Đề cương toán 11 2018-2019

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác  Phương pháp giải... Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác 1... Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổnghoặc c

TRUNG TÂM HOÀNG GIA

A'

E

D

C B

I G

PHẦN i Giải tích

Chương 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

2π 0

O

-1 -1

1

1

3π 2 π

π 2

sinx

cosx

(IV) (III)

3 Cung góc liên kết

tan(  a) tana tan cot

4 Công thức cộng cung

sin(a b)sinacosbcosasin b cos(a b)cosacosbsinasin b

x x

sin 3 3 sin 4 sin

cos 3 4 cos 3 cos

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

sin cos 2sin 2cos

3

2

2 2

§ 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCd

f   x f x Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

b Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f x( ) xác định trên tập ( ; )a b  

 y  f x( ) gọi là đồng biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; )a b cĩ x1 x2  f x( )1 f x( ).2

 y  f x( ) gọi là nghịch biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; )a b cĩ x1 x2  f x( )1  f x( ).2

c Hàm số tuần hồn:

 Hàm số y  f x( ) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hồn nếu cĩ số

0

T  sao cho với mọi x  D ta cĩ (x T) D và (x T) D và f x( T) f x( )

 Nếu cĩ số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm

 Hàm số y f x( )sinx là hàm số lẻ vì f( x) sin(  x) sinx  f x( ). Nên đồ thị

hàm số y sinx nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số y sinx tuần hồn với chu kì T o 2 , nghĩa là: sin(x k2 ) sin x Hàm số

1

3 2

 Hàm số y  f x( ) cosx là hàm số chẵn vì f( x) cos( x) cosx  f x( ), nên đồ thị

của hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

 Hàm số y cosx tuần hoàn với chu kì T o 2 , nghĩa là cos(x k2 ) cos x Hàm số

 Hàm số y  f x( )tanx là hàm số lẻ vì f( x) tan(  x) tanx  f x( ) nên đồ thị

của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O

 Hàm số y tanx tuần hoàn với chu kì T o   y  tan(ax  tuần hoàn với chu b)

 Hàm số y  f x( )cotx là hàm số lẻ vì f( x) cot(  x) cotx  f x( ) nên đồ thị

của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O

 Hàm số y cotx tuần hoàn với chu kì T o   y cot(ax  tuần hoàn với chu b)

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

 sin ( )

f x

f x

 cot ( ) cos ( ) sin ( ) 0 ( ) , ( )

sin ( )

f x



 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

1

( )

P x

 ĐKXĐ 

  y 2n P x( )ĐKXĐ P x( )0

2

1

( )

n

P x



 Lưu ý rằng:  1 sin ( ); cos ( )f x f x 1 và 0 0

0

A

A B

B

 



   

 Với k  , ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:

2

2





cos 1 2 cos 0 2 cos 1 2 x x k x x k x x k                       tan 0 tan 1 4 tan 1 4 x x k x x k x x k                       

cot 0 2 cot 1 4 cot 1 4 x x k x x k x x k                          Ví dụ 1 Tìm tập xác định của hàm số: sin 32 2 cos ( ) 1 cos tan 1 x x y f x x x        Giải:

Ví dụ 2 Tìm tập xác định của hàm số:

( )

cos

x

y f x

x



 

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 1 Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: a) 4

cos y x   b) y cos 2 x c) 1 cos sin x y x    d) y  tanx cotx 2 x2 e) 2 tan 2 5 sin 2 1 x y x     f) 2

tan 2 1 cos x y x    g) tan 2 sin 1 x y x    h) cos 4 sin 1 x y x     i) cos 2 1 sin x y x     j)

1 sin 1 sin cos x y x x     k) 2 cot 2 1 cos x y x    l)

1 sin

1 cos

x y

x





m)

sin

x y

x



tan

1 sin

x

x



o)

cos

x y



sin 1

x y

x



BT 2 Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

a)

sin 2

x y

x

 

  b) y  2 4x2 tan 2 x

c)

tan 2

4

8

x y

x





   

d)

tan

4

1 cos

3

x y

x





 

  

