Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = − = − − = − − = − 2. Hai cung bù nhau: x π − và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π − = − = − − = − − = − 3. Hai cung phụ nhau: 2 x π − và x sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2 x x x x x x x x π π π π     − = − =  ÷  ÷         − = − =  ÷  ÷     4. Hai cung hơn kém nhau Pi: x π + và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π + = − + = − + = + = 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 1 . sin cos 1 . 1 tan cos 1 . 1 cot . tan .cot 1 sin a x x b x x c x d x x x + = + = + = = 6. Công thức cộng lượng giác cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x − = + + = − − = − + = + 7. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 sin 2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin nx nx x x x TQ nx x x x x x = = = − = − = − 8. Công thức nhân ba: 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = − 9. Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2 1 cos2 sin cos 2 2 x x x x − + = = 10. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y = − + + = − − + = − + + 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2 2 2 2 sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + − + = − = − + − + − + = − = Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Bài 1: Cho 3 3 sin < < .Tính cos ,tan ,cot . 5 2 p a p a a a a æ ö ÷ ç =- ÷ ç ÷ ç è ø Bài 2: Tính tan x cot x A tan x cot x + = - biết 1 sinx = . 3 Tính 2sin x 3cosx B 3sin x 2cosx + = - biết tanx = -2 Bài 3: Chứng minh: 4 4 2 2 6 6 2 2 a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 1-2cos x 1+sin x cosx 1 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx g/ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 5: Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos sin tan 2 2 A 2cos ; cot sin 2 3 3 sin tan sin cot 2 2 2 2 B cot cot tan 3 cos 2 tan cos cot 2 p p a a p a a p a p a p p p p a b b a b b b p p b p a p a b æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø = - æ ö ÷ ç + - ÷ ç ÷ ç è ø æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç + + - + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø = - + - æ ö - - ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 6: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 5 A sin 13 cos cot 12 tan ; 2 2 7 3 3 B cos 15 sin tan .cot 2 2 2 5 9 7 C sin 7 cos cot 3 tan 2tan 2 2 2 p p p a a p a a p p p p a a a a p p p p a a p a a a æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = + - - + - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = - + - - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = + + - - - + - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø ÷ Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A B C a /sin(A B) sin A; b / cosA cos(B C) 0; c /sin cos ; 2 2 3A B C d / cosC cos(A B 2C) 0; e/sin A cos 0 2 + + = + + = = + + + + + = + = Bài 8: Tính cos x 3 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø biết 12 3 sin x , ( < x < 2 ) 13 2 p p=- Bài 9: Tính tan x 4 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø biết 40 sin x 41 =- và 3 < x < 2 p p Bài 10: Chứng minh: Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a / cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a c/sin a b .cos a b sin a cosa sin bcosb d /sin a sin a 2 sin a 4 4 p p + - = - = - + - = - = - + - = + æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 11: Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C 4/ cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2 A B B 6/ tan tan tan 2 2 p = - = - æ ö ÷ ç ¹ ÷ ç ÷ ç è ø + C C A tan tan tan 1 2 2 2 2 A B C A B C 7/ cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 + = + + = ( học thuộc kết quả ) Bài 12: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG ( ) ( ) o o 2 a / sin .sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30 5 5 p p + - Bài 13: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH ( ) ( ) ( ) a / cos4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin5x sin x d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tan a; f / tan 2a tan a + - + + - - + + - Bài 14: Chứng minh ABCD vuông nếu: 2 2 2 sin B sin C a / sin A ; b / sin C cosA cos B; c / sin A sin B sin C 2 cosB cosC + = = + + + = + Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4x + 4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 sinx− 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 π ) 9) y = cot(2x - ) 3 π 10) y = 1 1 sinx 2 osxc − II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng − = →   − = − →   − ≠ ± →  0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n,kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3x III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; A 2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π 4) y = 2 1 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 sinx 3+ 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3x − 8) y = 2 4 3 os 3 1c x− + Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] [ ] a ; a ; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f b f x f a= = Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f a f x f b= = Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 2 3 π π   − −     2) y = cosx trên đoạn ; 2 2 π π   −     3) y = sinx trên đoạn ;0 2 π   −     4) y = cos π x trên đoạn 1 3 ; 4 2       C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC. 4 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu 1. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt. 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π 5 6 π π sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − 3 2 − - 1 tan x 0 1 3 1 3 || 3− - 1 1 3 − 0 cot x || 3 1 1 3 0 1 3 − -1 3− || 2. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: .2 sin sin .2 x k x x k α π α π α π = +  = ⇔  = − +  sin 0x x k π = ⇔ = sin 1 2 2 x x k π π = ⇔ = + sin 1 2 2 x x k π π = − ⇔ = − + .2 cos cos .2 x k x x k α π α α π = +  = ⇔  =− +  cos 0 2 x x k π π = ⇔ = + cos 1 2x x k π = ⇔ = cos 1 2x x k π π = − ⇔ = + tan tanx x k α α π = ⇔= + cot cotx x k α α π = ⇔= + 3. BÀI TẬP I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = 2 2 os2 1c x + b) y = tan(x + 4 π ) c) y = cot(2x - ) 3 π d) y = tan 2 sinx x e) 1 tan cos 2 3 x y x π + =   −  ÷   f) 2 2 tan 4 sin cos x y x x π   −  ÷   = − g) 1 tan y x = h) cot 2 tan 2sin 1 x x y x + = − Câu 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) ( ) sin 2 .cosf x x x= b) ( ) tan .cos3f x x x= c) ( ) 3 sin 3 sinf x x x= − + + d) ( ) sinf x x= Câu 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2sin 5 2 y x π   = + −  ÷   b) 2 2sin 3 3 y x π   = − − −  ÷   c) 2 cos 4cos 1y x x= − + d) 2 sin sin 3y x x= − + − Câu 4. Giải các phương trình sau: 5 Trng THPT Hựng Vng GV: Nguyn Hu Hiu a) 2 sin 2 x = b) 3 sin 2 2 x = c) 2 sin 2 3 x = d) 5 sin 2 4 x = e) sin 2 sin 5 5 x = ữ f) 3 sin 3 6 2 x = ữ g) 5 sin sin 3 6 x = ữ h) sin3 0x = i) sin 2 1 2 x = ữ j) 3 2sin3 0x = k) 2sin 4 1 3 x = ữ l) sin3 0 sin x x = Cõu 5. Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 2 cos 2 x = b) 3 cos2 2 x = c) 2 cos 2 3 x = d) 5 cos2 4 x = e) cos 2 cos 5 5 x = ữ f) cos5 cos 0 cos x x x = g) 3 cos 3 6 2 x = ữ h) 5 cos cos 3 6 x = ữ i) cos3 0x = j) cos 2 1 2 x = ữ k) 3 2cos3 0x = l) 2cos 4 1 3 x = ữ Cõu 6. Gii cỏc phng trỡnh sau: a/ sin3 cos2x x= b/ 3 cos 2 sin 4 4 x x + = + ữ ữ c/ cos2 cos 0x x+ = c/ 2 sin 3 cos 0 3 3 x x + + = ữ ữ d/ (1 2cos2 )( 3 2sin ) 0x x+ + = e/ 3 8cos 1 0x = f/ ( ) sin 2cos 2 .tan 2 0 4 x x x + = ữ g/ 2sin 3 3 4 x + = ữ Cõu 7. Gii cỏc phng trỡnh sau: a) tan 1x = b) tan 4 3 x = c) tan 3 6 x = ữ d) 3 tan3 tan 5 x = e) tan 2 tan 4 3 x = ữ f) 3 cot 2 1 0x = g) cot 1 4 x + = ữ h) tan 2 tan 2 0 3 x x + = ữ i) tan .tan5 1x x = Cõu 8. Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 2 2 cos 7 cos7 0x x = b) 2sin tan 0x x+ = c) 4 4 2 cos sin 2 x x = d) 2 2 sin 2 cos 3 1x x+ = e) sin 6 .sin 2 sin 5 .sin 3x x x x= Phửụng trỡnh baọc nhaỏt ủoỏi vụựi sinx vaứ cosx ! 6 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu "⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba # 22 cos ba a + = ϕ ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba # 22 cos ba a + = ϕ  "  $%#π&π'&∈( )≠π&π* 2 x +%  , ,! "-.* %+/⇔  0 ≥! 