Đề cương toán 11 học kì 1

CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I Phép biến hình: *ĐN: Quy tắc đặt mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M/ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình của mặt phẳng.. bBiến

Trang 1

Đề cương ôn tập học kỳ I môn toán 11 (2008-2009)

PHẦN I: PHÉP BIẾN HÌNH

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I) Phép biến hình:

*ĐN: Quy tắc đặt mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất

M/ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình của mặt phẳng

2) Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến:

Cho M(x,y) và v(a,b).Khi đó M/(x/,y/) là ảnh của M thì

a x x

/ /

3) Tính chất:

a)Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b)Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với đường thẳng đã cho

c)Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

d)Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

e)Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

III) Phép đối xứng trục:

1) ĐN: Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành

chính nó,biến mỗi điểm M không thuộc d thành M/sao cho d là trung trực của đoạn

x x

/

/ Đối xứng trục oy,thì:

x x

/ /

b)Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

IV) Phép đối xứng tâm:

1) ĐN: Cho điểm I Phép biến hình biến I thành chính nó, biến điểm M khác I

thành điểm M/ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM/ được gọi là phép đối xứng tâm I

2) Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm:

Trang 2

Cho I(a,b) Gọi M(x,y) và M/(x/,y/) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I

x a x

2

2 / /

b)Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với đường thẳng đã cho

a) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b) Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

c) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

d) Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

e) Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

VI) Phép dời hình và hình bằng nhau:

1) Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ

* Phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là phép dờihình

* Nếu thực hiện liên tiếp các phép dời hình thì được một phép dời hình

Trang 3

a) Giả sử M/, N/ theo thứ tự là ảnh của M,N qua phép vị tử tỷ số k Khi đó:

3) Tâm vị tự của 2 đường tròn:

Định lý: Với 2 đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn

này thành đường tròn kia Tâm của phép vị tự được gọi là tâm vị tự của 2 đườngtròn

B PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN:

BÀI 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x - 5y + 3 = 0 và đường tròn

(C): x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0

1) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tinh tiến theo vectơ v = (-2;3)

2) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox, Oy, trục (∆): 2x + y = 0 3) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I (4, -3)

4) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O góc quay 900

HD:

1) Cách 1: Lấy điểm M(-1;0) thuộc (d) Khi đó M/ = T (M)

v thì M/(-3;3) Vì (d/)song song với (d) nên phương trình của (d/) là: 3(x+3) - 5(y-3) = 0 hay 3x-5y+24 = 0 Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của T v:

2 /

/

y y

x x

2 / /

y y

x x

thay vào phươngtrình (d) ta được: 3(x+2) - 5(y-3) = 0  3x/ - 5y/ + 24 = 0

Hay phương trình (d): 3x -5y + 24 = 0'

Cách 3: Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M;N trên đường thẳng (d) rồi tìmtoạ độ M;N tương ứng của chúng qua T v: Khi đó (d/) là đường thẳng M/N/

2) (C) có tâm I(2;-3) bán kính R = 4 Gọi H(x0;-2x0) thuộc (∆)

/

I H

I H y y y

x x x

Vậy phương trình (C/) là: ) 16

5

17 ( ) 5

Trang 4

4) (C) có tâm I(2;-3) bán kính R = 4 Ảnh của I qua phép quay tâm O góc 900

BÀI 2: Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A

qua B và PQ là đường kính thay đổi của (O) khác với đường kính AB Đườngthẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N

a)Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ

b)Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi

HD:

a)Dùng đường trung bình trong tam giác

b)Phép vị tự tâm C tỉ số k = 2 biến Q thành M

Phép vị tự tâm C tỉ số k =21 biến Q thành N

BÀI 3: Cho đường tròn (O), đường thẳng (d) không có điểm chung với (O) và

điểm P Hãy dựng hình bình hành sao cho hai đỉnh liên tiếp thuộc (O), hai đỉnhcòn lại thuộc (d) và nhận P là giao điểm các đường chéo

2/ Trong mpOxy cho vectơ v  ( 3 ; 2 ) Phép tịnh tiến theo vectơ v biến đường tròn (C)

có pt (x+1) 2 +(y-3) 2 = 4 thành đường tròn có phương trình:

a (x-2) 2 +(y-5) 2 = 4 b (x+2) 2 +(y+5) 2 = 4 c (x-1) 2 +(y+3) 2 = 4 d (x+4) 2 +(y-1) 2 = 4

Trang 5

6/ Hai hình H và H / bằng nhau nếu:

7/ Trong các hình sau đây hình nào vừa có tâm đối xứng vừa có trục đối xứng?