 



   



 

e)

4

x y

x



   

 f)

3 sin 4 cos 1 x y x     g) 3

cos cos 3 y x x    h) y cot 2x 3 .tan 2 x            i) 21 2 sin tan 1 y x x      j) 2 2 4 sin cos y x x    k) 1 cos cot 6 1 cos x y x x               l) 2

1 cot 3 tan 3 4 x y x                          Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác  Phương pháp giải  Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn: 2 0 sin 1 1 sin 1 0 sin 1 x x x          hoặc 1 cos 1 0 cos2 1 0 cos 1 x x x           Biến đổi về dạng: m  y M  Kết luận: max y M và miny m Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 4 ( ) 5 2 cos sin y f x x x     Giải:

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f x( )3 sin2x 5 cos2x4 cos2x 2 Giải:

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) sin6 cos6 2, ;

2 2

f x  x  x    x   

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau: a) y 5 3cos 2x 4 b) y  1 cos 4  x c) y 3 sin 22 x  4 d) y  4 5 sin 2 cos 2 2 x 2 x e) y  3 2 sin 4 x f) y  42 sin 25 x 8 g) 4 2 1 3 cos y x    h) 2 2 4 5 2 cos sin y x x    i)

2 2 4 2 sin 3 y x    j)

3 3 1 cos y x     k) 4

2 cos 3 6 y x              l) 2

3 sin 2 cos2

y



BT 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

a) y  sin2x cosx  2 b) y sin4x 2 cos2x  1

c) y cosx cos(x 60 ).o d) y sin4x cos4x  4

e) y  2cos 2x sin2x f) y sin6x cos 6x

g) y  sin 2x  3 cos 2x 4 h) y cos2x 2 cos2 x

i) y 2 sin2x cos 2 x j) y 2 sin 2 (sin 2x x 4 cos 2 ).x

k) y  3 sin2x 5 cos2x4 cos 2 x l) y 4 sin2x  5 sin 2x 3

m) y (2 sinx cos )(3 sinx x cos ).x n) y sinx cosx 2 sin cosx x1

o) y  1 (sin 2x cos 2 ) x 3 p) y  5 sinx 12 cosx 10

q) 2 sin 2 sin 1

4

y  x   x



  r)

2

3

y   x   x  



BT 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

a) sin 2 , 0;

2

y  x  x  

 

2

y  x    x   

c) sin 2 , ;

y   x     x   

sin cos , 0;

6

y  x  x  x  

 

  f) 2 sin2 cos 2 , 0;

3

y  x  x  x  

 

  g)

3

y  x    x   

Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải

 Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác

Nếu x   D thì x D D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2

 Bước 2 Tính f(x), nghĩa là sẽ thay x bằng  sẽ cĩ 2 kết quả thường gặp sau: x,

 Nếu f( x) f x( )f x( ) là hàm số chẵn

 Nếu f(  x) f x( )f x( ) là hàm số lẻ

Lưu ý:

 Nếu khơng là tập đối xứng ( x D   x D) hoặc f(x) khơng bằng f x( ) hoặc

( )

f x

 ta sẽ kết luận hàm số khơng chẵn, khơng lẻ

 Ta thường sử dụng cung gĩc liên kết dạng cung đối trong dạng tốn này, cụ thể: cos( a) cos , sin(a   a) sin , tan(a   a) tan , cot(a   a) cot a

Ví dụ Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

a) f x( )sin 22 x cos 3 x b) f x( )cos x2 16

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 6 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y  f x( )tanx cot x b) y f x( ) tan 2 sin 5 7 x x c) 9

( ) sin 2

2

y  f x   x  



3

( ) 2 cos 3

2

y f x    x  



  e) yf x( ) sin (3 3 x5 ) cot(2  x7 ). f) y  f x( )cot(4x 5 )tan(2 x3 ).

g) y  f x( )sin 9x2 h) y  f x( )sin 22 x cos 3 x

Cố gắng hết sức ở giây phút này sẽ đặt bạn vào vị trí tuyệt vời nhất ở những khoảng khắc sau

