Tìm thương và số dư

Tìm thương và số dưDạng 1: Đối với những số nhỏ ta có thể tìm trực tiếp bằng cách bấm phím đặc biệt của máy tính Vinacal.. Kết hợp máy tính với kiến thức đồng dư Định nghĩa 1: Cho a là

Tìm thương và số dư

Dạng 1: Đối với những số nhỏ ta có thể tìm trực tiếp bằng cách bấm phím đặc biệt

của máy tính Vinacal

Ví dụ: Tìm thương và số dư khi chia 20142014 cho 13

SHIFT + VINACAL +1 Q r(20142014,13) =

Máy cho kết quả Q=1549385, R = 9

Dạng 2: Tìm thương hoặc số dư đối với những số lớn (Kết hợp máy tính với kiến

thức đồng dư)

Định nghĩa 1: Cho a là một số nguyên, m là một số nguyên dương Khi đó, r được

gọi là số dư trong phép chia a cho m nếu tồn tại số nguyên q, r sao cho: a = mq +

r, ,0≤ r < m

Định nghĩa 2: Cho a, b là hai số nguyên, m là một số nguyên dương Lúc đó, a

được gọi là đồng dư với b theo môđun m nếu số dư trong phép chia

a cho m bằng số dư trong phép chia b cho m Kí hiệu: a≡b (mod m)Từ định nghĩa này ta có: a ≡ b (mod m) thì a-b chia hết cho m;

Ví dụ: 5 ≡ 2 (mod 3)⇔ 5-2 chia hết cho 3; 11 ≡ 7(mod 4)⇔11-7 chia hết cho 4; Định lý 1: Cho m là số nguyên dương a đồng dư với b theo mođun m khi chỉ khi

tồn tạisố nguyên k sao cho a = b + km

Định lý 2: Nếu a ≡ b (mod m); c ≡ d(mod m) thì a+c ≡ b+d(mod m)

và ac ≡ bd(mod m)

Định lý Fermat:

Với p là số nguyên tố ta có ap ≡ a(mod p)

Đặc biệt nếu (a,p) = 1 thì ap-1 ≡ 1 (mod p)

Định lý Euler

Với a, m là hai số nguyên tố cùng nhau thì aϕ(m) ≡1(mod m)

Với công thức tính ϕ(m) = m( 1 2

Với p1, p2 là các số nguyên

tố khi phân tích m ra thừa số nguyên tố

Ví dụ:

a) Tìm số dư trong phép chia 1111201020112012 cho 2013:

Sử dụng Định lý 2 , cách tách số để giải quyết số lớn và cách bấm tìm thương và số dư Dạng 1

Ta có: 1111201020112012 11112010 10 = × 8+ 20112012

11112010 250 (mod 2013) ≡ ⇒ 11112010 10 × ≡ 250 10 (mod 2013) ×

20112012 129 (mod 2013); ≡ nên:

1111201020112012 250 10 ≡ × + 129 2500000 10 = × + 129 (mod 2013);

4 4

2500000 1876 (mod 2013) ≡ ⇒ 2500000 10 × ≡ 1876 10 (mod 2013); ×

Suy ra: 1111201020112012 18670129 (mod 2013) 1567 (mod 2013)≡ ≡

Vậy: 1111201020112012 1567 (mod 2013)≡ Tức là số dư cần tìm là : 1567

b) Tìm dư trong phép chia 109345 cho 14

( Với số 109345 ta không thể tính ngay bằng máy tính mà sử dụng cách bấm Dạng 1

và định lý Euler)

Ta có 109 ≡ 11(mod14) => 109345 ≡ 11345(mod14)

14 = 7.2 nên ϕ(14) =

 −  − =

Theo định lý Euler thì 116 ≡1(mod 14)

Nên 11345 = 116.57 + 3 ≡ 113 (mod14) ≡1(mod 14)

Bấm máy cho ta kết quả số dư trong phép chia 109345 cho 14 là 1

c) Tìm số dư trong phép chia 11 1111 cho 30

30 = 2 3 5 nên ϕ(30) =

 −  −  − =

Theo định lý Euler 118 ≡ 1 mod(30)

Ta có 1111 ≡ 311 (mod 8) ( Sử dụng máy tính tìm số dư)