8/ Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi A / , B / ,C / lần lượt lả trung điểm của các cạnh BC,

AC, AB của tam giác ABC Khi đó phép vị tự nào sau đây biến tam giác A / B / C / thành tam giác ABC ?

2 1 , (G 

2 1 ,

10/ Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi A / , B / ,C / lần lượt lả trung điểm của các cạnh BC,

AC, AB của tam giác ABC Khi đó phép vị tự nào sau đây biến tam giác ABC thành tam giác

A / B / C / ?

a V(G,  2 ) b )

2

1 ,

(G

2

1 , (G 

V d V (G, 2 )

11/ Trong mpOxy cho parabol (P): x 2 = 4y Ảnh của (P) qua phép đối xứng trục Ox là (P / )

có pt:

điểm Trong những nhận xét sau, nhận xét nào đúng?

13/ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

a Hai hình chử nhật bất kỳ luôn đồng dạng bHai đường tròn bất kỳ luôn đồng dạng.

c Hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng dHai đường thẳng bất kỳ luôn đồng dạng

14/ Trong mpOxy cho vectơ v  ( 4 ; 3 ) Phép tịnh tiến theo vectơ v biến đường tròn (C)

có pt (x+4) 2 +y 2 = 16 thành đường tròn có phương trình:

a x 2 +(y+3) 2 = 16 b (x+4) 2 +(y-1) 2 = 16 c x 2 +(y-3) 2 = 16 d (x+4) 2 +(y-3) 2 = 16

15/ Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai ?

Trang 6

18/ Trong các hình sau đây hình nào vừa có tâm đối xứng vừa có trục đối xứng?

19/ Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A Hãy chọn phát biểu sai.

a/ Tiếp điểm là một trong hai tâm vị tự trong hoặc ngoài của hai đường tròn.

b/ Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì A là tâm vị tự trong.

c/ Tiếp điểm là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

d/ Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì tiếp điểm A là tâm vị tự ngoài

1 4

2 2



 y x

Phương trình của elip (E / ) đối xứng với (E) qua I(1;0) là:

1 4

) 1 ( 2 2





 y x

1 4

) 1 ( 2 2





 y x

PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Bài1: Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN

không song song với CD Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)

b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,đáy lớn là AB Gọi I,J

lần lượt là trung điểm của SA, SB M là điểm tuỳ ý thuộc đoạn SD

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao điểm của IM và (SBC)

c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm trên cạnh BC, N là điểm trên cạnh SD.

a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC), giao điểm J của MN và (SAC)

b) DM cắt AC tại K CMR: S, K, J thẳng hàng

c) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BCN)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD và một điểm M tuỳ ý trong tam giác SCD.

Trang 7

a) Tìm giao tuyến của mp(SBM) và mp(SAC)

Tìm giao điểm của BM và (SAC)

b) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MAB)

c) Chứng minh ba đường thẳng AB,CD,(d) đồng quy, trong đó (d) là giao tuyến của mp(MAB) và mp(SCD)

Bài 5 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC Gọi M ;

N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD Tìm giao tuyến của :

a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD)

c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?

Bài 6 : Cho tứ diện ABCD, I, J lần lượt là hai điểm cố định trên AB, AC và IJ

không song song với BC Mặt phẳng ( ) quay quanh IJ cắt các cạnh CD, BD lầnlượt tại M, N

a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm tập hợp giao điểm P của IN và JM

c) Tìm tập hợp giao điểm Q của IM và JN

HD:

a) M, N, K là 3 điểm chung của ( ) và (BCD)

b) P  (ABD)  (ACD)  P  AD

-Giới hạn: Tập hợp điểm P là đường thẳng AD trừ đoạn AD

c) Q  (JBD)  (ICD)  Q  KD với K = BJ CI

-Giới hạn: Tập hợp điểm Q là đoạn KD

Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và

CD (AB>CD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

a) Chứng minh: MN // CD

b) Tìm giao điểm P của SC và mp(AND) Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I Chứngminh SI // AB //CD Tứ giác SABI là hình gì?

