Đề cương toán 10

Xác định hàm số và tìm tập xác định của hàm số .... Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai .... Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị ....  Mệnh đề chứa biến:

Trang 1

N¨m häc 2018 – 2019

Biªn so¹n & Gi¶ng d¹y:

Ths Lª V¨n §oµn 0933.755.607

 MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP

 HÀM SỐ BẬC NHẤT – BẬC HAI

 BẤT ĐẲNG THỨC

 VÉCTƠ & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ

 CHUYÊN ĐỀ & BỘ ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 1

Trang 2

Muïc luïc

Trang

PHẦN 1 ĐẠI SỐ

Ôn tập phương trình bậc cao 1

Chương I MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP 3

§ 1 Mệnh đề 3

§ 2 Tập hợp & Các phép toán trên tập hợp 5

 Dạng toán 1 Xác định tập hợp 6

 Dạng toán 2 Tập hợp con & Tập hợp bằng nhau 7

 Dạng toán 3 Các phép toán trên tập hợp (dạng liệt kê) 8

 Dạng toán 4 Các phép toán trên tập hợp (trên đoạn, khoảng, nửa khoảng) 10

Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 12

§ 1 Đại cương về hàm số 12

 Dạng toán 1 Xác định hàm số và tìm tập xác định của hàm số 12

 Dạng toán 2 Xét chiều biến thiên (tính đơn điệu) của hàm số 16

 Dạng toán 3 Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 18

§ 2 Hàm số bậc nhất 20

§ 3 Hàm số bậc hai 23

 Dạng toán 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai 24

 Dạng toán 2 Xác định các hệ số của Parabol (P) 25

 Dạng toán 3 Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị 28

 Dạng toán 4 Tương giao giữa hai đồ thị hàm số 30

 Một số bài toán khác 32

Chương III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 35

§ 1 Đại cương về phương trình 35

§ 2 Phương trình bậc nhất một ẩn số 36

§ 3 Phương trình bậc hai một ẩn số 39

 Dạng toán 1 Giải và biện luận phương trình bậc hai 39

 Dạng toán 2 Định lý Viét và ứng dụng 41

§ 4 Phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai 51

 Dạng toán 1 Phương trình bậc 3, bậc 4 51

 Dạng toán 2 Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối 52

 Dạng toán 3 Phương trình chứa dấu căn thức 54

Trang 3

§ 5 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn số 58

§ 6 Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số 63

Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 67

§ 1 Bất đẳng thức 67

 Dạng toán 1 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương 68

 Dạng toán 2 Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy 72

 Kỹ thuật 1: Ghép đối xứng 72

 Kỹ thuật 2: Tách cặp nghịch đảo và chọn điểm rơi 76

 Kỹ thuật 3: Cauchy ngược dấu 86

 Kỹ thuật 4: Đặt ẩn phụ (đổi biến) 87

PHẦN 2 HÌNH HỌC Chương I VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ 89

§ 1, 2, 3 Véctơ và các phép toán trên véctơ 89

 Dạng toán 1 Chứng minh đẳng thức véctơ 91

 Dạng toán 2 Tìm môđun (độ dài) của véctơ 94

 Dạng toán 3 Phân tích véctơ – Chứng minh thẳng hàng – Song song 96

 Dạng toán 4 Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức 100

§ 4 Hệ trục tọa độ 101

Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 106

§ 1 Tích vô hướng của hai véctơ 106

 Dạng toán 1 Tính tích vô hướng và tìm độ dài cạnh 106

 Dạng toán 2 Sử dụng tích vô hướng để chứng minh vuông góc 108

 Dạng toán 3 Chứng minh hệ thức 109

§ 2 Hệ thức lượng trong tam giác 110

ÔN TẬP HỌC KÌ 1 111

Trang 4

Biên soạn & Giảng dạy: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang - 1 -

§ 0 Oân tập phương trình bậc cao

2 Phương trình bậc ba và phương trình bậc cao

Hướng 1 Nếu cĩ nghiệm đẹp: nhẩm nghiệm và chia Hoĩcner để đưa về tích số

Hướng 2 Nếu khơng cĩ nghiệm đẹp: sử dụng hằng đẳng thức hoặc ẩn phụ

Trang 5

a) x x( 1)(x 1)(x 2)3 b) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)3.c) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7)297 d) (2x1)(x1)(x3)(2x  3) 9 0.e) (4x 1)(12x1)(3x 2)(x 1)28 f) (x 1) (22 x 1)(2x 3) 18  0

BT 4 Giải các phương trình sau:

Trang 6

Chương

§ 1 MỆNH ĐỀ



 Mệnh đề

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

 Một mệnh đề khơng thể vừa đúng, vừa sai

 Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P.

