Tìm số chữ số cuối

Tìm số chữ số cuốiDạng 1: Tìm một chữ số cuối.. Sử dụng một số kiến thức bổ trợ tìm một chữ số tận cùng của a n... bằng tận cùng của 3r... Vậy hai chữ số cuối cùng là 25.. Hai chữ số cuố

Trang 1

Tìm số chữ số cuối

Dạng 1: Tìm một chữ số cuối.

Sử dụng một số kiến thức bổ trợ tìm một chữ số tận cùng của a n

( Dùng đối với số lớn hoặc nhẩm nhanh kết quả)

a) Các số có tận cùng là số 0,1,5 hoặc 6.

Nếu a có tận cùng là các số 0,1,5 hoặc 6 thì an cũng có tận cùng là 0, 1, 5 hoặc 6

Ví dụ: 103 =1000 ; 112 = 121 152 = 125 162 = 256

Nhận xét: Để tìm số tận cùng của an với a có số tận cùng là 2, 4, 7, 8, 9 ta đưa nó

về dạng có chứa các số tận cùng là 0, 1, 5, 6

b) Các số có tận cùng bằng 2, 3, 4, 7, 8 hoặc 9

- Luỹ thừa của một số tận cùng bằng 4 là một số tận cùng bằng 6 nếu số mũ chẵn, tận cùng bằng 4 nếu số mũ lẻ

Thật vậy ta có

42k = (42)k = 16k ( Có chữ số tận cùng bằng 6)

42k+1 = (42k).4 ( Vì 42k có chữ số tận cùng bằng 6 nên 42k.4 có chữ số tận cùng bằng 4)

Ví dụ : 142 =196 ; 143 = 2574

- Luỹ thừa của một số tận cùng bằng 9 là một số có chữ số tận cùng bằng 1 nếu có số mũ chẵn, tận cùng bằng 9 nếu có số mũ lẻ

Thật vậy ta có :

92k = 81k ( Có chữ số tận cùng bằng 1)

92k +1 =92k.9 ( Vì 92k có chữ số tận cùng bằng 1 nên 92k.9 có chữ số tận cùng bằng 9)

Ví dụ :

192 = 261 (192 có số mũ chẵn) ; 193 = 4959 (193 có số mũ lẻ)

3 Các số có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7 hoặc 8

Nhận xét :

24k = 16k ( có chữ số tận cùng bằng 6)

Vậy để tìm chữ số tận cùng của an ta lấy số mũ n chia cho 4

Giả sử n = 4k + r 0 ≤ r < 4

Ta đã biết số tận cùng của a4k => Số tận cùng của a4k +r

c Luỹ thừa bậc n của một số có chữ số tận cùng bằng 2 là một số có tận cùng bằng tận cùng của 6.2r với n = 4k + r 0 ≤ r < 4

Trang 2

Do 24k + r =16k.2r mà 16k có tận cùng bằng 6 nên số đã cho có tận cùng bằng tận cùng của 6.2r

+ Có chữ số tận n cùng bằng 6 nếu r = 0

+ Có chữ số tận cùng bằng 2 nếu r = 1

d Luỹ thừa bậc n của một số có chữ số tận cùng bằng 3 là một số có tận cùng của

3n với n = 4k + r 0 ≤ r < 4

bằng tận cùng của 3r

e Luỹ thừa bậc n của một số có chữ số tận cùng bằng 7 là một số có tận cùng bằng tận cùng của 7r với n = 4k + r 0 ≤ r < 4

Do 74k +r = 2401k.7r mà 2401k có chữ số tận cùng bằng 1, nên số đó có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của 7r

g Luỹ thừa bậc n của một số có chữ số tận cùng bằng 8 là một số có chữ số tận cùng bằng số tận cùng của 6.8r với n = 4k + 1 ; 0 ≤ r < 4

Do 84k + r = 4096k.8r mà 4096k là số có chữ số tận cùng là 6 nên số đã cho có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của 6.8r