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành Gọi M, N, P, Q là các điểm lần

lượt trên BC, SC, SD, AD sao cho MN //BS, NP //CD, MQ //CD

a) Chứng minh PQ//SA

b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ Chứng minh SK //AD //BC

c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx //SC, Qy //SB Tìm giao điểm của Qx với(SAB), Qy với (SCD)

HD: b) Giao tuyến SK của (SAB) và (SBC) song song với AD.

c) Lấy E  Qx, ==> E = Qx  (SAB)

Gọi F = NP  Qy ==> F = Qy  (SCD)

Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC,

K là điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD

a) Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJK) Chứng minh thiết diện đó là hìnhthang cân

Trang 8

b) Tính diện tích của thiết diện theo a

KQ: b) 5 2 51

144

a

S 

Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a; S là một điểm không thuộc mp(ABCD) sao

cho tam giác SAB đều, cho SC = SD = a 3 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của

SA, SB M là một điểm trên cạnh AD Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N

a)Chứng minh HKNM là hình thang cân

b)Đặt AM = x ( 0 <=x <=a) Tính diện tích tứ giác HKNM theo a và x Tính x đểdiện tích này nhỏ nhất

HD:

a) Chứng minh KN = HM  kết luận KHMN hình thang cân

b) Áp dụng định lý cô sin  2 4 2 2 2ax

Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB, CD

a) Chứng minh MN // (SBC) và (SAD)

b) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh SB, SC đều song song với mp(MNP).c) Gọi G1 và G2 là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh G1G2song song với (SAC)

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N là 2 điểm bất kỳ trên SB và CD, () là

mặt phẳng qua MN và song song với SC

a) Tìm các giao tuyến của () với các mặt phẳng (SBC), (SCD) và (SAC)

b) Xác định thiết diện của () với hình chóp S.ABCD

Bài 13: Cho tứ diện ABCD có AB= a, CD = b Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và

trung điểm J của CD Giả sử AB vuông góc với CD () là mặt phẳng qua M trênđoạn IJ và song song với AB và CD

a) Tìm giao tuyến của () với mp(ICD)

b) Xác định thiết diện của (ABCD) với () Chứng minh thiết diện đó là hình chữnhật

c) Tính diện tích của hình chữ nhật biết IM =1/3 IJ

Bài 14: Cho hình chóp S ABCD Đáy ABCD là hình bình hành tâm O M là một

điểm di động trên SC, () là mp qua AM và song song với BD

a) Chứng minh () luôn chứa một đường thẳng cố định

b) Tìm các giao điểm H và K của () với SB, SD Chứng minh rằng

SH SK  SM có giá trị không đổi.

Trang 9

c) Thiết diện của () với hình chóp có thể là hình thang được không?

HD: a) Đường thẳng Ax song song BD.

b) Gọi I là giao điểm của AM và HK Từ S vẽ đường thẳng song song với AChoặc từ C kẻ đường thẳng song song với AM

ta có SB SD 2SO

SH  SK  SI với

SI  SM   SH SK  SM 

c) Thiết diện AKMH không thể là hình thang

Bài 15: Cho tứ diên đều ABCD cạnh a M và P là 2 điểm di động trên các cạnh AD

và BC sao cho AM = CP = x ( 0 < x < a) Một mặt phẳng đi qua MP và song song với

CD cắt tứ diện theo một thiết diện

a) Chứng minh thiết diện là hình thang cân

b) Tính x để diện tích thiết diện nhỏ nhất

HD: b) Áp dụng định lý hàm số cô sin 8 2 3 2 8ax

4

a

S MNPQ  x  a 

S nhỏ nhất khí và chỉ khi x = a/2;

Bài 16: Cho hình chóp S ABCD đáy là nửa lục giác đều ABCD với BC = 2a,

AB = AD = CD = a Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và BD.Cho biết SD vuông góc AC

a) Tính SD

b) () là mp đi qua M trên cạnh BD và song song với SD và AC Xác định thiếtdiện của hình chóp S.BCD với () Phân biệt 2 trường hợp ( M thuộc đoạnthẳng BO và thuộc đoạn OD)

c) Tính diện tích của thiết diện theo a và x, với BM = x 3 Định x để diện tích ấylớn nhất