 Mệnh đề "khơng phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P

 Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng

 Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P Q.

 Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

 Mệnh đề đảo: Cho mệnh đề kéo theo P Q Mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề

đảo của mệnh đề P Q

 Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P Q

 Mệnh đề P Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P Q và Q P đều

đúng

 Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị

trong một tập X nào đĩ mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề

 Kí hiệu  và : Cho mệnh đề chứa biến P x( ) với x X Khi đĩ:

 "Với mọi x thuộc X", ký hiệu là: " x X".

 "Tồn tại x thuộc X", ký hiệu là: " x X"

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x X P x, ( )" là " x X P x, ( )"

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x X P x, ( )" là " x X P x, ( )"

 Lưu ý:

 Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nĩ Ngồi ra nĩ khơng chia

hết cho bất cứ số nào khác Số 0 và 1 khơng được coi là số nguyên tố

Trang 7

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 11 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?

a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3 b) Nếu a b thì a2 b2

c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6 d) Số  lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4

e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau f) 81 là một số chính phương

g) 5 > 3 hoặc 5 < 3 h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5

BT 12 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?

l)  n ,n2 1 khơng chia hết cho 3 m)  n *, (n n 1) là số lẻ

n)  n *, (n n1)(n2) chia hết cho 6 o)  n *, n3 11n chia hết cho 6

BT 13 Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng ?

a) 4  5

b) a b 0 khia 0 b 0

c) a b 0 khia 0 b 0

d) a b 0 khia 0 b 0 a 0 b 0

e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nĩ chia hết cho 2 ……… cho 3

f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nĩ bằng 0 ……… bằng 5

BT 14 Cho mệnh đề chứa biến P x( ), với x   Tìm x để P x( ) là mệnh đề đúng ?

Trang 8

§ 2 TẬP HỢP – CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP



 Tập hợp

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa

 Cĩ 2 cách xác định tập hợp:

 Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu mĩc  ; ;  

 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

 Tập rỗng: là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu 

 Giao của hai tập hợp: A B x x A và x B

 Hợp của hai tập hợp: A B x x A hoặc x B

 Hiệu của hai tập hợp: A B\ x x A và x B

 Phần bù: Cho B  thì A C B A A B\

A

Trang 9

Dạng toán 1: Xác định tập hợp

BT 16 Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nĩ

a) Ax  2 x 10 b) Bx   7  x 15c) C x  x 5 d) Dx  x2 10

BT 17 Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nĩ

a) Ax  x2 9x 200 b) B x  2x2 5x  3 0c) C x  x2   x 3 0 d) D x  x2   x 4 0e) E x  3x3 4x27x 0 f) F x (2x2 5x 3)(x2   4x 3) 0

Trang 10

Dạng toán 2: Tập hợp con & Tập hợp bằng nhau

BT 19 Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng, vì sao ?

 Điền vào chỗ trống: “Nếu tập hợp A cĩ n phần tử thì sẽ cĩ …… tập hợp con”

BT 21 Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào ?

a) A1;2;3 , Bx x 4 , C x x 0 , Dx 2x2  3 7xb) Ax  0 x 3 ,  B x  x23x  2 0 ,  C x  x2 2 ,

f) A  Tập các ước số tự nhiên của 6 B  Tập các ước số tự nhiên của 12

BT 22 Xét xem 2 tập sau cĩ bằng nhau khơng ?

a) Tìm các tập hợp con của A cĩ chứa đúng 3 phần tử

b) Tìm các tập hợp con của A chứa phần tử 0 và khơng chứa các ước của 6

BT 25 Tìm tất cả các tập hợp của X sao cho:

a)  1;2 X 1;2; 3;4;5 b) X 1;2; 3;4 và X 0;2; 4;6; 8 c)  a b; X a b c d; ; ;  d)  1; 3 X 1;2;3; 4

e) A1;2; 3 ,  B 1;2;3; 4;5;6 , với AX và X B

Trang 11

Dạng toán 3: Các phép toán trên tập hợp (dạng liệt kê)

BT 29 Cho hai tập hợp A 1; 3;5 và B 1;2;3 Hãy tìm hai tập hợp: ( \ ) ( \ )A B  B A

và (A B ) \ (A B ) Hai tập hợp nhận được cĩ bằng nhau hay khơng ?