O Winfrey

§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



I Phương trình lượng giác cơ bản

Với k  , ta cĩ các phương trình lượng giác cơ bản sau:

2 sin sin

4 cot 1

Ví dụ 2 Giải các phương trình lượng giác sau:

Ví dụ 3 Giải các phương trình lượng giác sau:

Ví dụ 4 Giải các phương trình lượng giác sau (tích số cơ bản):

a) (2 sinx1)(3 cosx 4)0 b) ( 3 tanx 3)(2 cos 2x 1)0

c) ( 2 sin 2x 2)(2 cosx  2)0 d) (sinx 1)(2 cos 2x  2)0

e) 4 sin cos cos 2x x x  1 f) 2

sin 3 cos 3 0 4 x x  

g) 2 sinx  2 sin 2x 0 h) sin 3 cos 0 2 x x  

i) sin 4x  3 sin 2x 0 j) 8 cos3x  1 0

Ví dụ 5 Giải các phương trình lượng giác sau (nghiệm thuộc miền cho trước):

a) 1

sin 2 x  với    x 2 

b) 1 8 cos 2 ; ; 6 2 2 3 x  x                            

c) tan(x 1) tan 2;   x ( 1;5)

d) cot(x 45 )  3;   x (0 ; 420 ).

Ví dụ 6 Giải các phương trình lượng giác sau (phương trình lượng giác có điều kiện cơ bản):

a) sin 2

0

sin

x

b) sin 2 (1x tan )2x 0

c) cos2 1 0 1 cos x x   

d) cos 2 0 tan 1 x x  

k) (12 cos )(3x cos )x 0 l) tan(x 30 ).cos(20 x150 )0 0.

m) 2 sin 2x 2 cosx 0 n) sin 3 sin 0

II Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác

1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

cos( a) cosa sin(  a)  sina sin cos

cot(  a) cota cot tan



 

   

 

Tính chu kỳ

sinx (k2 )   sinx cosx (k2 )   cosx

Ví dụ 1 Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) sin 2 cos

3

x  x 



   

     

Ví dụ 2 Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): a) sin 3 cos 0 3 x   x      b) tan tan 3x x  1 0.

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 8 Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): a) sin 2 cos 6 x   x      b) 2 9 sin 3 cos 3 4 x  x                          c) cos 2 sin 4 x  x            d) 2 cos2 sin 3 x  x        e) cos 4 sin 2 0 5 x  x             f)

sin 3 cos

     

BT 9 Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) cos(3x 45 )0  cos x b) cos 2 cos

BT 10 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 4x2 cos2x  1 0 b) 2 cos 5 cos 3x x sinx cos 8 x

c) sin 5x 2 cos2x 1 d) cos 2 cosx x cosx sin 2 sin x x

2 Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

hoặc cụm ghép khác trong phương trình cần giải

Ví dụ 1 Giải phương trình: sin 5x sin 3x sinx 0

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos 3x cos 2x cosx  1 0

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 11 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx sin 2x sin 3x 0 b) cosx cos 3x cos 5x 0

c) 1sinx cos2x sin 3x 0 d) cosx cos 2x cos 3x cos 4x 0.e) sin 3x cos 2x sinx 0 f) sinx 4 cosx sin 3x 0

g) cos 3x 2 sin 2x cosx 0 h) cosx cos 2x sin 3 x

BT 12 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 5x sinx 2 sin2x 1 b) sinxsin2xsin3x  1 cosxcos2 x

c) cos 3x2 sin 2x cosx sinx  d) 4 sin 31 x sin 5x 2 sin cos2x x 0.e) sin 5x sin3x 2cosx  1 sin 4 x f) cos2xsin 3xcos5x sin10x cos 8 x

g) 1sinx cos 3x cosx sin 2x cos2 x

h) sinx sin 2x sin 3x cosx cos2x cos 3 x

3 Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

 Lưu ý đối với cơng thức hạ bậc của sin và cosin:

― Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1

2 và cung gĩc tăng gấp đơi

― Mục đích của việc hạ bậc: hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong muốn và nhĩm

hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng cơng thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ

xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài tốn đơn giản hơn

BT 14 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 42 cos 62 sin10 , 0;

g) sin 32 xcos 42 x sin 52 xcos 6 2 x h) tan2x sin 22 x 4 cos 2x

i) cos 3 cos22 x x cos2x  0 j) 2 2 3

4sin 3 cos2 1 2cos

4 Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

Đa số đề thi, kiểm tra thường là những phương trình đưa về tích số Do đĩ, trước khi giải

ta phải quan sát xem chúng cĩ những lượng nhân tử chung nào, sau đĩ định hướng để tách, ghép, nhĩm phù hợp Một số lượng nhân tử thường gặp:

— Các biểu thức cĩ nhân tử chung với cosx sinx thường gặp là:

— Phân tích tam thức bậc hai dạng: f X( )aX2 bX  c a X.( X1) ( X X2) với X

có thể là sin , cos , x x … và X X là hai nghiệm của 1, 2 f X ( ) 0

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2 cosx  3 sinx sin 2x  3

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos2x  (1 sin )(sinx x cos )x 0

Giải:

Ví dụ 3 Giải phương trình: (sinx cosx 1)(sinx cos )x sin 2x 0

Giải:

Ví dụ 4 Giải phương trình: (2 sinx  3)(sin cosx x  3) 1 4 cos 2x

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 15 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x  3 sinx 0 b) (sinx cos )x 2  1 cos x

c) sinx cosx  cos 2 x d) cos2x  (1 2 cos )(sinx x cos )x 0

e) (tanx 1)sin2x cos 2x 0 f) sin (1x cos2 )x sin 2x  1 cos x

g) sin 2 cos 2 sin 1

BT 16 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin2x 3 sin cosx x cos2x  b) 1 4sin2 sinx x2sin2x2sinx 4 4cos 2x

c) 4 sin2x 3 3 sin 2x 2 cos2x 4 d) (cosx1)(cos2x 2cos ) 2sinx  2x  0.e) (2cosx1)(sin2x2sinx 2) 4cos2x f) 1 (2sinx1)(2cos2x2sinx 3) 4sin2x 1.g) (2sinx1)(2sin2x 1) 4cos2x  h) 3 2(cos4x sin )4x  1 3 cosxsin x

i) 3 sinxcosx 1 2(sin4xcos ).4x j) sin2x(sinxcosx1)(2sinxcosx2)

BT 17 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx 4 cosx  2 sin 2 x b) sin 2x  3 2 cosx  3 sin x

c) 2(sinx 2 cos )x  2 sin 2 x d) sin 2x sinx  2 4 cos x

e) sin 2x 2 cosx sinx  1 0 f) sin 2x 2 sinx 2 cosx  2 0

g) sin 2x  1 6 sinx cos 2 x h) sin 2x cos2x 2 sinx  1

i) sin 2x 2 sinx  1 cos 2 x j) sin (1x cos 2 )x sin 2x  1 cos x

l) sin 2xsinx 2 cos 2x  1 m) (2cosx1)(2sinxcos )x sin2xsin x

n) tanx cotx 2(sin 2x cos 2 ).x o) (1 sin )cos 2x x (1 cos )sin2x x 1 sin2 x

p) sin 2x 2 sin2x sinx cos x q) cos 3x cosx 2 3 cos 2 sin x x

r) cos 3x cosx 2 sin cos 2 x x s) 2 sin2x sin 2x sinx cosx 1

t) cosx tanx  1 tan sin x x u) tanx sin 2x 2 cot2 x

v) 4cos2x2sinx2sin2x4cosx 1 0. x) 4sin2x2 3cosx2sin2x4 3sinx 3.