Trang 10

2

Cos x

4

2

3 4 sin 2

3 2 2



x Cos

Trang 11

ĐS:

2 12

1 2 cos

4 2   2 x

x x

4 , x  k , x  k với tan=1+ 2,tan =1- 2

16.2sin2x - 2(sinx + cosx) + 1 = 0

ĐS:   2 

4 k

x    với cos =

2 2

3

2 

18.Sin2x - 12(sinx - cosx) + 12 = 0

Trang 12

III)Giải các phương trình sau:

1 Cotx - tanx = sinx + cosx HD: Đưa về pt sinx + cosx = 0 và cosx - sinx = sinxcosx

2 Sin4x + cos4x = 43 HD: Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2xcos2x = 1-

2

1

sin22x

3 Sin6x + cos6x = 1 HD: Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2xcos2x = 1- 43 sin22x

4 Sin4x + cos4x = 3 cos4 6x ĐS:  2 

Trang 13

10.2sin22x + sin7x - 1 = sinx ĐS: x8 k4, x18 k23 , x518 k 23

11.(1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x ĐS: x    k

HD: Giải được sinx = 1/2, cosx = 116.Sin3x + sinx cosx = 1 - cos3x

2 sin

21.2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx HD: Giải được sinx = 1, cosx = -1/2

7 sin(

4 ) 2

3 sin(

1 sin

1

x x

25.cos4x + sin4x + cos(x -4 ) sin(3x -4 ) - 23 = 0

Trang 14

12 , x  k

12 5

28.Tanx + cotx = 2(sin2x+ cos2x) ĐS: x4k2 , x8 k2

29.(2cosx - 1) (sinx + cosx) = 1 ĐS: x  k2  , x6 k23

sin 1

2 sin

IV/ Phương trình không mẫu mực:

1 Giải các phương trình sau:

a Cos13x + Sin14x = 1

Hướng dẫn: Cosx = 0 hoặc Cosx = 1

b Sin3x + Cos3x = 2 – Sin4x

2

3 3

2 cos

1 2 cos 2

sin

1 2 sin

V/ Phương trình lượng giác chứa tham số:

1 Định m để phương trình sau có nhiều hơn một nghiệm 

Trang 15

Đề cương ụn tập học kỳ I mụn toỏn 11 (2008-2009)

x a x

b y

5 a GPT: 3 cosx cos 2x cos 3x 1  2 sinxsin 2x (1)

b Định m để phương trỡnh (1) tương đương với phương trỡnh sau:

0 4 8 cos ) 4 7 ( sin ) 8 4 ( 3

Câu 1: Một bộ ghép hình gồm các miếng gỗ Mỗi miếng gỗ đợc đặc trng bởi 4 tiêu

chuẩn: chất liệu, màu sắc, hình dạng và kích cỡ Biết rằng có hai chất liệu (gỗ, nhựa);

có 4 màu (xanh, đỏ, lam, vàng); có 4 hình dạng (tròn, vuông, tam giác, lục giác) và có

3 kích cỡ (nhỏ, vừa, lớn) Hỏi có bao nhiêu miếng gỗ?

Cõu 2: Trong tủ sỏch cú tất cả 10 quyển sỏch Hỏi cú bao nhiờu cỏch sắp xếp sao cho

cuốn thứ nhất khụng kề cuốn thứ hai?

Câu 3: Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự Mỗi ông bắt tay một lần với mọi

ngời trừ vợ mình Các bà không ai bắt tay với nhau Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

Cõu 4: Từ cỏc số 1, 3, 5, 7, 9 cú bao nhiờu số cú 5 chữ số khỏc nhau khụng bắt đầu

bằng số 13?

Câu 5: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C sẽ ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế.

Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9 ngời đó sao cho mỗi thầy giáo ngỗi giữa hai họcsinh?

Câu 6: Một hộp đựng 11 tấm thẻ đợc đánh số từ 1 đến 11 Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ.

Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ Khi đó P bằng:

Tiêu đề	Đề cương ôn tập học kỳ I môn toán 11
Trường học	Trường THPT Trần Quốc Tuấn
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Đề cương
Năm xuất bản	2008-2009
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	0,98 MB