Trang 12

X E     Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của X

BT 22 Cho ba tập hợp: Ax  1x2 18 ,  B x  x là ước số của 16 và 

 3 9 2 8 0

C  x  x  x  x  

a) Tìm A B B C ,  , A(B C ), B(A C ) và AB C

b) Tìm các tập con của tập C mà khơng phải là tập con của A

c) Tìm các tập con của A đồng thời là tập con của B mà khơng cĩ phần tử chung

với tập hợp C

BT 23 Cho 4 tập hợp: Ax   1 x 4 ,  B x (x23 )(4x x2 3x 1) 0 ,

C  x x  k  với k   và   2 k 1 , E x  x 1 3

Trang 13

A B A B

Dạng toán 4: Phép toán trên tập hợp (trên đoạn, khoảng, nửa khoảng)

BT 26 Hãy phân biệt các tập hợp sau:

a) 1;2 ,  1;2 ,  1;2 ,  1;2 ,  1;2 

b) Ax    2 x 3 ,  B x    2 x 3

c) Ax  x 3 ,  B x  x 3

BT 27 Hãy xác định: A B A B A B B A C A C B ;  ; \ ; \ , R , R và biểu diễn chúng trên

trục số trong mỗi trường hợp sau:

Trang 14

   d) A   ; 2 , B2;,C (0;3)

 e) A  5;1 , B3;,C   ( ; 2)

Trang 15

 x được gọi là biến số, y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y  f x( )

 D được gọi là tập xác định của hàm số

 T y  f x x( ) D được gọi là tập giá trị của hàm số

 Cách cho hàm số: cho bằng bảng, biểu đồ, cơng thức y  f x( ) Tập xác định của hàm

( )

y  f x là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f x( ) cĩ nghĩa

 Chiều biến thiên của hàm số: Giả sử hàm số y  f x( ) cĩ tập xác định là D. Khi đĩ:

 y f x( ) được gọi là đồng biến trên D  x1, x2 D và x1 x2  f x( )1  f x( ).2

 y f x( ) được gọi là nghịch biến trên D  x x1, 2 D và x1x2 f x( )1 f x( ).2

 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y f x( ) cĩ tập xác định D

 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu x D thì x D và f( x) f x( )

 Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu x D thì x D và f(  x) f x( )

 Tính chất của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng

 Đồ thị của hàm số: y  f x( ) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x  ; ( )

trên mặt phẳng toạ độ Oxy với mọi x D

Dạng toán 1: Xác định hàm số & Tìm tập xác định của hàm số

Bài tốn: Tìm tập xác định của hàm số y  f x( )

— Bước 1 Tìm điều kiện xác định y  f x( ). Thường gặp 3 dạng sau:

+ Hàm số chứa căn bậc chẵn trên tử số: y 2n P x( ) Đ KX Đ  ( )P x 0

+ Hàm số chứa căn thức dưới mẫu số:

2

( )

( ) 0.( )

KX n

    Căn bậc lẻ khơng cĩ điều kiện

2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

Trang 16

BT 38 Các bài tốn liên quan đến định nghĩa và đồ thị của hàm số



x y

x

c) 12

9

x y

5 3( 4)( 1)

x y

11

x y

Trang 17

BT 41 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) 3 2

2 4

x y

x

x x



i) 2 4

3

x y



 k) 3 2 5 2 8 4

2 2

5

6 52

52

x y



Trang 18

x y

3 2

Trang 19

2 2

2 2( )

2 2

2 3( )

f) y  f x( ) (m1)xm  mxm xác định trên nửa khoảng 2  1; 

m) y  f x( ) xm 2 2mx xác định trên trên 1 đoạn cĩ độ dài bằng 3

Dạng toán 2: Xét chiều biến thiên (Tính đơn điệu của hàm số)

Bài tốn tổng quát: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y  f x( )

1 Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng ( ; ).a b

— Hàm số f x( ) gọi là đồng biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; ); a b x1 x2 thì f x( )1 f x( ).2

— Hàm số f x( ) gọi là nghịch biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; ); a b x1 x2 thì f x( )1  f x( ).2

2 Tỉ số Newton: Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng ( ; )a b và 1 2

Trang 20

a) y  f x( )2x 3 trên ( ; ) b) y  f x( )  x 5 trên 

c) yf x( )x2 10x trên 9 ( 5; ). d) 2

yf x   x x trên (1;).e) y  f x( )x2  trên 4 (;0) f) y  f x( ) 2x2 4x trên ( ; 1).g) y  f x( )  x2 3x  trên 2 (2;5) h) f t( )   trên t3 t 

k) y  f x( ) 3x 1 trên D y l) y  f x( ) 323x trên D y

m) y  f x( ) 2x  trên 5 D y n) y  f x( ) 2 x 3 trên D y.o) y  f x( ) x 2 x  trên 1 D y p) ( )f x  2x  4 6 2x  trên 5 D y

BT 48 Với giá trị nào của tham số m thì hàm số:

Trang 21

Dạng toán 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Bài tốn tổng quát: Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y f x( )

— Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số y  f x( )

— Bước 2 Xét D cĩ là tập đối xứng khơng ? (D là tập đối xứng khi  x D   x D)

+ Nếu x D sao cho  x D thì ta kết luận hàm số khơng phải là hàm số

chẵn, cũng khơng phải là hàm số lẻ

+ Nếu  x D, ta cĩ x D thì ta làm sang bước 3

— Bước 3 Tính f(x), (nghĩa là chỗ nào cĩ x sẽ thế bằng x trong hàm số y  f x( ))

4( ) x

2( ) x x

Trang 22

x)

2 2

2( )

5( )

4

1( )

1

x y x



 Chứng minh hàm số đã cho là hàm chẵn và tìm x để y 1.