BT 18 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cosx 2sin (1 cos )x  x 2  2 2sin x b) 2(cosx sin2 )x  1 4 sin (1 cos2 ).x  x

c) 1 sin cos 2 sin cos2

g) sin3x cos3x sinx cos x h) sin3x cos3x 2(sin5x cos ).5x

i) 2 sin3x cos 2x cosx 0 j) 8 8 10 10 5

4

l) sin 2x cos 2x  2 sinx 0 m) tan 2x cotx 8 cos 2x

n) 3sin3x 2 sin (3 8cos )x  x 3cos x o) 2 sin (2 cos2x x  1 sin )x cos2x 2

III Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn:

Nếu đặt t sin2X, cos2X hoặc t  sinX , cosX thì điều kiện là 0 t 1

Ví dụ 1 Giải phương trình: 4 cos2x 4 sinx 1 0

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos 2x 3 cosx  2 0

Giải:

Ví dụ 3 Giải phương trình: 3 cos 2x 7 sinx  2 0

Giải:

Ví dụ 4 Giải phương trình: 4 sin4x 5 cos2x  4 0

Giải:

Ví dụ 5 Giải phương trình: cos 4x 12 sin2x  1 0

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 19 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin2xsinx 1 0 b) 2

4 sin x 12 sinx  7 0

c) 2 2 sin2x (2 2)sinx  1 0 d) 2 sin3x sin2x 2 sinx 1 0

e) 2 cos2x 3 cosx  1 0 f) 2 cos2x 3 cosx  2 0

g) 2 cos2x ( 22)cosx  2 g) 4 cos2x 2( 3 2)cosx  6

i) tan2x 2 3 tanx  3 0 j) 2 tan2x2 3 tanx  3 0

k) tan2x  (1 3)tanx 3 0 l) 2

3 cot x 2 3 cotx  1 0

m) 3 cot2x  (1 3)cotx  1 0 n) 3 cot2x  (1 3)cotx 1 0

BT 20 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 6 cos2x 5 sinx  2 0 b) 2 cos2x 5 sinx 4 0

c) 34 cos2x sin (2 sinx x 1) d) sin2x 3 cosx  3 0

e) 2 sin2x 3 cosx  3 0 f) 2 cos 22 x 5 sin 2x  1 0

g) 3 sin2x 2 cos4x  2 0 h) 4 sin4x 12 cos2x 7

i) 4 cos4x 4 sin2x 1 j) 4 2

4 sin x 5 cos x  4 0

BT 21 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 cos 2x 8 cosx  5 0 b) 1cos 2x 2 cos x

c) 9 sinx cos2x 8 d) 2cos 2x 5 sinx 0

e) 3 sinx cos 2x  2 f) 2 cos 2x 8 sinx  5 0

g) 2 cos 2x 3 sinx  1 0 h) 5 cos 2 sin 7 0

2

x

i) sin2x cos 2x cosx 2 j) cos2x cos2xsinx  2 0

BT 22 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3 cos2x 2 cos2x 3 sinx 1 b) 2

g) 1cos 4x 2 sin2x 0 h) 8 cos2x cos 4x 1

i) 6 sin 32 x cos12x 4 j) 5(1cos )x  2 sin4x cos 4x

k) cos4xsin4x cos 4x 0 l) 4(sin4x cos4x)cos 4x sin 2x  0

BT 23 Giải các phương trình lượng giác sau:

    f) cos2x 3 sin2x 3 sinx  4 cos x

g) 3 sin2x 3 sinxcos2xcosx2. h) 2

2

coscos

x x

x x

x x

BT 25 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 8 sin cosx xcos 4x  3 0 b) 2 sin 82 x 6 sin 4 cos 4x x 5

x

x x

x



h) 3 cos 4x 2 cos2x  3 8 cos 6x k) 3 cosx   2 3(1cos ).cot x 2x

l) sin 3x cos2x  1 2 sin cos 2 x x m) 2 cos 5 cos 3x x sinx cos 8 x

n) 4(sin6x cos )6x 4 sin 2 x o) sin 4x  2 cos 3x 4 sinx cos x

BT 26 Giải các phương trình lượng giác sau:

c) (2 tan2x1)cosx  2 cos2 x d) 2cos2x3cosx2cos 3x 4sin sin2 x x

e) 4 sinx  3 2(1sin ) tan x 2x f) 2sin3x 3 (3sin2x2sinx3)tan x

g) 5sin 3(1 cos )cot2 2

2 Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)