1+23-  2sincos3 =− xx '  1sin3cos −=− xx 4 xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− '5 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 6 )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− '7 tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x − = +  8 3(1 cos2 ) cos 2sin x x x − = 9 2 1 sin 2 sin 2 x x+ =  :Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác ;</+/=>>?@-A! #-.-.-.- B*-?! 1+23-   6,5!'   ,96! 4   45  5  5   , 6 5  5 , 57 x x 2 cos 3 4 cos = 8 2 3 3 2tan cos x x = + 960 04! C 2 6sin 3 cos12 4x x+ = ! 4 2 4sin 12cos 7x x+ = IV. Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx  :;D=+  ! " • $%!Eế-ả>ấ.ệ/ • $% cos 0x ≠ #%=-3 F* " G.  2 1 , '  2 1  '  2 1  +=% #  :;D=+H-*I--& J%!. 2 π &π'&∈( 1+ 1.  ,6, 0  2. 4 99 3 0C ! 3. 5 4 3  ,  5 4. 7,  4 6  6 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 7 Trng THPT Hựng Vng GV: Nguyn Hu Hiu V. /Phửụng trỡnh daùng a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . B*'%F-&%+ 22 t & 2 1 2 t GJ#%F+% "-.%=-0! B*0'%F-&%+ 22 t & 2 1 2 t 1+23- 4 4! , ,0 4 5 5 , ! 6 ,, ,! VI. Caực phửụng trỡnh lửụùng giaực khaực. 123- : 4 !' : 06'4:7,5 ,C!' 5: '6: 4 xcos 3 '7:5 5 8 1 23- :54, 6,KH* : x x 2 cos 3 4 cos = BL&4' 4 &4' 4 5 &4 4: 2 x 0 2 x 4 2 x BL# 2 x 5:4 KH*'BL0 4 & 6: ,98 xcos 1 BL& ' 3 & 7: 5 BL!' 2 1 8: 5 9:4, C:5 4KH* 2 x !: 4 : 44 KH* : 4 0 4 0BL&# 4 & 4: , 4, KHB#%F;G+% 5: BL 4 & 6:4, ! D. I S TO HễẽP Túm tt giỏo khoa I. Quy tc m 8 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P n là: P n = n! = 1.2.3…n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈ ¥ mà 1 k n≤ ≤ . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k n A là: ( ) ( ) ( ) k n n! A n. n 1 . n k 1 n k ! = − − + = − . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ ¥ mà 1 k n≤ ≤ . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k n C là: ( ) ( ) ( ) k n n n 1 . n k 1 n! C k! n k ! k! − − + = = − c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: ( ) ( ) * k n k n n k k k 1 n 1 n n Cho a, k : C C 0 k n C C C 1 k n − − + ∈ = ≤ ≤ = + ≤ ≤ ¥ III. Khai triển nhị thức Newton ( ) n n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n n k 0 a b C a b C a C a b C a b C b − − − = + = = + + + + + ∑ Nhận xét: – Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. – Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. – Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. – Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T k+1 thì: k n k k k 1 n T C a b − + = – 0 1 2 n n n n n n C C C . C 2 + + + + = – ( ) ( ) k n 0 1 2 3 k n n n n n n n C C C C . 1 C . 1 C 0 − + − + + − + + − = Chú ý: – ( ) n n k n k k n k 0 a b C a b − = + = ∑ là khai triển theo số mũ của a giảm dần. – ( ) n n k k n k n k 0 a b C a b − = + = ∑ là khai triển theo số mũ của a tăng dần. Các Dạng bài toán cơ bản Dạng toán: Bài toán về quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm. Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. 9 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải: • Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: P n = n! = 1.2.3…n • Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: ( ) ( ) ( ) k n n! A n. n 1 . n k 1 n k ! = − − + = − Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: ( ) ( ) k n n! C 0 k n k! n k ! = ≤ ≤ − Baøi 1. Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Baøi 2. Cho tập { } A 0;1;2;3;4= . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Baøi 3. Từ tập { } A 1,2,3,4,5= hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Baøi 4. Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó. Baøi 5. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 em giỏi toán, 14 em giỏi văn và 10 em không giỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả văn và toán. Baøi 6. Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Baøi 7. Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Baøi 8. Từ tập { } A 0,1, 2,3,4,5= có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Baøi 9. Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Baøi 10. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (chữ số đầu tiên khác 0) ⓐ Gồm có năm chữ số. ⓑ Gồm năm chữ số khác nhau. ⓒ Gồm năm chữ số khác nhau và là số lẻ. ⓓ Gồm năm chữ số khác nhau và là số chẵn. ⓔ Gồm năm chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 2. ⓖ Gồm năm chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 23. ⓗGồm năm chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và chữ số 3. ⓘGồm tám chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số khác có mặt đúng một lần. ⓚ Tính tổng tất cả các số tự nhiên ở câu ⓑ. Baøi 11. Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên muốn chon bốn học sinh để trực lớp. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chon nhóm trực, biết rằng: ⓐ Số nam nữ trong nhóm là tuỳ ý. ⓑ Trong nhóm phải có hai nam và hai nữ. ⓒ Trong nhóm phải có ít nhất một nữ. Baøi 12. Cho đa giác lồi 12 cạnh. Hỏi: 10 [...]... chứa x3 trong khai triển (11 + x )11 Bài 22 Trong khai triển 10 3   3 2 x − ÷ x  , (x > 0), hãy tìm số hạng khơng chứa x 2 Bài 23 Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 + x ( 1 − x )    10 2 10 Bài 24 Bài 13: Cho khai triển: ( 1 + 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x + + a10 x , có các hệ số Tìm hệ số lớn nhất Bài 25 Tìm số hạng trong các khai triển sau 8 a 0 , a1 , a 2 , , a10 11 Trường THPT Hùng Vương... – 2 n chia hết cho 7 ( 3n – 1 ) i) n3 +11n chia hết cho 6 k) 3 2n + 63 hết 72 m) 6 2n + 3 n + 2 + 3 n chia hết cho 11 o) 4 n + 15.n – 1 chia hết cho 9 14 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu F CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ: 1 Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước... chúng là 114 0 16 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25 Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3, Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số... Bài 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 và S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1 18 ĐS: d = − 5 và S11 = 187 Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350 Tính d và S11 BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1 1 2/ Cho... hạng đều bằng nhau Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u1, u2, , un, 2 Số hạng tổng quát Đònh lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d 3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng 4 Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều... (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trò tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: u k = u k −1 u k +1 ( k ≥ 2) 15 Trường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu 4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Cho một cấp số nhân với công bội q ≠ 1 u1, u2, ,un, Đònh lí: Ta có: S n = u1 q n −1 q −1 (q ≠ 1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng toán 1: Chứng minh một dãy số là cấp số Phương... là AB ; CD ; S là điểm nằm ngồi mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến của : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) 1 .11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh A; B; C thẳng hàng : β A B Chỉ ra A... thứ tự : 2, 4 6, 3 a) Chứng minh rằng chúng tạo thành một cấp số nhân mà không tạo thành một cấp số cộng, b) Phải thêm vào số hạng thứ 2 một số x bằng bao nhiêu để chúng tạo thành một cấp số cộng? Dạng toán 2: Xác đònh cấp số un Phương pháp: Xác đònh u1 và d nếu un là cấp số cộng Xác đònh u1 và q nếu un là cấp số nhân Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a /÷2,5,8, tìm u15... THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu n  1  n +1 n Bài 31 Tìm hệ số của x8 trong khai triển  3 + x 5 ÷ biết rằng C n+4 − C n + 3 = 7 ( n + 3 ) x  Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ck n Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả 0 1 2 n 0 1 2 k Bài 32 Tính tổng: S1 = C n + C n + Cn + + Cn ; S2 = C n − C n + C n − + ( −1) C n + +... tiên của cấp số cộng đó Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10 Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:  u3 + u5 = 14 1/  S13 = 129  u5 = 19 2 /  u9 = 35  S4 = 9  3 /  45  S6 = 2  u3 + u10 = − 31 4 /  2u4 − u9 = 7 53 38 ĐS: 1/ u1 = 13 và d = 39 . mũ của a tăng dần. Các Dạng bài toán cơ bản Dạng toán: Bài toán về quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm. Phương pháp. x y + − + − + = − = − + − + − + = − = Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Bài 1: Cho 3 3 sin < < .Tính cos ,tan ,cot