Trang 23

§ 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT

và nghịch biến (; 0)

 Lưu ý: Cho hai đường thẳng d y: axb và d:ya x b. Khi đĩ:

Trang 24

1 khi 12

3

x

d y   e) d y1 :  x 3, d2 :y  5x 3 f) d x1 :   y 1, d2 :x 2y 4 0

BT 59 Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm m để đồ thị hàm số y  2x m x( 1) :

a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M ( 2;3)

c) Song song với đường thẳng y x 2 d) Vuơng gĩc với đường thẳng y   x

BT 60 Xác định các tham số a và b để đồ thị của hàm số ( ) :D y axb:

a) Đi qua hai điểm A  ( 1; 20) và B(3; 8)

b) Đi qua hai điểm A ( 1; 3) và B(1;2)

c) Đi qua điểm điểm M(3; 5) và điểm N là giao điểm của hai đường thẳng

d y  x và đường thẳng d2 :y   x 3

d) Đi qua điểm M ( 5; 4) và song song với trục tung

e) Đi qua điểm N( 2;1) và song song với trục hồnh

f) Đi qua điểm A (1; 1) và song song với đường thẳng y 2x 7

g) Đi qua điểm A(3;4) và song song với đường thẳng x   y 5 0

h) Đi qua điểm M(4; 3) và song song với đường thẳng d : 2x 3y 2016

i) Song song với đường thẳng d x: 2y20150 và đi qua giao điểm của hai đường thẳng d x1 : 2y 2 0 và d2 :y 3x 5

Trang 25

j) Cắt trục hồnh tại điểm A cĩ hồnh độ bằng 2 và song song với đường thẳng d cĩ

phương trình: 3x 4y 36

k) Đi qua gốc tọa độ O và vuơng gĩc với đường thẳng gĩc phần tư thứ nhất

l) Đi qua điểm P(2; 3) và vuơng gĩc với trục Ox

m) Đi qua điểm Q(7;8) và vuơng gĩc với trục Oy

n) Đi qua điểm A(1;1) và vuơng gĩc với đường thẳng d y:   x 1

o) Đi qua điểm A(4; 5) và vuơng gĩc với đường thẳng ( ) : y 4x 7

p) Đi qua điểm N ( 4; 3) và vuơng gĩc với đường thẳng ( ) : x3y2015 0.q) Qua điểm H(1; 3) và cắt trục hồnh tại điểm K cĩ hồnh độ là 4

r) Cắt đường thẳng d y1 : 2x 5 tại điểm cĩ hồnh độ bằng –2 và cắt đường thẳng

BT 63 Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến ? nghịch biến ?

BT 66 Tìm đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và chắn trên 2 trục tọa độ một tam giác

vuơng cân trong các trường hợp sau:

Trang 26

§ 3 Hàm số bậc hai

 Giữ nguyên phần ( )P phía trên Ox .

 Lấy đối xứng phần ( )P dưới Ox qua Ox

 Đồ thị y f x( ) là hợp 2 phần trên

 Bước 1 Vẽ parabol ( ) :P y ax 2bx c

 Bước 2 Do y f x  là hàm chẵn nên đồ

thị đối xứng nhau qua Oy và vẽ như sau:

 Giữ nguyên phần ( )P bên phải Oy

 Lấy đối xứng phần này qua Oy

Trang 27

Dạng toán 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c

BT 69 Lập bảng theo mẫu sau đây rồi điền vào ơ trống các giá trị thích hợp nếu cĩ:

Bề lõm quay

Giá trị nhỏ nhất

2

( ) :P y 2x 4x  4

2

( ) :P y 3x 3x 2

Trang 28

BT 73 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1 1.2

Dạng toán 2: Xác định các hệ số của Parabol (P)

 Một số vấn đề cần nhớ khi tìm a, b, c của parabol (P): y = ax 2 + bx + c:

