vi tri tuong doi giua mp va mc

Đ2.Vị trí t ơng đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đ ờng thẳng... kÝnh cña mÆt cÇu.. trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: KiÓm tra kiÕn thøc cò... Các tính chất của ti

Đ2.Vị trí t ơng đối của một mặt cầu với

mặt phẳng và đ ờng thẳng

• MÆt cÇu (S) vµ mp(P) cã mét ®iÓm chung duy nhÊt.

• Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi mp(P) b»ng b¸n kÝnh cña nã

• mp(P) vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H

* § êng th¼ng a tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(O;R) khi vµ chØ khi cã mét

• MÆt cÇu (S) vµ ® êng th¼ng a cã mét ®iÓm chung duy nhÊt

• Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi ® êng th¼ng a b»ng b¸n

• § êng th¼ng a vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H kÝnh cña mÆt cÇu

trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:

mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:

KiÓm tra kiÕn thøc cò

3 Các tính chất của tiếp tuyến

Định lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô

số tiếp tuyến của mặt cầu (S) Tất cả các tiếp tuyến này

đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.

CM: a  A; a  OA 

 Có vô số tiếp tuyến với (S) tại A

 Các tiếp tuyến này nằm trên mp(P):

mp(P)  A, (P)  OA

Đ2.Vị trí t ơng đối của một mặt cầu với

mặt phẳng và đ ờng thẳng

A

O

a

 mp(P) là tiếp diện của (S) tại A.

 a là tiếp tuyến của S(O;R) tại A

* § êng th¼ng a tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(O;R) khi vµ chØ khi cã mét

• MÆt cÇu (S) vµ ® êng th¼ng a cã mét ®iÓm chung duy nhÊt.

• Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi ® êng th¼ng a b»ng b¸n

• § êng th¼ng a vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H kÝnh cña mÆt cÇu.

trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:

• § êng th¼ng a n»m trong mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) vµ ®i qua ®iÓm tiÕp xóc.

Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S) Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp

điểm đều bằng nhau.

Khi (P) thay đổi vẫn đi qua AO thì có vô

số tiếp tuyến với (S) kẻ từ A.

Xét AMO: AM 2 = AO 2 - OM 2 = d 2 - R 2

2

d

AM  



Cm: Đặt OA = d  d > R

Gọi (P) là mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO;

mp(P)  S(O;R) = C(O;R).

Vì A nằm ngoài (S) nên A nằm ngoài (C).

Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM và AM’ với (C),

M’

M

(C) P

A

0

Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp

điểm đều bằng nhau.

đó là 2 tiếp tuyến của (S).

Ví dụ Cho mặt cầu S(O ; a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một

tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD

a) Tính AB.

b) Tính khoảng cách từ O đến đ ờng thẳng CD.

Giải:

a) Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên ABOB:

2

2 OB OA

AB  

b) Gọi H là hình chiếu của O lên CD ta có:

2

3

a 2

CD HC

: ra Suy  

2

a 2

3 a a

HC OC

OH

2 2

2 2



























Vậy khoảng cách từ O đến CD là

2 a

H

B

A

O

D

C

2

2 a a

4 

  a 3

OC=OD=a, nên tam giác OCD cân tại O, do đó H là trung điểm của CD.

3 a



B

M

P

I O

Bµi 5 <tr109> Cho mÆt cÇu (O ; R) tiÕp xóc víi mp(P) t¹i I, M lµ mét ®iÓm

n»m trªn mÆt cÇu Hai tiÕp tuyÕn t¹i M cña mÆt cÇu c¾t t¹i mp(P) t¹i A vµ

B Chøng minh r»ng AMB  AIB

V× mp(P) tiÕp xóc víi mÆt cÇu t¹i

I nªn AI vµ BI lµ hai tiÕp tuyÕn

víi mÆt cÇu.

Gi¶i:

V× AM vµ AI lµ hai tiÕp tuyÕn víi

AIB AMB 



T ¬ng tù ta cã BM = BI

Hai tam gi¸c AMB vµ AIB

b»ng nhau (c, c, c).

(S)  (P) =  (S)  (P) = {H}H} (S)  (P) = C(H; r)

P

R

H M

0

P H

M

0 R

P M

0 R

H

Vị trí t ơng đối của mặt cầu với mặt phẳng

H



0 R (c)

0



(c) H



H

d > R d = R d < R

( S) ∩  = ỉ ( S ) ∩  = { H } ( S ) ∩  = { A, B}}

Vị trí t ơng đối của mặt cầu với đ ờng thẳng

O A

O

A

O

A

P

O

A

VÞ trÝ ®iÓm A Sè l îng tiÕp tuyÕn H×nh ¶nh

TiÕp tuyÕn cña ®

êng trßn (C)

1

A (C)

2

A ngoµi (C)

V« sè

A (S)

V« sè

A ngoµi (S) TiÕp tuyÕn cña

mÆt cÇu (S)