Dạng tổng quát: asinx bcosx c ( ) , ,  a b \ 0  

Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình: a2 b2 c2, (kiểm tra trước khi giải)

 Giả sử: cos 2a 2 , sin 2b 2 ,  0;2 

cos cos sin sin cos( )

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos 2 3 sin 2 2 cos

Ví dụ 3 Giải phương trình: cos 4x sinx  3(cosx sin 4 ).x

Giải:

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BT 27 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx  3 cosx 1 b) 3 sinx cosx   1

c) 3 cosx sinx  2 d) sinx  3 cosx 2

e) 3 sin 3xcos 3x  2 f) cos 7x  3 sin 7x   2

n) sin (sinx x 1)cos (1x cos ).x o) sin ( 3x sin )x cos (1x cos ).x

p) 2 sin2x  3 sin 2x   2 0 q) cos7 cos5x x 3 sin2x  1 sin7 sin5 x x

r) cos sin3x x 3cos2x 3 cos3 sin  x x s) 2(cos4xsin ) 14x   3 cosx sin x

t) 3 sin 2x cos2x 2 cosx 1 u) 2 sin2x sin 2x 3 sinx cosx 2

BT 28 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3 sin cos 2 sin

12

   b) cosx  2 sin 2xsin x

c) sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2 x d) sinx cosx 2 2 sin cos x x

e) 2 cos 3x  3 sinx cosx 0 f) (sinxcos )x 2 3 cos2x  1 2 cos x

g) 2 cos 2x sinx cosx 0 g) sin 3x  3 cos 3x 2 sinx 0

h) cos 3 sin 2 cos

l) sinx 3 cosx  2 4 cos 2x m) 4 sin2x sinx  2 3 cos x

n) 2 cos ( 3 sinx x cosx 1)1 o) 2

3 sin 2x 2 sin x 4 sin 3 cosx x  2.p) 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x x sin x q) 2(cos6xcos4 )x  3(1 cos2 ) sin2  x  x

r) 3 sin 7x 2 sin 4 sin 3x x cos x s) 2sin (cosx 2xsin )2x sinx  3 cos3 x

v) 2 3 cos2x sin 2x 4 cos 3 2 x x) 3 sin 2x2 cos2x 2 22 cos 2 x

BT 29 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x cosx cos 2x sin x b) cos 2x  3 sin 2x  3 sinx cos x

c) 3(cos2x sin 3 )x sin2x cos 3 x d) cos 7x sin 5x  3(cos 5x sin 7 ).x

e) sin 2x 2 cos2x sinxcosx 1 f) 4 sin2xtanx 2(1 tan )sin3 x x 1

n) 3 cos2x2sin cosx x 3 sin2x 1 o) 2(cosx 3sin )cosx xcosx 3sinx1

p) 3(cos2xsin ) cos (2sinx  x x 1) 0 q) cos2 1 tan tan tan 2sin 1

BT 30 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x 2 3 cos2x 2 cos x b) 3 sin 2x  1 cos2x 2 cos x

c) sin 2x cosx sinx 1 d) cos 2x 2 sinx  1 3 sin 2 x

e) 3 sin 2x cos2x 4 sinx 1 f) 2sin6x2sin4x 3 cos2x  3 sin2  x

g) tan sin 2 cos2 2

x x

3 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

Dạng tổng quát: a.sin2X b.sinX cosX c.cos2X d (1) , , , a b c d  

Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin

(tan và cotan được xem là bậc 0)

Phương pháp giải:

 Bước 1 Kiểm tra cos2 0

sin 12

 cĩ phải là nghiệm hay khơng ?

 Bước 2 Khi , ( ) cos2 0

sin 12

atan2X btanX  c d(1tan2X)

 Bước 3 Đặt t  tanX để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t x

 Lưu ý Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn.

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2 cos2x 2 sin 2x 4 sin2x 1.