— Điểm M x y( M; M) ( ) : P y ax2 bx  c y M ax M2 bx M c. Do đĩ để xác định , ,

a

Trang 29

BT 75 Xác định parabol ( )P trong các trường hợp sau:

a) ( ) :P y ax2 bx  đi qua các điểm c A(1;1), ( 1; 3), (0; 0).B  O

b) ( ) :P y ax2 bx  đi qua các điểm c A(0; 1), (1; 1), ( 1;1). B  C 

c) ( ) :P y ax2 bx  đi qua các điểm c A( 1; 1), (0;2), (1; 1).  B C 

d) ( ) :P y 2x2 bx  đi qua các điểm c A(2;1), ( 3;2).B 

e) ( ) :P y ax2 bx  đi qua các điểm 2 A(1;5), ( 2;8).B 

f) ( ) :P y ax2 bx  đi qua điểm c A(0;5) và cĩ đỉnh I(3; 4).

g) ( ) :P y ax2 bx  đi qua điểm c A(1;1) và cĩ đỉnh I ( 1;5)

h) ( ) :P y ax2 bx đi qua điểm 7 A  ( 1; 6) và cĩ trục đối xứng 1

j) ( ) :P y ax2 4x  cĩ hồnh độ đỉnh bằng 3c  và đi qua điểm A ( 2;1)

k) ( ) :P y ax2 bx qua điểm 1 A (3; 7) và cĩ hồnh độ đỉnh bằng 1

l) ( ) :P yx2 bx  đi qua điểm c A(1; 0) và cĩ tung độ đỉnh bằng 1.

m) ( ) :P y ax2 bx  đi qua điểm 2 A ( 1; 6) và cĩ tung độ đỉnh bằng 1

4

 

n) ( ) :P y ax2 bx cĩ đỉnh 3 I(3;6)

o) ( ) :P y  x2 bx  cĩ đỉnh c I(2;1)

p) ( ) :P y ax2 4x  cĩ trục đối xứng là c x  và cắt Ox tại điểm 2 M(3; 0)

q) ( ) :P y 2x2 bx  cĩ trục đối xứng là c x  và cắt trục tung tại điểm 1 M(0; 4)

r) ( ) :P y ax2 bx  cĩ đỉnh là c I(3; 1) và cắt Ox tại điểm cĩ hồnh độ là 1

s) ( ) :P yax2  cĩ đỉnh c I(0; 3) và 1 trong 2 giao điểm của ( )P với Ox là A ( 2; 0)

t) ( ) :P y 2x2 bx  cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1 và cắt trục tung c

tại điểm cĩ tung độ bằng 1.

u) ( ) :P y ax2 bx  cĩ đỉnh c I(2; 1) và cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ   3.v) ( ) :P y ax2 bx  cắt trục hồnh Ox tại 2 điểm cĩ hồnh độ lần lượt là 1 c  và

2, cắt trục tung Oy tại điểm cĩ tung độ bằng 2.

w) ( ) :P y ax2 bx  cĩ trục đối xứng là đường thẳng c x 2, ( )P đi qua điểm

(1; 8)

M và cắt trục hồnh Oy tại điểm cĩ tung độ bằng 5

x) ( ) :P y ax2 bx  đi qua c M(0; 3) và cĩ 1 điểm chung duy nhất cĩ hồnh độ

1

x  với đường thẳng d y: 8x 2

y) ( ) :P y ax2 bx  cĩ trục đối xứng là đường thẳng c x  2 0, ( )P đi qua

điểm A(1; 4) và cĩ đỉnh thuộc đường thẳng d y: 2x 1

Trang 30

z) ( ) :P y a x.( b)2 cĩ đỉnh I ( 3;0) và cắt trục tung tại điểm M(0; 5).

BT 76 Xác định parabol ( )P trong các trường hợp sau:

a) ( ) :P y ax2  cĩ y nhận giá trị bằng 3 khi c x  và giá trị nhỏ nhất là 1.2  b) ( ) :P y ax2 bx  biết c, ( )P đi qua điểm A(1;2) và tọa độ điểm cực đại là (0; 3)

c) ( ) :P y ax2 bx  biết rằng hàm số cĩ giá trị nhỏ nhất bằng c, 3

4 khi

12

x  và đi qua A(1; –3)

b) Tìm phương trình (P): y ax2 bc  biết (P) đi qua hai điểm A(0; 1), B(2; –4) và cĩ c

trục đối xứng là đường thẳng x  3

c) Cho ( ) :P y ax2 bx  Xác định c a b c, , biết ( )P qua A (3; 4), trục đối xứng

32

x   và cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 2

d) Xác định parabol ( ) :P y ax2 bxc a, (  0), biết (P) qua H(5; 4) và hàm số cĩ giá trị nhỏ nhất bằng 9

4

 khi 5

4

x  

e) Xác định parabol ( ) :P y ax2 bx  biết (P) qua c, A(0;5) và cĩ đỉnh I(3; 4).