Vậy 11 1111 = 118k + 3 ≡ 113 ≡ 11( mod 30) ( Sử dụng máy tính tìm số dư)

Áp dụng :

Bài 1 : Tìm dư trong phép chia

a) 570 + 750 cho 12 b) 19911991 cho 35

Bài 2 : Tìm số dư trong các phép chia sau:

a) 11223344 : 2009 b) 1234567892009 : 2009

KQ a) 1070 b) 501

Bài 3: Tìm số dư trong phép chia 717 cho 2005 ( KQ r = 1167)

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia sau:

a) 123456789 : 2010

b) 151120101511201015112010 : 2009

c) 201024 :1996

d) 9876543210123456789 : 987654

Bài 5: Tìm số dư của phép chia cho

(mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod )

(mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod )

Vậy số dư của phép chia cho là

Bài 6 Tìm số dư của phép chia cho

Vì là số nguyên tố Theo định lý Fermat ta có:

Suy ra:

(mod 2003) Vậy số dư của phép chia cho là

Bài 7: Tìm số dư r của phép chia 2256723489775 cho 2009

Ta viết 2256723489775 = 22567234 × 105 + 8975

= (2009×1123 + 137)× 105 + (2009 ×44 + 1379)

=(2009×1123)×105 + (2009×44) + 137× 105 + 1379

=(2009×1123)×105 + (2009×44) +(2009×6819) + 629 + 1379

=(2009×1123)×105 + (2009×44) +(2009×6819) + 2008

Vậy số dư của phép chia 2256723489775 cho 2009 là 2008

Đáp số: r = 2008

Bài 8 : Tìm số dư trong phép chia 19733463cho 793 và số dư trong phép chia

2010

Bài 9 : (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học

2003-2004)

Tìm số dư trong phép chia:

a) 987654321 cho 123456789

b) 815 cho 2004

H.Dẫn:

a) Số dư là: r = 9

b) Ta phân tích: 815 = 88.87

- Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732

- Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968

⇒ Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho 2004

⇒ Số dư là: r = 1232

Bài 10 : Tìm số dư khi chia 22005 cho 5

Ta có 2005 ≡ 1 (mod 4) ⇒ số dư khi chia 2 2005 cho 5 là 2

Bài 11 : a) Tìm số dư của phép chia cho

Lời giải:

Ta tìm số dư của phép chia cho

Kết quả là

Tiếp tục tìm số dư của phép chia cho

Kết quả là

b) Tìm số dư của phép chia cho

Lời giải:

Nên ta có:

Suy ra:

Suy ra:

Vậy số dư của phép chia cho là

c) Tìm số dư của phép chia cho

Lời giải:

Cách 1:

Ta có:

Suy ra:

Suy ra:

Suy ra:

Suy ra:

Suy ra:

Suy ra:

Vậy số dư của phép chia cho là

Cách 2:

Ta có:

Suy ra:

Suy ra:

Suy ra:

Suy ra:

Suy ra:

Vậy số dư của phép chia cho là

Bài 12 : Tìm số dư trong phép chia số: 17762010 cho 2000

17761 ≡ 1776(mod 2000)

17762 ≡ 176(mod 2000)

17763 ≡ 576(mod 2000)

17764 = (17762)2 ≡ 976(mod 2000)

17765 = 17762 17763 ≡ 176 576(mod 2000) ≡ 1376(mod 2000)

17766= 1776 17765 ≡ 176 1736(mod 2000) ≡ 1776(mod 2000)

17767 ≡ 976(mod 2000)

Vậy chu kỳ được lặp lại sau 5 bước mà: 2010 = 5 402 có dạng 5k

Do đó số 17762010 chia 2000 cho số dư là 1376

Bài 13:Ta tìm số dư khi chia 182008 + 82009 cho 49

Ta có: 182008 = 18.182007

= (183)669 18

183 ≡ 1(mod 49) ⇒ (183)669 ≡ 1(mod 49)

18 (183)669 ≡ 18(mod 49)

* Ta tìm số dư khi chia 82009 chia cho 49

Ta có 82009 = (87)287

87≡ 1(mod 49)

⇒ (87)287 ≡ 01(mod 49)

Kết luận: Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19.