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: 4 sin3x 3(cos3x sin )x sin2xcos x

Giải:

Ví dụ 3 Giải phương trình: sin (tan2x x 1)3 sin (cosx x sin )x  3

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 31 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin2x 3 3 sin cosx x cos2x  2

b) sin2x sin cosx x 2 cos2x  0

c) cos2x  3 sin 2x  1 sin 2x

d) 2 cos2x 3 3 sin 2x  4 4 sin 2x

e) 3 sin2x  (1 3)sin cosx x cos2x  1 3

f) 2 sin2x (3 3)sin cosx x ( 31)cos2x  1 0

g) 4 sin2x 5 sin cosx x 6 cos2x 0.

BT 32 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx 2 cos 3x b) cos3x sin3x sinx cos x

c) sinx 4 sin3x cosx 0 d) 4(sin3x cos )3x  cosx 3 sin x

e) 6 sinx 2 cos3x 5 sin 2 cos x x f) cos3x 4 sin3x sinx 3 cos sin x 2x

g) 3 cos4x sin4x 4 sin2xcos 2x g) 4 sin3x 3(cos3x sin )x sin2xcos x

i) 2 2 cos3 3 cos sin

k) cos2xtan 42 x  1 sin 2x 0 l) tan sinx 2x2sin2x3(cos2xsin cos ).x x

m) sin3x  3 cos3x sin cosx 2x  3 sin2xcos x

n) 4sin4x4cos4x5sin2 cos2x xcos 22 x o) 6 3 cot2x 2 2 sin2x (23 2)cos x

4 Phương trình lượng giác đối xứng

 Dạng 1 a(sinx cos )x  b sin cosx x  c 0 (dạng tổng/hiệu – tích)

PP

 Đặt t sinx cos , x t  2 t2    và viết sin cosx x theo t

Lưu ý, khi đặt t  sinx cosx thì điều kiện là: 0 t 2

 Dạng 2 a(tan2x cot )2x  b (tanx cot )x   c 0

PP

 Đặt t tanx cot , x t  2 t2    và biểu diễn tan2x cot2x

theo t và lúc này thường sử dụng: 2

Ví dụ 2 Giải phương trình: 2 tan2x 2 cot2x (4 2)(tanx cot )x  4 2 20

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 33 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x 2 2(sinx cos )x 5 b) 2(sinx cos )x 6 sin cosx x 2

c) sinx cosx sin cosx x 1 d) (1 2)(sinxcos ) 2sin cosx  x x 1 2

e) 2 2(sinxcos )x  3 sin 2 x f) (1 2)(1sinxcos )x sin 2 x

g) 2 2(sinx cos ) 2 sin 2x  x 1 g) sinx cosx 2 6 sin cos x x

BT 34 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3 tan2x 4 tanx 4 cotx 3 cot2x  2 0

b) 22 2

c) tanx 3 cotx 4(sinx  3 cos ).x d) 2 sin3x cos 2x cosx 0

e) 2 cos3x cos2x sinx 0 f) 2sin3xsinx 2cos3xcosxcos 2 x

g) sin3xcos3x  1 sin 2 x h) cos2x  5 2(2cos )(sinx x cos ).x

i) (3cos 4 )(sinx xcos )x 2 j) tan2x (1 sin3x)cos3x  1

5 Một số phương trình lượng giác dạng khác

Dạng 1 m.sin 2x n.cos 2x p.sinx q.cosx  r 0

 Ta luơn viết sin 2x 2 sin cos ,x x cịn:

2 2

cos sincos2 2 cos 1

 Nếu thiếu sin 2x , ta sẽ biến đổi cos 2x theo (1) và lúc này thường sẽ đưa được

1, 2

t t là hai nghiệm của 2

0

at bt  c để xác định lượng nhân tử chung

Ví dụ 1 Giải phương trình: cos 2xcosx 3 sinx  2 0

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: 2 sin 2x cos 2x 7 sinx 2 cosx  4

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 35 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 2x 3 cosx  2 sin x b) 5 cos 2