f) Viết phương trình parabol (P): y ax2 bc  biết (P) đi qua điểm A(2; –2), cắt c

trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ là 3 và cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ là 6 g) Xác định ( ) :P y ax2 bx  biết (P) cĩ đỉnh là c, I(6; 12) và đi qua D(8;0)

h) Tìm a b c, , của 2

( ) :P yax bx biết c, ( )P qua A(0;2), (1;5), (–1; 3).B C

i) Tìm a b c, , của ( ) :P yax2 bx biết c, ( )P qua A(1; 0); B(2; –3); C(0; 5)

j) Tìm a b c, , của ( ) :P yax2 bx biết c, ( )P qua A(1; 0); B(2; 8); C(0; –6)

k) Tìm a b, sao cho parabol 2

( ) :P y ax bx  đi qua điểm A(2; 1) và B(–1; –3) 2l) Tìm a b c, , của ( ) :P yax2 bx biết c, ( )P cĩ đỉnh I(1; 2) và qua A(4;7)

m) Xác định hàm số bậc hai biết đồ thị của nĩ là một đường parabol cĩ đỉnh 1 3

Trang 31

n) Xác định parabol ( ) :P y ax2 bx  biết (P) cĩ trục đối xứng 3, x  và cắt trục 1hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng 3

o) Xác định hàm số bậc hai y ax2 bx 5, (a 0), biết rằng đồ thị (P) của nĩ cĩ trục đối xứng là đường thẳng x   và đi qua điểm A(1; 12) 3

p) Cho hàm số y ax2 bx  (P) Tìm a, b, c để (P) đi qua: A(–1; 8), B(1; 0), (4; 3) c

q) Cho hàm số y ax2 bx  (P) Tìm a, b, c để (P) đi qua gốc tọa độ và cĩ đỉnh c

A  



 t) Xác định (P): y 2x2 bx  biết (P) đi qua M(2; –3) và cĩ trục đối xứng c x   1.u) Xác định parabol (P): y ax2 bx  biết, (P) đi qua 2 điểm M(1; 5) và N(–2; 8) 2v) Tìm phương trình của parabol ( ) :P yax2 bx1, (a 0) biết ( )P đi qua

( 1; 6)

M   và cĩ trục đối xứng là đường thẳng 3x 1

w) Xác định ( ) :P y2x2bx c biết , ( )P qua M(2; 3) và cĩ trục đối xứng x   1

Dạng toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số

 Bài tốn tổng quát: Biện luận theo m số nghiệm phương trình ax2 bx A m( ) 0

 Phương pháp giải:

Bước 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của parabol ( ) :P y ax2 bx c

Bước 2 Biến đổi phương trình về dạng ax2 bx   c c A m( ) ( )

Bước 3 ( ) là phương trình hồnh độ giao điểm giữa parabol ( )P và đường thẳng nằm ngang d y:  c A m( ). Số nghiệm của ( ) chính là số giao điểm giữa d và ( ).P

 Lưu ý: Ta cũng làm tương tự đối với hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

BT 78 Cho parabol ( ) :P y x2 2x  2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của parabol trên

b) Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm phương trình x2 5xm 3x  2

Trang 32

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ).P Suy ra đồ thị hàm số y x24x 3

b) Tìm m để phương trình: x24x  3 m  cĩ 8 nghiệm phân biệt ? 2 0

BT 88 Cho parabol ( ) :P y   x2 3x  2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ( ).P Suy ra đồ thị hàm số ( ) :P1 y   x2 3x 2 b) Dựa vào đồ thị ( ),P1 tìm m để x23x  2 3m  cĩ 4 nghiệm phân biệt ? 2

BT 89 Cho parabol ( ) :P y x2 2x  2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( ).P

b) Tìm m để phương trình: mx2 2x   cĩ 3 nghiệm phân biệt 2 0 x  ( 1;2)

BT 90 Cho parabol ( ) :P y   x2 6x 5

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( ).P

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x26x  4 m  trên 0 1;4 



Trang 33

BT 91 Cho hàm số y   x2 2x  2 4x  1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tìm m để phương trình  x2 2x 2 4x  1 m cĩ 4 nghiệm phân biệt ?

BT 92 Vẽ đồ thị hàm số và dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình

a) Vẽ: y  2x2 10x 12 , Biện luận số nghiệm của: 2x2 10x 12 m.b) Vẽ: y x2 4x  3, Biện luận số nghiệm của: x2 4x  3 m

BT 93 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) x2 x x  2 m b)  x2 3x  2 m

c) (x 2)(x  1) m 0 d) x2 2x  3 m  0

Dạng toán 4: Tương giao giữa 2 đồ thị hàm số

 Bài tốn tổng quát: Tìm tham số m để đường thẳng d y: px q cắt parabol

2

( ) :P y ax bx  tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K c

 Phương pháp giải:

Bước 1 Lập PTHĐGĐ giữa d và ( )P là ax2 (bp x)   c q 0( )

Bước 2 Để d cắt ( )P tại n điểm phân biệt  ( ) cĩ n nghiệm m D1 Cụ thể:

+ Để d cắt ( )P tại 2 điểm p/biệt  ( ) cĩ 2 nghiệm phân biệt 0

+ Để d khơng cắt ( )P  ( ) vơ nghiệm    0 m ?

