VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MẶT PHẲNG

GV: BÙINGỌC LINH ÔN TẬP LÝ THUYẾT... Vị trí tương đôi của hai mặt phẳng œ: Ax+By+Cz+D=0 œ ': A'x+Bˆy+€Cˆz+Dˆ=0 a Hai mat phang a va a’ cốt nhau theo một đường thăng khi và chỉ khi hai

GV: BÙINGỌC LINH

ÔN TẬP LÝ THUYẾT

Vị trí tương đôi của hai mặt phẳng

(œ): Ax+By+Cz+D=0 (œ '): A'x+Bˆy+€Cˆz+Dˆ=0

a) Hai mat phang (a) va (a’) cốt nhau theo một đường thăng khi

và chỉ khi hai vectơ pháp fuyền của chúng không cùng phương

H =( 4: B;C) n'=(4': B':C’)

Vay : (a) cat (@’) @ A: B:C 4A’: B’ :C’

b) (0) trùng với (Œ') ˆ <= " " _C _Ð

4 Pu,CpD 4A BC D

c) (0) song song (Œ*) © — =— =— 4—

Chùm mat phăng

Hai mặt phang (a) va (a’) cat nhau theo mét dwong thang d

Tap hop cdc mat phang qua d goi la chim mat phang

MAxX+By+Cz+D)+ w(A’x+B’y+C’z+D’) = 0, 47+ w 4 0 (2) Phương trình (2) là phương trình chùm mặt phẳng

VÍ DỤ

Cho ba mặt phẳng (đ,) (0,) (G,) lần lượt có phương trình:

(0,):2x-y+z+1 =0 ,(0,):x+3y-z+2=0 , (0,):-2x+2y+3z+3=0

1) Chứng minh (Œ,) cắt (g,)

Giải ni, —(2;- 1:1) H› =(1:3;- Ệ „là các véc tơ pháp tuyến

Vậy : (g,) cắt (0,) © 2:-1:1 #Z 1:3:-1

2) Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của (a)

cắt (0,) va di qua diém M, =(1 ;2 ; 1)

M(2x-y+z+1)+ wu(x+3y-z+2) = 0`, À2+ u2 # 0 hay

(20+ u)X+ (-À+3 w)y+ (À- u)Zz+ +2 u =0 M, =(1 52 ; l)€(œ) nền:

(2À+ u)1+ (-À+3 w)2+ (À- u)Í+ À+2 u =Ú ©2 À+8 u=0 © À+4 u=0

Cho A=4 thi u=-1 phương trình mặt phẳng (œ) là:

7X-7y+5z+2=0

3) Viết phương trình mặt phẳng (B) qua giao tuyến của (@,)

và (0,) và song song với trục Oy

GIẢI phương trình mặt phẳng (6) có dạng:

(2À+ u)X+ (-À+3 u)y+ (À- u)Z+ À+2 u =0

Ví (6B) /Oy nên hệ số củay trong phương trình (B) bằng 0

(-A+3 u)=0 Cho À=3 thì u =1 phương trình (B): 7x+2z+5=0 4) Viết phương trình mặt phẳng (y) qua giao tuyến của (@,)

và (0,) và vuông góc mặt phẳng (œ.)

GIẢI Phương trình mặt phẳng (y) có dạng:

(2À+ u)x+ (-À+3 W)y+ (A- W)Z+ À+2 u =0

mặt phẳng (y)có véc tơ pháp tuyến 77 =(22 + tl- Ä +31; ~- u) mat phang (œ,) có véc tơ pháp tuyến n'=(- 2;2;3)

Hai mặt phẳng vuông góc nên: mm =0 ©

= (2À+ u)(-2)+ (-À+3 u).2+ (À-u)3=0 «© -3À+u=0 Cho À=l thì u=3 phương trình (y): Šx+8y-2z+7=0

BÀI TẬP

Bail Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng có phưong trình: a)x+2y-z+5=0 va 2x+3y-7z-4=0

Giai Hai mặt phẳng cắt nhau vi:1:2:-1 # 2:3:-7

b) x-2y+z+3= và 2x-y+4z-2=0

Giải Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:-2:1 # 2:-1:4

c) xt+y+z- 1=0 và 2x+2y-2z+3=0

Giai Hai mặt phẳng cắt nhau vì:1:1:1 # 2:2:-2

d)3x-2y-3z+5=0 va9x-6y-9z-5=0

Giải Hai mặt phẳng song song vì: 3= ˆ= ` _

9 -6 -9 -5

e) x-y+2z-4=0 va 10x-10y+20z-40=0

Giai Hai mat phang tring nhau vi: + = TL _“ _ 4

I0 -10 20 - 40

Bài 2:Xác định gia tril va m để các cặp mặt phẳng sau dây

sonø song với nhau

a) 2x+ly+2z+3=0 va mx+2y-4z+7=0

Giải: a)ĐỂ hai mặt phẳng song song thì điều kiện cần và đủ là:

2 2

m 2 -4 7 £2 A=\

2 -4 b) 2x+y+mz-2=0 vaxtly+2z+8=0

a5 lm =4

2l m -2 1 /

—====—===- <= < =a] < ]

(1 2

Bài 3: Cho hai mặt phẳng có phương trình:

2x-my+3z-6+m=0 va (m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0

Với giá trị nào của m để hai mặt phẳng đó:

a)Song song với nhau 2 b)Trùng nhau ?

c)Cắt nhau ?

Giải: a)Song song với nhau ?

om

mt+3 2 : _1 _ 3 _'0+ DTM (x) @ ‹ c? T7 —

m+3 2 5m+l -10 2 _ 3

m=1 thi khéng thoa (*)

Vậy không có giá trị nào của m để hai mặt phẳng // b)Trùng nhau khi m=l c)Cắt nhau khi m+1

Bài 4: Viết phương trình của mặt phẳngtrong mỗi trường hợp sau: a) Viết phương trình mặt phẳng (ơ) qua điểm M, =(2 ;1;- I)

và đi qua giao tuyến của (@,) cắt (0.)

GIAI phương trình mặt phăng (ơ) có dạng:

M(X-y+z-4)+ u(3x-y+z-1) = 0Ú, Àˆ+ u? # 0 hay

(À+3 u)x- (À+ w)y+ (À+ u)z-4 À- u =0 M, =(2;1;-1 )€(œ) nên:

(A+3 u)2- (À+ u).Í+ (À+ w)(-1)-4 À- u=Ú © -4À+3 u=0

Cho À=3 thì u=4 phương trình mặt phẳng (œ) là:

15x-7y+7z-16=0 b) Viết phương trình mặt phẳng (6) qua giao tuyén cua nf:

y+2z-4=0 vàx+y-z-3=0 đồng thời song song với mf:x+y+z-2=0

GIẢI phương trình mặt phẳng (B) co dang:

My+2z-4)+ w(xt+y-z-3) =0,A7+ u2 4 0 hay

u X+ (À+ u)y+ (2À- u)z-4À-3u=0 Hai mat phẳng song song

c) Viết phương trình mặt phẳng (y) qua giao tuyến của 3x-y+z-2=0

và x+4y-5=0 đồng thời vuông góc mặt phẳng 2x-z+7=()

GIẢI Phương trình mặt phẳng (y) có dạng:

(3À+ u)x+ (-À+4 u)y+ Àz-2 À -5 u =0

mặt phẳng (y) có véc tơ pháp tuyến n= [32 tu; -A+4u; |

mặt phẳng 2x-z-7=0 có véc tơ pháp tuyến n'= [2;0;-1]

Hai mặt phẳng vuông góc nên: mm" =Úc=

= (3ÀA+U)(2)+(-À+4u)(@+(À)(-1) =0 © 5ÀA+2u=0

Cho À=-2 thì u=5 phương trình (): x-22y+2z+21=0

BÀI 5:Xác định các giá trị lạm để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng:

5xtly+4z+m=0 3x-7y+z-3=0 x-9y-2z+5=U Cách 1:Hai mặt phẳng: 3x-7y+z-3=0 Và x-9y-2z+5=0

Cắt nhau theo đương thẳng d Chọn trên d 2 diễm phân biệt

Giải :

MyvaN thay toạ độ M và N vào phương trình:5x+ly+4z+m=0

tìm được: l=-5 ; m=-Il

Cách 2:

Mặt phẳng thứ ba đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng kia nên

phương trình của nó có dạng phương trình chùm:

XM(3x-7y+z-3)+ u(x-9y-2z+5) = (}, + u2 # 0 (3À+ u)x- (7À+9 u)y+ (À-2u )z-3 À +5 ụ =0

Ta có mặt phẳng thứ ba: 5x+ly+4z+m=0

Vay: 3A+ u=5 (1); 7A+9 v= -l (2)

từ(1);(3) tacd: }=2 uụ= -I

Thay A=2 we -l vao (2) va(4) dugc:l=-5 va m=-II