Ví dụ : Chữ số tận cùng của số 817 bằng 8 vì 17 = 4.4 + 1, r = 1

Dạng 2: Sử dụng máy tính kết hợp giấy, tìm 1, 2, 3 chữ số cuối

- Đối với số nhỏ hoặc số lớn ta có thể tìm trực tiếp số cuối cùng bằng cách

Tìm một số cuối ta tìm dư phép chia số đó cho 10

Tìm hai số cuối ta tìm dư phép chia số đó cho 100

Tìm n số cuối ta tìm dư phép chia số đó cho 10n

Ví dụ 1: Tìm số các chữ số tận cùng của số nhỏ.

a) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 711

SHIFT VINACAL 1 Q r(711, 10)=

Trang 3

R = 3 Vậy chữ số hàng đơn vị là 3

b) Tìm hai chữ số cuối của 711

SHIFT VINACAL 1 Q r(711,100)=

R = 43 Vậy hai số cuối của 711 là 43

Ví dụ 2: Tìm số các chữ số tận cùng của số lớn.

Kết hợp lý thuyết đồng dư, tách số ở trên để tìm số dư của số đó khi chia số đó cho 10, 100,1000

a) Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002

Giải:

( )

2

1000

2 2000 1000

2

1000

2000

17 9(mod10)

17 17 9 (mod10)

9 1(mod10)

17 1(mod10)

≡

Vậy 172000.172 ≡1.9(mod10) Chữ số tận cùng của 172002 là 9

b) Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005

Giải

+ Tìm chữ số hàng chục của số 23 2005

1

2

3

4

23 23(mod100)

23 29(mod100)

23 67(mod100)

23 41(mod100)

≡

Do đó:

( )5

2000 100

2005 1 4 2000

23 23 41 01(mod100)

23 01 01(mod100)

23 23 23 23 23.41.01 43(mod100)

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)

+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23 2005

1

4

5

2000 100

23 23(mod1000)

23 841(mod1000)

23 343(mod1000)

23 343 201(mod1000)

23 201 (mod1000)

≡

5

100

2000

2005 1 4 2000

201 001(mod1000)

23 001(mod1000)

23 23 23 23 023.841.001 343(mod1000)

≡

Trang 4

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)

Áp dụng:

Bài 1: a) Tìm chữ số hàng đơn vị của số: 72010

b) Tìm hai chữ số tận cùng của số: 3999

a) 72010 =7502 4 2∗ + Nên chữ số hàng đơn vị là 9

b) 3999 = 320.49 + 19 = (320)49.219 Ta có 320 tận cùng bằng 01 nên (320)49 tận cùng bằng 01; 319 tận cùng bằng 67 Do đó 3999 tận cùng bằng 67

Bài 2: Tìm bốn chữ số tận cùng của số D= 1357918012005

Bài 3: Tìm 3 chữ số tận cùng của số 999

Bài 4: Tìm chữ số hàng đơn vị của số : 172002

Bài 5: Tìm các chữ số tận cùng của các số theo yêu cầu:

a) 2 chữ số tận cùng của 23 2005

b) 3 chữ số tận cùng của 2 2009

c) Tìm hai chữ số cuối của: 22001 + 22002 + 22003 + 22005

d) Tìm chữ số hang chục của: 252009; 372002; 192001

e) 2/ Tìm 7 chữ số cuối của tích a= 23455432 với b= 78998

Bài 6: Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3202+3203+3204

Ta có: A=3202(1+3+9)=3202.13

Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3202 là 9 Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng của tích 13.9=27 Tức là 7

Bài 7: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3512

Cách 1: 356=1838265625 Hai chữ số cuối cùng của 356 là 25

Mà 3512=(356)2 nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25)2=625 Vậy hai chữ số cuối cùng là 25

Cách 2: 356=1838265625 ≡ 25(mod100)

(356)2 ≡252 ( mod100)

252 = 625 Vậy hai chữ số cuối cùng là 25

Bài 8: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3523

Dùng máy tính thử các lũy thừa ta thấy: 315=14248907 Hai chữ số cuối cùng là 07

Và 3523=(315)34.513; và 513=1594323

Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích

Suy ra Vậy hai chữ số cuối cùng là 27

(43)4 .49.23 hai chữ số cuối cùng chính là hai chữ số cuối cùng của tích 01.49.23=1127

(07)34.23={(07)7}4.(07)6.23

(07)7=823543; 76=117649

Trang 5

Bài 9: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64501 + 64502.

-Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64501

Ta có:

645=1073741824 Và 64501=(645)100.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cùng của tích: (824)100.64

Vì 8243=559476224; (824)100.64={(824)3}33824.64

Þ ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)33.52736

Vì 2244=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224)33.52736 là ba chữ số cuối cùng của tích {(224)4}8.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976)8 164864

Vì 8963=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976)8 164864 là ba chữ

số cuối cùng của (136)2.8962.864=18496.802816.864

Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích 496.816.864=349691904

Ba chữ số cuối cùng của 64501 là 904

A = 64501(1+64) = 65.64501

Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760

Vậy Ba chữ số cuối cùng của A là 760

Bài 10: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994

Giải:

Ta có: 54 = 625

Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625

Do đó:

51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25( 625) = 5625

Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625

Bài 11: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100

Giải - Ta tìm dư trong phép chia 2100 cho 1000

- Trước hết tìm số dư của phép chia 2100 cho 125 Theo bài 34: 2100 = BS

125 + 1, mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là (dùng máy tính để thử):

126, 376, 626 hoặc 876

- Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8 Bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này Vậy ba chữ số tận cùng của

2100 là 376

Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên chẵn không chia hết cho 5 thì ba chữ số

tận cùng của n 100 là 376.

Bài 12: Tìm bốn chữ số cuối cùng của A= 20112010

Trang 6

Ta có: 2011 2 ≡ 4121 mod 10000 ; 2011( ) 4 ≡ 4121 2 ≡ 2641 mod 10000( )

2011 ≡ 2641 ≡ 4881 mod 10000 ; 2011 ≡ 4121 4881 4601 mod 10000 × ≡

2011 ≡ 4601 ≡ 9201 mod 10000 ; 2011 ≡ 8401 mod 10000

2011 ≡ 6801 mod 10000 ; 2011 ≡ 6001 mod 10000 ;

2011 ≡ 2001 mod 10000 ; ; 2011 ≡ 1 mod 10000 ;

2010 10 1000

2011 = 2011 × 2011 ≡ 4601 1 mod 10000 × ≡ 4601 mod 10000

Vậy: A= 20112010 có bốn chứ số cuối là: 4601

Bài 13: Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 20072008 + 20082009

Đáp án

1 Ta tìm 2 chữ số tận cùng của 20072008 = 20078 20072000

20072 ≡ 49(mod 100)

⇒(20072)4 ≡ 494(mod 100) ≡ 01(mod 100)

20072000 = (20078)250 ≡ 01(mod 100)

Vậy: 20072008 ≡ 01(mod 100)

2 Tìm 2 chữ số tận cùng của 20082009

Ta có: 20082009 = 2008 20088 20082000

* 20082≡ 64(mod 100)

⇒(20082)4 ≡ 644(mod 100) ≡ 16(mod 100)

20088 ≡ 16(mod 100) ⇒(20088)5 ≡ 165(mod 100) ≡ 76(mod 100)

* 200840 ≡ 76(mod 100) do đó: 20082000≡ 76(mod 100)

⇒20088 20082000≡ 16.76(mod 100) ≡ 16(mod 100)

Do đó: 2008 20082008≡ 2008.16(mod 100) ≡ 28(mod 100)

Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 29

Bài 14 Tìm 2 chữ số tận cùng của Tổng 39999 + 29999

* Có 39999 = 320.499.319

319 = 1162261467 ≡ 67(mod 100)

320 = 3486784401 ≡ 01(mod 100)

⇒ (320)499≡ 01(mod 100)

Do đó (320)499.319 ≡ 67(mod 100)

* Có 29999 = 220.499.219

219 = 524288 ≡ 88(mod 100)

Trang 7

220 = 1048576 ≡ 76(mod 100)

⇒ (220)499≡ 76(mod 100)

Do đó (220)499.219 ≡ 76.88(mod 100) ≡ 88(mod 100)

⇒39999 + 29999≡ (67+88)(mod 100) = 55(mod 100) Vậy chữ số tận cùng của tổng là 55

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	63,89 KB