Bước 3 Biến đổi và giải điều kiện K, suy ra m D2

Bước 4 Kết luận các giá trị m D1 D2

 Lưu ý:

 Để tìm tung độ giao điểm, ta thế giá trị x vào d y:  pxq tìm y sẽ đơn giản hơn

 Điều kiện K thường liên quan đến hình học phẳng, định lý Viét, … chẳng hạn:

 Nếu I là trung điểm của AB, suy ra: ;

Trang 34

a) Tính a b c, , biết rằng (P) cĩ đỉnh I(1; 2) và qua điểm A(4;7)

b) Khảo sát hàm số trên và vẽ (P) với a 1, b  2, c  1

c) Tìm tham số m để đường thẳng d: y  x 2m cắt (P) tại hai điểm phân biệt ?

BT 97 Cho parabol ( ) :P y   x2 2x  3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của parabol ( ).P

b) Đường thẳng d y: 2x 1 cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt A và B Tìm tọa độ A B,

và tính độ dài đoạn thẳng AB

BT 98 Cho parabol ( ) :P y   x2 4x và hai đường thẳng d y1 : 3 , x d2 :y 2x m

a) Khơng vẽ đồ thị Tìm tọa độ giao điểm của ( )P và d1

b) Định m để ( )P và d2 cĩ 1 điểm chung duy nhất Xác định tọa độ điểm chung đĩ

BT 99 Cho parabol ( ) :P y ax2 bx c a, ( 0)

 Tìm a b c, , thỏa mãn điều kiện được chỉ ra

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )P của hàm số vừa tìm được

 Tìm tham số m để đường thẳng d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt Xác định tọa độ

I là trung điểm của đoạn thẳng AB

được tại 2 điểm phân biệt A B, với mọi giá trị của m. Tìm giá trị của m để trung

điểm K của đoạn thẳng AB nằm trên đường thẳng :y 2 x

Trang 35

BT 101 Chứng minh ( ) :P m y x22mx m21 luơn cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt

a) Lập bảng biến thiên và vẽ parabol ( )P của hàm số khi m   1

b) Tìm m để (P m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt cĩ hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn điều kiện: x12 x22 x x1 2 1

BT 104 Cho hàm số y   x2 (m1)x m cĩ đồ thị 2 ( ).P m

a) Lập bảng biến thiên và vẽ parabol ( )P của hàm số khi m 1

b) Tìm m để (P m) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm cĩ hồnh độ dương

BT 105 Tìm m để đường thẳng d y: mx 12m2 cắt parabol ( ) :P y x24x  tại hai 3

điểm phân biệt cĩ hồnh độ trái dấu

BT 106 Cho hàm số y x23mx  cĩ đồ thị 5 ( ).P m

a) Tìm tham số m để hàm số cĩ giá trị nhỏ nhất bằng 4

b) Tìm quỹ tích đỉnh của ( ).P m

c) Tìm m để (P m) cĩ duy nhất một điểm chung với trục Ox

d) Định tham số m để đường thẳng d y:   x 2 cắt (P m) tại hai điểm phân biệt A,

B sao cho OA vuơng gĩc với OB Tính diện tích tam giác OAB

Một số bài toán dạng khác

 Bài tốn 1 Dùng đồ thị hàm số y ax2 bx c a, (  0), hãy tìm x để y 0, ( , , )

Trang 36

Giải hệ (2 )a hoặc (2 )b ta tìm được tọa độ ( ; )x y o o của điểm cố định

 Bài tốn 3 Quỹ tích điểm M (tập hợp điểm) thỏa tính chất

Bước 1 Tìm điều kiện nếu cĩ của tham số m để tồn tại điểm M

Bước 2 Tính tọa độ điểm M theo tham số m Cĩ các trường hợp sau xảy ra:

 Khử tham số m giữa x và y, ta cĩ hệ thức giữa x và y

độc lập với m cĩ dạng: F x y ( , ) 0, được gọi là phương trình quỹ tích

 Khi đĩ, điểm M nằm trên đường thẳng y b.

