Tìm số thứ n trong kết quả

Tìm số thứ n trong kết quả.Định lí: Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu

Tìm số thứ n trong kết quả.

Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn)

Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên tố ngoài 2

và 5

* Từ định lí trên ta rút ra nhận xét sau:

Nếu phân số tối giản

a

b có mẫu b không chứa các thừa số nguyên tố 2, 5 hoặc ngoài thừa số nguyên tố 2, 5 còn chứa cả thừa số nguyên tố khác thì do các số

dư trong quá trình chia bao giờ cũng phải nhỏ hơn b nên các số dư chỉ có thể là các

số trong:

{1; 2; 3; ;b-1}

Từ định lý trên ta có thể tìm được chữ số thứ n trong số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dạng 1: Tìm chữ số thập phân thứ n trong kết quả phép chia

Máy tính thế hệ trước không hiện ra chu kì của phép chia mà có thể đã làm tròn số cuối cùng nên tìm số thập phân thứ n trong kết quả của phép chia rất dài và phức tạp.

Máy tính VINACAL 570ES PLUS II khi tính phép chia có chu kì đã hiện rõ chu kì ta có thể thực hiện như sau khi tìm số thập phân thứ n trong phép chia

a cho b

B1: Chia a cho b

B2: Ấn phím S�D Xác định chu kì có bao nhiêu chữ số ( ví dụ có m chữ số)

B3: SHIFT + VINACAL + 1 Q r(n,m)

Ta xem dư là bao nhiêu thì đếm từ trong chu kì từ trái qua phải sẽ tìm được

số thứ n.

Ví dụ 1: Tìm chữ số thập phân thứ 105 trong kết quả của phép chia 17:13 Cách 1: Thế hệ máy tính cũ

Bước 1:

+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)

Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923

+ Lấy 1,3076923 13 = 16,9999999

17 - 16,9999999 = 0,0000001

Vậy 17 = 1,3076923 13 + 0.0000001

(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể

đã làm tròn Không lấy số không vì

17 = 1,30769230 13 + 0,0000001= 1,30769230 13 + 0,0000001

Bước 2:

+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692

11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692

Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:

307692307692307692

Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số

Ta có 105 = 6.17 + 3 (105 3(mod 6)� )

Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ Đó chính

là số 7

Cách 2: Sử dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS

B1: Bấm 17: 3 = Trên màn hình hiện ra

17

13ấn tiếp phím S�D Trên màn hình hiện 1.307692 Tức là chu kì của phép chia là 307692

B2: SHIFT + VINACAL + 1 Q r (105,6) Máy hiện ra Q =17, r = 3 Đến từ trái qua phải của chu kì 307692 ta được sô 7 Vậy chữ số thập phân thứ 105 là

số 7.

Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phảy của số:

Giải

a) Số

1 0,027 027 (027)

37

A  

tuần hoàn chu kỳ 3 chữ số 027

Vì 2005  1 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của A là:0

b) Số

1

0, 0243902439(02439)

41

B  

tuần hoàn chu kỳ 5 chữ số 02439

Vì 2005  0 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của B là:9

c) Số

10

0, (1960784313725490) 51

C  

TH chu kỳ 16 chữ số:1960784313725490

Vì 2005  5 (mod 16) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của C là:7

d) Số

1

0, (020408163265306122448979591836734693877551) 49

tuần hoàn chu kỳ 42 chữ số

020408163265306122448979591836734693877551

Vì 2005  31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của D là: 7

Áp dụng:

Bài 1: Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19

Giải:

Ta có

13157

Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 : 19

Vậy 17 : 19 = 0,(894736842105263157) Chu kỳ gồm 18 chữ số.

Ta có 3 2007  3 669 669

Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm

18 chữ số thập phân

Kết quả : số 8

Bài 2 Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:

a) 1 chia cho 49

b) 10 chia cho 23