2 cos

x

x x

i) sin 2x 2 cos2x 3 sinx cos x j) 2 2 sin2xcos2x7sinx 4 2 2 cos x

k) sin 2x cos 2x 3 sinx cosx  l) sin 21 x cos 2x 3 cosx  2 sin x

m) sin2x2cos2x  1 sinx4 cos x n) 2 sin 2xcos 2x 7 sinx 2 cosx  4

r) 3(sin2x3sin ) 2cosx  2x3cosx5

Dạng 2: Phương trình có chứa R( , tan , cot , sin 2 , cos 2 , tan 2 , ),X X X X X sao cho cung

của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan Lúc đó đặt t  tanX và sẽ biến đổi:

2

t X

t



Từ đó thu được phương trình bậc 2 hoặc bậc cao theo t, giải ra sẽ tìm được t x

Ví dụ Giải phương trình: sin 2x 2 tanx 3

Giải:

BT 36 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 13 tanx 2 sin 2 x b) cos 2x tanx  1

c) sin 2x 2 tanx  3 d) (1tan )(1x sin 2 )x  1 tan x

1 cot

2 1 sin 2

x x

BT 37 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin cos3 2cos2 cos

sin2

2tan tan

  g) cosx 2 cos 3x  1 3 sin x

Dạng 4 Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt

sin 1 sin sin 2

u v

u v

u v

u v

BT 39 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 4 cos2x 3 tan2x 4 3 cosx 2 3 tanx  4 0

b) 4 cos2x 4 cosx 3 tan2x 2 3 tanx  2 0

c) 2 sin2x 3 tan2x 6 tanx 2 2 sinx  4 0

d) 8 sin3x sin 22 x 6 sinxcos2x  1 0

e) cos2xtan 42 x  1 sin 2x 0

f) 4 sin2x sin 32 x 4 sin sin 3 x 2 x

g) 5 sin2x 3 cos2x  3 sin 2x 2 3 cosx 2 sinx  2 0

i) 4 cos2x 3 tan2x 2 3 tanx 4 sinx  6

j) 8 cos 4 cos 2x 2 x  1cos 3x  1 0

BT 40 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos cos 2x x 1 b) sin 2 cos 4x x 1

c) sin sin 3x x   1 d) cos 2 cos 6x x  1

e) (cos2x sin )sin 52x x  1 0 f) (cosx sin )(sin 2x x cos 2 )x  2 0

g) sin 7x sinx  2 g) cos 4xcos 6x 2

i) sin3x cos3x 1 j) sin5x cos3x 1.

BT 41 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos cos 2x x 1 b) sin 2 cos 4x x 1

c) sin sin 3x x   1 d) cos 2 cos 6x x  1

e) (cos2xsin )sin 52x x  1 0 f) (cosx sin )(sin 2x x cos 2 )x  2 0

g) sin 7xsinx  2 g) cos 4x cos 6x 2

i) sin3x cos3x 1 j) sin5x cos3x 1

BT 42 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) tan2 cot2 2 sin5

e) (cos 2x cos 4 )x 2  6 2 sin 3 x f) sin4x cos4x  sinx  cos x

g) cos 3 cos 22 x x cos2x  0 g) 3

4

x

i) cos 2x cos 4x cos 6x cos cos 2 cos 3x x x  2

BT 43 Tìm tham số m để các phương trình sau đây có nghiệm:

a) cos(2x 15 )0 2m2 m b) mcosx  1 3 cosx 2 m

c) (4m1)sinx  2 msinx 3 d) (m2m)cos2x m2  m 3 m2cos2 x

e) msinx 2 cosx  1 f) mcos 2x (m 1)sin 2x m2

g) msin cosx x sin2x m g) sinx  5 cosx  1 m(2sin ).x

i) sin 2x 4(cosx sin )x m j) 2(sinx cos )x sin 2x m 1

k) sin2x2 2 (sinm xcos ) 1x  4 m l) 2 2

3 sin x msin 2x 4 cos x 0

m) (m2) cos2x msin 2x (m1) sin2x m 2

n) sin2x (2m2)sin cosx x  (1 m)cos2x m

BT 44 Cho phương trình: cos2x(2m1)cosx m 1 0

a) Giải phương trình khi 3

BT 45 Cho phương trình: cos 4x 6 sin cosx x m

a) Giải phương trình khi m 1