Bước 3 Tìm giới hạn quỹ tích

Dựa vào điều kiện (nếu cĩ) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M x y( ; ). Đĩ là giới hạn của quỹ tích

Bước 4 Kết luận: Tập hợp điểm M cĩ phương trình F x y ( , ) 0 (hoặc x a hoặc

b) Dùng ( ),P hãy tìm tập hợp các giá trị của x sao cho y 0

c) Dùng ( ),P hãy tìm tập hợp các giá trị của x sao cho y 0

BT 109 Tìm tọa độ điểm cố định của parabol ( )P khi m thay đổi trong các trường hợp sau:

a) y (m1)x2 2mx 3m 1 b) y (m2)x2 (m1)x 3m 4.c) y mx2 2mx  1 d) y m x2 2 2(m1)x m2  1.e) y (m1)x3m 2 f) y mx3 mx  2

h) y mx2 2mx 3 m k) y m x2 2 2(m1)x m2

i) y (m1)x2 2x 3 m j) y mx2 2x m

Trang 37

BT 110 Chứng minh rằng với mọi m  , đồ thị của mỗi hàm số sau luơn cắt trục hồnh tại 2

điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luơn chạy trên một đường thẳng cố định

a) Định tham số m để parabol đi qua điểm A ( 1;2)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )P của hàm số khi m 3

c) Chứng minh (P m) luơn đi qua một điểm cố định

d) Chứng minh: x   thì khoảng cách từ đỉnh của (P m) đến Ox khơng nhỏ hơn 6

BT 113 Cho parabol ( ) :P y  f x( )x24x  và đường thẳng 3 d y: g x( )mx 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ( ).P

b) Cho m thay đổi, chứng minh: 4g x( )f x( )m2 8m8,  x

BT 114 Cho d y: 2x  1 2m và parabol ( )P đi qua điểm A(1; 0) và cĩ đỉnh I(3; 4).

a) Lập phương trình và vẽ Parabol ( ).P

b) Chứng minh rằng d luơn đi qua một điểm cố định

c) Chứng minh rằng d luơn căt ( )P tại hai điểm phân biệt

BT 115 Cho hàm số ( ) :P y (2m x) 2 (3m1)x2 , (m C m)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )P khi m  , gọi là 1 ( ).C1

b) Chứng minh rằng họ đồ thị (C m) luơn đi qua điểm cố định

c) Dựa vào đồ thị ( ),C1 biện luận nghiệm phương trình: x22x  3 2(m1)0

BT 116 Cho parabol ( ) :P y x2 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( ).P

b) Xác định điểm M trên ( )P để đoạn OM là ngắn nhất

BT 117 Cho parabol ( ) :P y x2 6x  và đường thẳng 5 d y: ax  1 2 a

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )P và d trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Chứng minh rằng d luơn đi qua điểm cố định

c) Tìm a để d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt

d) Dựa vào đồ thị ( ),P hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2x 12x 2m 0

Trang 38

Biên soạn & Giảng dạy: Ths Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 – 0929.031.789 Trang 35

— x  D gọi là 1 nghiệm phương trình f x( )g x( ) nếu " ( )f x g x( )" là 1 mệnh đề đúng

 Phương trình tương đương

— Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng cĩ cùng 1 tập nghiệm Nếu f x1( )g x1( )tương đương với f x2( )g x2( ) thì viết f x1( )g x1( ) f x2( )g x2( )

— Định lý 1: Cho phương trình f x( )g x( ) cĩ tập xác định D và y h x( ) là một hàm số xác định trên D Khi đĩ trên miền D, phương trình tương đương với mỗi phương trình sau: (1) : ( )f x h x( )g x( )h x( ). (2) : ( ) ( )f x h x g x h x( ) ( ) với h x( )   D0, x

 Phương trình hệ quả

— f x1( )g x1( ) cĩ tập nghiệm là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình

f x g x cĩ tập nghiệm S2 nếu S1 S2. Khi đĩ: f x1( )g x1( ) f x2( )g x2( )

— Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả

của phương trình đã cho: f x( )g x( ) f x( )2  g x( ) 2

Trang 39

-§ 2 phương trình bậc nhất một ẩn

b  ( )i nghiệm đúng với mọi x

Bài tốn tìm tham số trong phương trình bậc nhất ax   b 0 ( )ii

 Để phương trình ( )ii cĩ nghiệm duy nhất  a 0

 Để phương trình ( )ii cĩ tập nghiệm là  (vơ số nghiệm) 0

0

a b

a a b

 Lưu ý: Cĩ nghiệm là trường hợp ngược lại của vơ nghiệm Do đĩ, tìm điều kiện để ( )ii

cĩ nghiệm, thơng thường ta tìm điều kiện để ( )ii vơ nghiệm, rồi lấy kết quả ngược lại

Trang 40

.3

m x

e) 3 2 5

m x m

m x

g) 2 3

4 0

3

m

m x

x x

Định dạng
Số trang	147
Dung lượng	4,06 MB