4) Suy ra Bán kính mặt cầu tâm I(1;3;5) và

tiếp xúc với đường thẳng : 1

Cho tam giác

ABC, với A(1; 2;3 ,) (B − −1; 1;1 ,) (C 3; 4; 2− ) Tính cosin

góc giữa OG và mặt phẳng Oxy ( G là trọng tâm của tam giác ABC)

Phương trình mặt phẳng Oxy có véc tơ pháp tuyến là kr=(0;0;1)

Trọng tâm tam giác ABC là G(1; 1; 2− ) suy ra OGuuur(1; 1; 2− )

sin , sin ,

3

uuur ruuur r

Hướng dẫn giải.

Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng d thì H d∈ ⇒H(4+t t; ; 2+t)

Ta có: uuurAH = +(2 t;1+ − +t; 3 t) và ur=(1;1;1) là một VTCP của d

Vì AH ⊥ ⇔d uuur rAH ⊥ ⇔u uuur rAH u = ⇔ + + + + − + = ⇔ =0 2 t 1 t 3 t 0 t 0 nên H(4;0; 2)

Khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng d bằng độ dài đoạn AH

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(1; 1;1 − ) và có VTCP ar(2; 1;0 − )

Đường thẳng ∆′ đi qua điểm M0′(2; 2;3 − ) và có VTCP ura′ −( 1;1;1 )

Gọi ( )α là mặt phẳng chứa ∆ và song song với ∆′ khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )α là nr=r ura a, ′= − −( 1; 2;1 ) Mặt phẳng ( )α chứa ∆nên đi qua điểm M nên phương trình0

( )

(∆ )

⇒ , P =30 °